Özel Olasılık Dağılımları Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 2

Question 21Question →

Bir tarımsal araştırma projesinde, belirli bir genetik özelliğe sahip tohumların çimlenme durumu incelenmektedir. İnceleme sonucunda tohumun başarıyla çimlenmesi durumu $X=1$ , çimlenememesi durumu ise $X=0$ değeri ile kodlanmıştır. Tohumun başarıyla çimlenme olasılığı $p \in (0, 1)$ olarak bilinmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

p(1-p)

ve

(1-p) + p e^t

p^2

ve

(1-p) + p e^t

p(1+p)

ve

(1-p) + p e^t

\sqrt{p}

ve

p + (1-p) e^t

p(1-p)

ve

p + (1-p) e^t

Show answer & explanation

Answer: $p(1-p)$ ve $(1-p) + p e^t$

Answer

X

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonu

(1-p) + p e^t

şeklindedir.

Verilen senaryoda tohumun çimlenme durumu

0

ve

1

değerlerini aldığından,

X

rastgele değişkeni

p

parametreli bir Bernoulli dağılımı gösterir. Bu dağılım için

E[X]=p

ve

E[X^2]=p

'dir, bu sebeple varyans

Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=p-p^2=p(1-p)

olur. Moment çıkaran fonksiyon ise

E[e^{tX}] = p \cdot e^t + (1-p) \cdot e^0 = (1-p) + p e^t

formülüyle ispatlanır. Doğru seçenek her iki özelliği de eksiksiz sunmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Dağılım türünü ve beklenen değerini belirleme

X \sim Bernoulli(p)

dağılımına sahiptir. Beklenen değeri

E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p

olur.

Değişken yalnızca iki durum (

0

ve

1

) alabildiğinden indikatör değişkendir ve Bernoulli kurallarına uyar.

2

Varyansı hesaplama

Var(X) = p(1-p)

E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p

'dir. Varyans formülü

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

kullanıldığında

p - p^2 = p(1-p)

elde edilir.

3

Moment çıkaran fonksiyonu bulma

M_X(t) = (1-p) + p e^t

MGF tanımı gereği

M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{x} e^{tx} P(X=x)

eşitliği ile

e^{0}(1-p) + e^{t}p

işlemi uygulanır.

Key Concept

Bernoulli dağılımının varyansı ve moment çıkaran fonksiyonunun (MGF) elde edilişi

Alternative Method

Bernoulli dağılımı aslında deneme sayısının

n=1

olduğu Binom dağılımıdır. Binom dağılımının genel MGF formülü

(1-p + p e^t)^n

olduğundan,

n=1

yazılarak doğrudan moment çıkaran fonksiyon bulunabilir. Varyans için de Binom varyansı olan

np(1-p)

formülünde

n=1

konularak sonuca ulaşılır.

Estimated Time:1m 0s

Question 22Question →

Bir e-ticaret platformunda, belirli bir kampanyaya katılan müşterilere sistem tarafından dağıtılan özel indirim kodları $a$ ile $b$ ( $a, b \in \mathbb{Z}^+$ ve $a < b$ ) arasındaki ardışık tam sayılardan oluşmaktadır. Her bir müşteriye bu aralıktaki numaralardan biri rastgele ve eşit olasılıkla atanmaktadır.

Sistemde dağıtılan bu indirim kodlarının beklenen değeri $10$ ve varyansı $4$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, kampanyaya katılan rastgele bir müşteriye atanan indirim kodunun $11$ veya daha büyük olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{3}

\frac{2}{7}

\frac{3}{7}

\frac{1}{2}

\frac{5}{7}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{3}{7}$

Answer

Rastgele seçilen bir müşterinin indirim kodunun

11

veya daha büyük olma olasılığı

\frac{3}{7}

'dir.

Verilen dağılım ardışık tam sayılardan oluştuğu için Kesikli Düzgün Dağılımdır. Varyans formülü

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 4

kullanıldığında dağılımın

n=7

elemandan oluştuğu anlaşılır. Beklenen değer formülü

E(X) = \frac{a+b}{2} = 10

eşitliğinden

a+b=20

toplamı elde edilir.

b-a = n-1 = 6

ilişkisi ile

a+b=20

denklemi birlikte çözüldüğünde alt sınır

a=7

ve üst sınır

b=13

olarak bulunur. Dağılım

\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}

kümesi üzerinde tanımlıdır. Bizden

11

ve daha büyük değerlerin olasılığı (

11, 12, 13

) istenmektedir. Bu duruma uyan

3

değer olduğu için olasılık

\frac{3}{7}

'dir.

Step-by-Step Solution

1

Dağılım türünü ve özelliklerini belirleyin.

İndirim kodları

a

ve

b

arasında ardışık tam sayılar olduğundan, rastgele değişkenimiz

n = b - a + 1

elemanlı Kesikli Düzgün Dağılıma (Discrete Uniform Distribution) uymaktadır.

Olasılık hesaplaması yapabilmek için örnek uzayın eleman sayısının ve aralık sınırlarının formüller yardımıyla bulunması gerekir.

2

Varyans bilgisini kullanarak örnek uzayın eleman sayısını (

n

) hesaplayın.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = 4 \implies n^2 - 1 = 48 \implies n^2 = 49 \implies n = 7

olarak bulunur.

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülü, örnek uzaydaki toplam eleman sayısını doğrudan verir.

3

Beklenen değer bilgisini ve

n

sayısını kullanarak dağılımın sınırlarını (

a

ve

b

) bulun.

E(X) = \frac{a + b}{2} = 10 \implies a + b = 20

. Aynı zamanda

n = b - a + 1 = 7 \implies b - a = 6

. Bu iki denklem ortak çözüldüğünde

2b = 26 \implies b = 13

ve

a = 7

elde edilir.

Olasılığı istenen şartın (

X \ge 11

) kapsamına tam olarak hangi tam sayıların girdiğini belirlemek için alt ve üst sınıra ihtiyaç vardır.

4

İstenen durumun olasılığını (

P(X \ge 11)

) hesaplayın.

Örnek uzay kümesi

\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}

şeklindedir.

11

veya daha büyük olan numaralar

\{11, 12, 13\}

olmak üzere

3

tanedir. İstenen olasılık

P(X \ge 11) = \frac{3}{7}

olarak elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımda olasılık, elverişli sonuç sayısının örnek uzayın toplam eleman sayısına (

n

) bölünmesiyle hesaplanır.

Key Concept

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans Özellikleri

Question 23Question →

Derin deniz fiber optik kablo ağlarının bakımından sorumlu bir telekomünikasyon şirketinde, kablolarda meydana gelen mikro hata sayısı Poisson dağılımı ile modellenmektedir. Yapılan geçmiş veri analizlerine göre, 5 kilometrelik bir kablo kesitinde tam olarak 2 mikro hata bulunma olasılığı ile tam olarak 3 mikro hata bulunma olasılığı birbirine eşittir.

Bir otonom bakım robotu, 10 kilometrelik yeni bir kablo hattını incelemek üzere görevlendirilmiştir. Robotun bu inceleme görevinde harcayacağı enerji miktarı (kWh cinsinden), tespit edeceği toplam mikro hata sayısı $Y$ olmak üzere $E(Y) = 2Y^2 + 5Y + 15$ fonksiyonu ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, bakım robotunun 10 kilometrelik inceleme boyunca harcaması beklenen enerji miktarı kaç kWh'dir?

48

54

105

117

129

Show answer & explanation

Answer: 129

Answer

129

Soru, Poisson dağılımında parametre ölçekleme ve varyans özelliklerinin sentezlenmesini gerektirmektedir. Öncelikle 5 km için

P(X=2) = P(X=3)

eşitliğinden yararlanarak

\lambda=3

bulunur. 10 km'lik yeni kesit için bu oran uzunlukla orantılı olarak artırılır ve

\lambda=6

olur. Böylece 10 km'deki hata sayısı

Y \sim Poisson(6)

dağılımına uyar. Robotun harcadığı enerji fonksiyonunun beklenen değerini (

E[2Y^2 + 5Y + 15]

) hesaplamak için

E[Y^2]

ve

E[Y]

değerlerine ihtiyaç vardır. Poisson dağılımında

E[Y] = Var(Y) = \lambda

olduğundan, hem beklenen değer hem de varyans 6'dır.

E[Y^2]

hesaplaması varyans formülünden çekilerek

Var(Y) + (E[Y])^2 = 6 + 6^2 = 42

olarak bulunur. Beklenen değerin doğrusallığı ilkesi uygulanarak

2(42) + 5(6) + 15 = 84 + 30 + 15 = 129

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

5 km için Poisson parametresini (λ₅) bulma

e^{-\lambda_5} \frac{\lambda_5^2}{2!} = e^{-\lambda_5} \frac{\lambda_5^3}{3!} \implies \lambda_5 = 3

Soruda verilen 'tam olarak 2 hata olasılığı ile tam olarak 3 hata olasılığı eşittir' bilgisini kullanarak temel Poisson parametresini hesaplamak.

2

10 km'lik inceleme için parametreyi (λ₁₀) ölçekleme

\lambda_{10} = 3 \times \frac{10}{5} = 6 \implies Y \sim Poisson(6)

Poisson sürecinde oran, incelenen aralığın uzunluğu ile doğru orantılıdır.

3

Y değişkeninin beklenen değerini ve varyansını belirleme

E[Y] = 6

ve

Var(Y) = 6

Poisson dağılımının temel özelliğine göre varyans ve beklenen değer, dağılımın parametresine (λ) eşittir.

4

E[Y^2]

değerini hesaplama

E[Y^2] = Var(Y) + (E[Y])^2 = 6 + 6^2 = 42

Maliyet fonksiyonundaki ikinci dereceden terimin beklenen değerini bulmak için varyans formülü (

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

) yeniden düzenlenerek kullanılır.

5

Beklenen enerji harcamasını hesaplama

E[E(Y)] = E[2Y^2 + 5Y + 15] = 2E[Y^2] + 5E[Y] + 15 = 2(42) + 5(6) + 15 = 129

Beklenen değer operatörünün doğrusallık ilkesi (linearity of expectation) kullanılarak nihai sonuç elde edilir.

Key Concept

Poisson Dağılımı Parametre Ölçekleme ve Momentleri

Question 24Question →

Bir devlet arşivinde yürütülen dijitalleştirme çalışmalarında, incelenen her 100 sayfalık belgede ortalama 4 adet okunamayan kelime tespit edilmektedir. Okunamayan kelime sayısının Poisson dağılımına uygun olduğu bilinmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen 50 sayfalık bir belge bölümünde bulunacak okunamayan kelime sayısının varyansı ( $V$ ) ile bu bölümde tam olarak 3 adet okunamayan kelime bulunma olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

V = 2

,

\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

V = 4

,

\quad P = \frac{32}{3}e^{-4}

V = 1

,

\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

V = 2

,

\quad P = 5e^{-2}

V = 4

,

\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}

Show answer & explanation

Answer: $V = 2$ , $\quad P = \frac{4}{3}e^{-2}$

Answer

Doğru değerler

V = 2

ve

P = \frac{4}{3}e^{-2}

şeklindedir.

Poisson dağılımında parametre

\lambda

, incelenen aralıkla orantılıdır. 100 sayfada ortalama 4 hata varsa, 50 sayfada

\lambda = 2

hata beklenir. Poisson dağılımının varyansı daima

\lambda

'ya eşittir, bu nedenle

V = 2

olur. Olasılık kütle fonksiyonunda

P(X = 3) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

formülüne değerler yerleştirildiğinde

\frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8}{6}e^{-2} = \frac{4}{3}e^{-2}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

İstenen birim ölçü için

\lambda

(ortalama) parametresinin ölçeklendirilmesi

50 sayfalık bölüm için yeni ortalama

\lambda = 4 \times \frac{50}{100} = 2

olarak bulunur.

Poisson dağılımında ortalama değer, incelenen aralığın (zaman, alan, sayfa sayısı vb.) büyüklüğü ile doğru orantılı olarak değişir.

2

Poisson dağılımının özellikleri kullanılarak varyansın hesaplanması

Varyans (

V

) = Beklenen Değer (

\lambda

) olduğundan

V = 2

elde edilir.

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri ortalamasının ve varyansının her zaman

\lambda

parametresine eşit olmasıdır.

3

Poisson olasılık kütle fonksiyonu kullanılarak tam olarak 3 hata bulunma olasılığının (

P

) hesaplanması

P(X = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{4}{3}e^{-2}

sonucu bulunur.

Kesikli bir değişken olan Poisson için nokta olasılığı

P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

formülüyle hesaplanır.

Key Concept

Poisson dağılımında birim orantılaması (ölçekleme) ve beklenen değer-varyans eşitliği

Question 25Question →

Bir havaalanında yolcu bagajlarının yönlendirildiği konveyör bantları, $18$ 'den $42$ 'ye kadar ( $18$ ve $42$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Sisteme giren her bir bagajın bu bantlardan herhangi birine yönlendirilme olasılığı eşittir.

Buna göre, rastgele seçilen bir bagajın yönlendirildiği bant numarasının beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

25

ve

52

30

ve

48

30

ve

52

24

ve

48

30

ve

312

Show answer & explanation

Answer: $30$ ve $52$

Answer

Rastgele seçilen bagajın yönlendirildiği bant numarasının beklenen değeri

30

, varyansı ise

52

'dir.

Rastgele değişken olan bant numarası

X

,

18

ile

42

arasındaki ardışık tam sayılar üzerinde kesikli düzgün dağılıma sahiptir. Bu dağılımda beklenen değer uç noktaların aritmetik ortalaması olan

\frac{18+42}{2} = 30

olarak bulunur. Varyans ise terim sayısı

n = 42 - 18 + 1 = 25

olmak üzere,

\frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Dağılımın türünü ve parametrelerini belirleme

Bagaj numarası

X \sim U\{18, 42\}

kesikli düzgün dağılımına sahiptir.

Her bir ardışık tam sayı değerinin (

18

'den

42

'ye) gelme olasılığı eşit olduğu için modelleme bu şekilde yapılır.

2

Beklenen değeri hesaplama

E(X) = \frac{18 + 42}{2} = \frac{60}{2} = 30

Kesikli düzgün dağılımda beklenen değer, rastgele değişkenin tanımlı olduğu alt (

a

) ve üst (

b

) sınırların aritmetik ortalamasıdır.

3

Aralıktaki toplam terim sayısını (n) bulma

n = 42 - 18 + 1 = 25

Kesikli düzgün dağılımın varyans formülünde kullanılmak üzere, aralıkta kaç adet ayrık tam sayı değeri olduğunu belirlemek gereklidir.

4

Varyansı hesaplama

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{25^2 - 1}{12} = \frac{625 - 1}{12} = \frac{624}{12} = 52

Kesikli düzgün dağılımda varyans formülü

\frac{n^2 - 1}{12}

şeklindedir.

Key Concept

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans

Estimated Time:1m 30s

Question 26Question →

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemine (EBYS) yüklenen evrakların, sistem tarafından otomatik olarak hatalı formatta işaretlenme durumu incelenmektedir. Sisteme yüklenen herhangi bir evrakın hatalı formatta olma olasılığı $p$ $(0 < p < 1)$ olarak belirlenmiş olup, her evrakın durumu birbirinden bağımsızdır. Bir evrakın hatalı formatta işaretlenmesi durumu $X=1$ , hatasız kabul edilmesi durumu ise $X=0$ değeri ile modellenmektedir.

Buna göre, $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) ve herhangi bir $t \in \mathbb{R}$ için moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Var(X) = p^2 \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t

Var(X) = p(1+p) \quad , \quad M_X(t) = p + (1-p) e^t

Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t

Var(X) = \sqrt{p} \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t

Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = e^{p(e^t - 1)}

Show answer & explanation

Answer: $Var(X) = p(1-p) \quad , \quad M_X(t) = 1 - p + p e^t$

Answer

Var(X) = p(1-p)

ve

M_X(t) = 1 - p + p e^t

ifadelerinin birlikte yer aldığı seçenektir.

Sadece iki farklı durum barındıran (1 ve 0) Bernoulli dağılımı gösteren

X

indikatör değişkeni için varyans hesaplaması

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

formülüyle standart olarak elde edilir. Moment çıkaran fonksiyon ise tanım gereği

M_X(t) = E[e^{tX}]

eşitliğinden yola çıkılarak

(1-p) + p e^t

şeklinde bulunur. Her iki değerin de doğru ifade edildiği eşleştirme matematiksel olarak eksiksizdir.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) bulma

X \in \{0, 1\}

değerlerini aldığından,

E[X] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

elde edilir.

Varyans formülünü uygulayabilmek için öncelikle birinci moment olan beklenen değere ihtiyaç vardır.

2

X

rastgele değişkeninin ikinci momentini (

E[X^2]

) hesaplama

X^2

değişkeni de yalnızca

0^2=0

ve

1^2=1

değerlerini alacağından,

E[X^2] = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

olur.

Varyans formülünün (

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2

) ana bileşenlerinden biridir.

3

Varyansı (

Var(X)

) formülde yerine koyma

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

sonucu bulunur.

Bernoulli değişkeninin temel değişkenlik ölçüsünü kesinleştirmek için adımlar birleştirilir.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (MGF) tanımlama

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = 1 - p + p e^t

olarak elde edilir.

Moment çıkaran fonksiyonun tanım formülü kullanılarak teorik gösterim doğrulanır.

Key Concept

Bernoulli Dağılımında Beklenen Değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon İlişkisi

Question 27Question →

Bir kamu bankasının teftiş kurulunda, iç denetim amacıyla şubelerden gelen kredi dosyaları belirli bir döneme ait olmak üzere $11$ 'den $59$ 'a kadar ( $11$ ve $59$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Denetim sürecinin ilk aşamasında, bu dosyalar arasından rastgele bir dosya seçilerek detaylı risk analizine tabi tutulacaktır. Her bir dosyanın seçilme olasılığının eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, seçilecek olan dosyanın numarasının beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

35

ve

192

24

ve

200

35

ve

200

35

ve

48

24

ve

192

Show answer & explanation

Answer: $35$ ve $200$

Answer

Beklenen değer

35

ve varyans

200

'dür.

Sorudaki durum,

a=11

ve

b=59

parametrelerine sahip bir kesikli düzgün dağılımdır. Beklenen değer, formüle göre bu iki sınır değerin ortalamasıdır:

(11+59)/2 = 35

. Varyans için öncelikle listedeki toplam eleman sayısı hesaplanmalıdır:

n = 59 - 11 + 1 = 49

. Kesikli düzgün dağılım varyans formülü olan

(n^2 - 1)/12

formülünde

n

yerine konularak

(49^2 - 1)/12 = (2401 - 1)/12 = 2400/12 = 200

değeri bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Problemin istatistiksel dağılım türünü belirlemek.

Dosya numaraları ardışık tam sayılar olduğundan ve her birinin seçilme olasılığı eşit olduğundan, değişken Kesikli Düzgün Dağılım gösterir:

X \sim U(11, 59)

.

Hesaplamalarda kullanılacak doğru formüllerin (sürekli mi kesikli mi olduğuna göre) seçilmesi için dağılımın türünün baştan netleştirilmesi zorunludur.

2

E(X) = \frac{a+b}{2}

formülü ile beklenen değeri hesaplamak.

E(X) = \frac{11+59}{2} = \frac{70}{2} = 35

Kesikli düzgün dağılımda beklenen değer, serinin simetrik yapısı gereği en küçük ve en büyük değerlerin aritmetik ortalamasına eşittir.

3

Kümeye ait toplam terim sayısını (

n

) bulmak.

n = b - a + 1 = 59 - 11 + 1 = 49

Varyans formülünde farklar üzerinden değil, serideki toplam eleman sayısı (

n

) üzerinden işlem yapılması gerekmektedir.

4

Var(X) = \frac{n^2-1}{12}

formülü ile varyansı hesaplamak.

Var(X) = \frac{49^2-1}{12} = \frac{2401-1}{12} = \frac{2400}{12} = 200

Ardışık tam sayılardan oluşan kesikli düzgün dağılımın varyansı terim sayısının karesinin bir eksiğinin on ikiye bölünmesi kuralı ile elde edilir.

Key Concept

Kesikli Düzgün Dağılım

Question 28Question →

Bir ilçe seçim kurulunda, muhafaza altına alınan mühürlü oy çuvalları kayıt altına alınırken $125$ 'ten $173$ 'e kadar ( $125$ ve $173$ dâhil) ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır.

Kurula yapılan bir itiraz üzerine, incelenmek amacıyla bu çuvallar arasından rastgele bir tanesi seçilecektir.

Buna göre, seçilen çuvalın numarasının beklenen değeri ve varyansı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

149

ve

192

149

ve

200

149

ve

1200

24

ve

200

24

ve

192

Show answer & explanation

Answer: $149$ ve $200$

Answer

Seçilen çuval numarasının beklenen değeri 149, varyansı ise 200'dür.

Sorudaki durum,

a=125

ve

b=173

sınırlarına sahip bir Kesikli Düzgün Dağılımı ifade etmektedir. Bu dağılımda beklenen değer

E(X) = (a+b)/2

formülü ile, varyans ise

n = b-a+1

olmak üzere

Var(X) = (n^2-1)/12

formülü ile hesaplanır.

E(X) = (125+173)/2 = 149

olarak bulunur. Terim sayısı

n = 173 - 125 + 1 = 49

'dur. Buradan varyans

Var(X) = (49^2 - 1)/12 = (2401 - 1)/12 = 2400 / 12 = 200

olarak hesaplanır. İki değeri sırasıyla doğru veren seçenek, aradığımız doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Dağılım türünü ve parametreleri belirle.

Seçim işlemi ardışık tam sayılar üzerinden yapıldığı için dağılım Kesikli Düzgün Dağılımdır. Alt sınır

a = 125

, üst sınır

b = 173

'tür.

Olasılık hesaplamalarında doğru formülleri kullanabilmek için değişkenin dağılım türünün ve sınır değerlerinin tanımlanması gerekir.

2

Terim sayısını (

n

) hesapla.

n = b - a + 1 \Rightarrow n = 173 - 125 + 1 = 49

olarak bulunur.

Kesikli düzgün dağılımda varyans hesabı, aralıktaki toplam tam sayı adedine (

n

) bağlıdır.

3

Beklenen değeri (

E(X)

) hesapla.

E(X) = \frac{a + b}{2} = \frac{125 + 173}{2} = \frac{298}{2} = 149

elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımda beklenen değer, tanımlı olduğu alt ve üst sınırların aritmetik ortalamasına eşittir.

4

Varyansı (

Var(X)

) hesapla.

Var(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{49^2 - 1}{12} = \frac{2401 - 1}{12} = \frac{2400}{12} = 200

elde edilir.

Kesikli düzgün dağılımın yapısal özelliği gereği varyans formülü

(n^2 - 1)/12

şeklinde tanımlıdır.

Key Concept

Kesikli Düzgün Dağılımda Beklenen Değer ve Varyans

Question 29Question →

Bir gümrük muhafaza memuru, yurtdışından gelen kargoları yasadışı madde tespiti amacıyla sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak incelemektedir. Her bir kargonun şüpheli olma olasılığı sabittir. Memurun ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelediği toplam kargo sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri $3$ 'tür.

Memur, mesaisinin başında ilk $2$ kargoyu incelemiş ve herhangi bir şüpheli duruma rastlamamıştır.

Buna göre, memurun ilk şüpheli kargoyu tam olarak $5.$ kargoda bulma olasılığı ile inceleyeceği toplam kargo sayısının varyansı sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{27}{256}

ve

12

\frac{16}{243}

ve

6

\frac{4}{27}

ve

6

\frac{4}{27}

ve

9

\frac{80}{243}

ve

\frac{10}{9}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{4}{27}$ ve $6$

Answer

Doğru yanıt olasılığın

\frac{4}{27}

ve varyansın

6

olduğu seçenektir.

Soruda rastgele değişken, 'ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelenen toplam kargo sayısı' (

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

) olarak tanımlanmıştır. Beklenen değer

E[X] = \frac{1}{p} = 3

olduğundan

p = \frac{1}{3}

olur. Varyans formülü

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

kullanıldığında

Var(X) = \frac{2/3}{1/9} = 6

bulunur. Olasılık hesabı için geometrik dağılımın temel özelliği olan hafızasızlık (memoryless) ilkesi kullanılır. İlk 2 kargonun şüpheli olmadığı bilindiği için

P(X = 5 \mid X > 2) = P(X = 5 - 2) = P(X = 3)

olur. Formülde yerine konulduğunda

P(X = 3) = (1 - \frac{1}{3})^{3-1} \cdot (\frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkenini ve başarı olasılığını (

p

) tanımlayın.

X

, ilk şüpheli kargoyu bulana kadar incelenen toplam kargo sayısıdır ve

X \sim \text{Geo}(p)

dağılımına uyar.

E[X] = \frac{1}{p} = 3

verildiğinden,

p = \frac{1}{3}

bulunur.

Geometrik dağılımda toplam deneme sayısı tanımlandığında beklenen değer formülü

E[X] = \frac{1}{p}

şeklindedir.

2

X

'in varyansını (

Var(X)

) hesaplayın.

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{2/3}{1/9} = 6

elde edilir.

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

'dir.

3

İlk 2 kargoda şüpheli durum bulunmadığı bilgisine (

X > 2

) dayanarak tam

5.

kargoda şüpheli bulma olasılığını yazın.

İstenen olasılık koşullu bir olasılıktır:

P(X = 5 \mid X > 2)

.

Mesainin başındaki ilk 2 incelemenin başarısız (şüpheli değil) olduğu bilinmektedir.

4

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak koşullu olasılığı hesaplayın.

P(X = 5 \mid X > 2) = P(X = 5 - 2) = P(X = 3)

.

P(X = 3) = (1-p)^{3-1}p = (1 - \frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3}) = (\frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{27}

bulunur.

Geometrik dağılım, kesikli rastgele değişkenler arasında hafızasızlık özelliğine sahip tek dağılımdır:

P(X = s+t \mid X > s) = P(X = t)

.

Key Concept

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Momentleri

Question 30Question →

Bir belediyenin zabıta denetim ekipleri, ilçedeki gıda işletmelerinin hijyen standartlarını düzenli olarak kontrol etmektedir. Yapılan istatistiksel çalışmalara göre, denetlenen rastgele bir işletmenin hijyen standartlarını sağlayamayarak idari para cezası alma olasılığı $\frac{1}{3}$ 'tür.

Ekiplerin rastgele seçtiği $4$ farklı işletmede yaptığı denetimler sonucunda, en az bir işletmeye idari para cezası kesildiği bilindiğine göre, tam olarak $2$ işletmeye idari para cezası kesilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{65}

\frac{8}{27}

\frac{3}{10}

\frac{24}{65}

\frac{3}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{24}{65}$

Answer

Tam olarak

2

işletmeye idari para cezası kesilmiş olma olasılığı

\frac{24}{65}

'tir.

Verilen problemde ceza alan işletme sayısı bir Binom dağılımı gösterir. En az bir işletmeye ceza kesildiği koşulu altında tam 2 işletmeye ceza kesilme olasılığı istenmektedir. Bu nedenle

P(X=2)

olasılığının,

1 - P(X=0)

şeklinde hesaplanan

P(X \ge 1)

olasılığına bölünmesi gerekir. Yapılan işlemler sonucunda oran

\frac{24}{65}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Rastgele değişkeni tanımlama

X

: Ceza kesilen işletme sayısı.

X \sim Bin(n=4, p=1/3)

Denetimler bağımsız ve her bir işletmenin ceza alma olasılığı sabit (

1/3

) olduğu için Binom dağılımı kullanılır.

2

İstenen olasılığı koşullu olasılık formatında yazma

P(X=2 \mid X \ge 1) = \frac{P(X=2 \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)} = \frac{P(X=2)}{P(X \ge 1)}

Soruda 'en az bir işletmeye ceza kesildiği bilindiğine göre' ifadesi yer aldığından koşullu olasılık formülü uygulanmalıdır.

3

Pay kısmındaki olasılığı hesaplama (

P(X=2)

)

P(X=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{81}

Tam olarak 2 işletmeye ceza kesilme olasılığı Binom olasılık fonksiyonu ile hesaplanır.

4

Payda kısmındaki olasılığı hesaplama (

P(X \ge 1)

)

P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{4}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 - 1 \cdot 1 \cdot \frac{16}{81} = \frac{65}{81}

En az bir ceza kesilme olasılığı, tüm olasılıklardan (1) hiç ceza kesilmeme olasılığının çıkarılmasıyla daha kolay bulunur.

5

Koşullu olasılık değerini elde etme

P(X=2 \mid X \ge 1) = \frac{\frac{24}{81}}{\frac{65}{81}} = \frac{24}{65}

Önceki adımlarda bulunan değerler koşullu olasılık formülünde yerine konularak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Binom Dağılımı ve Koşullu Olasılık

Question 31Question →

Bir e-ticaret platformunun ödeme altyapısında, sisteme gelen her bir işlem talebinin ilk denemede başarılı olma olasılığı sabittir. İşlemlerin başarılı olma durumları birbirinden bağımsızdır.

Belirli bir saat diliminde sisteme gelen toplam $n$ adet işlem talebi arasından başarılı olanların sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Bu platformda sistemin yoğunluk endeksi $Y = 3X + 2$ formülü ile modellenmiştir.

İlgili saat dilimi için $X$ 'in beklenen değeri $4$ ve yoğunluk endeksi $Y$ 'nin varyansı $7.2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu saat diliminde sisteme gelen $n$ adet işlem talebinden tam olarak $4$ tanesinin ilk denemede başarılı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

210(0.4)^4(0.6)^6

4(0.8)^4(0.2)

5(0.8)^4(0.2)

(0.8)^4(0.2)

(0.8)(0.2)^3

Show answer & explanation

Answer: $5(0.8)^4(0.2)$

Answer

Doğru olasılık değeri Binom dağılımı formülü ile hesaplanan

5(0.8)^4(0.2)

ifadesidir.

Verilen bilgiler ışığında öncelikle varyans özelliğinden

Var(X)

tespit edilmelidir.

Var(3X+2) = 9Var(X) = 7.2

denklemi ile

Var(X)=0.8

bulunur. Binom dağılımında

E[X]=np

ve

Var(X)=np(1-p)

olduğundan,

4(1-p)=0.8

eşitliğinden

p=0.8

ve dolayısıyla

n=5

değerlerine ulaşılır. Son aşamada ise rastgele seçilen 5 işlemden 4'ünün başarılı olma olasılığı formüle döküldüğünde

\binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5(0.8)^4(0.2)

sonucuna varılır.

Step-by-Step Solution

1

Y

'nin varyansı üzerinden

X

'in varyansını hesaplama.

Var(Y) = Var(3X + 2) = 3^2 Var(X) = 9 Var(X) = 7.2 \Rightarrow Var(X) = 0.8

Rastgele değişkenlerin doğrusal dönüşümlerinde

Var(aX+b) = a^2Var(X)

özelliği geçerlidir.

2

Binom dağılımının parametreleri olan

n

ve

p

değerlerini bulma.

E[X] = np = 4

ve

Var(X) = np(1-p) = 0.8

eşitlikleri kurulur.

4(1-p) = 0.8 \Rightarrow 1-p = 0.2 \Rightarrow p = 0.8

. Buradan

n(0.8) = 4 \Rightarrow n = 5

elde edilir.

Dağılımın olasılık fonksiyonunu kullanabilmek için deneme sayısı (

n

) ve başarı olasılığı (

p

) bilinmelidir.

3

Tam olarak

x=4

başarının elde edilme olasılığını hesaplama.

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^{5-4} = 5(0.8)^4(0.2)

Elde edilen parametreler ile temel Binom olasılık fonksiyonu

P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}

uygulanır.

Key Concept

Binom Dağılımında Beklenen Değer, Varyans ve Olasılık Fonksiyonu

Alternative Method

Beklenen değer ve varyans ilişkisinden

(1-p) = \frac{Var(X)}{E[X]}

kısa yolu kullanılarak başarısızlık olasılığı (

1-p = 0.8 / 4 = 0.2

) tek adımda doğrudan elde edilebilir.

Estimated Time:2m 30s

Question 32Question →

Bir finansal risk analizi çalışmasında, belirli bir kredi portföyünden rastgele seçilen bir kredinin temerrüde düşme durumu $Y$ gösterge (indikatör) rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Kredinin temerrüde düşmesi durumu $Y=1$ , düşmemesi durumu ise $Y=0$ olarak tanımlanmış olup, temerrüde düşme olasılığı $p$ $(0 < p < 1)$ olarak belirlenmiştir.

$Y$ rastgele değişkeninin beklenen değeri $E(Y)$ , varyansı $Var(Y)$ ve moment çıkaran fonksiyonu $M_Y(t)$ olduğuna göre;

E(Y) \cdot Var(Y) \cdot M_Y(t)

çarpımının teorik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

p^3 \left[ (1-p) + p e^t \right]

p \sqrt{p} \left[ (1-p) + p e^t \right]

p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

p^2(1+p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

p^2(1-p) \left[ p + (1-p) e^t \right]

Show answer & explanation

Answer: $p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]$

Answer

İstenen teorik çarpımın doğru ifadesi

p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

şeklindedir.

Bernoulli dağılımına sahip gösterge değişkenlerinde beklenen değer

p

, varyans

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyon

(1-p) + p e^t

'dir. İstenen

E(Y) \cdot Var(Y) \cdot M_Y(t)

çarpımı, bu üç teorik ifadenin ardışık olarak çarpılmasıyla

p \cdot p(1-p) \cdot [ (1-p) + p e^t ] = p^2(1-p) [ (1-p) + p e^t ]

sonucunu doğurur.

Step-by-Step Solution

1

Bernoulli dağılımının beklenen değerini (

E(Y)

) belirleme

E(Y) = p

Y

değişkeni 1 değerini

p

olasılıkla, 0 değerini

1-p

olasılıkla aldığı için

E(Y) = 1(p) + 0(1-p) = p

olur.

2

Bernoulli dağılımının varyansını (

Var(Y)

) hesaplama

Var(Y) = p(1-p)

E(Y^2) = 1^2(p) + 0^2(1-p) = p

olduğundan, varyans formülü gereği

Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = p - p^2 = p(1-p)

elde edilir.

3

Bernoulli dağılımının moment çıkaran fonksiyonunu (

M_Y(t)

) türetme

M_Y(t) = (1-p) + p e^t

MGF tanımı gereği

M_Y(t) = E(e^{tY}) = e^{t(0)} P(Y=0) + e^{t(1)} P(Y=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + p e^t

formülü uygulanır.

4

Bulunan teorik özellikleri birbiriyle çarpma

p^2(1-p) \left[ (1-p) + p e^t \right]

Değerler formülde yerine konulduğunda

p \cdot p(1-p) \cdot [ (1-p) + p e^t ] = p^2(1-p) [ (1-p) + p e^t ]

matematiksel sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Bernoulli dağılımının temel karakteristikleri (Beklenen değer, Varyans ve Moment Çıkaran Fonksiyon)

Estimated Time:1m 30s

Question 33Question →

Bir tekstil fabrikasında üretilen özel bir kumaştaki dokuma hatalarının sayısı Poisson dağılımına uymaktadır. Geçmiş verilere göre, bu kumaştan rastgele seçilen $50\text{ m}^2$ 'lik bir rulodaki dokuma hatası sayısının varyansı $10$ 'dur.

Buna göre, bu kumaştan kesilen $20\text{ m}^2$ 'lik bir parçada tam olarak $2$ adet dokuma hatası bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

8e^{-4}

13e^{-4}

50e^{-10}

1{}28e^{-1{}6}

8e^{-2}

Show answer & explanation

Answer: $8e^{-4}$

Answer

İstenen alan için ölçeklenmiş parametre hesaplanarak formülde yerine konulduğunda sonuç

8e^{-4}

bulunur.

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, beklenen değerinin (

\lambda

) varyansına eşit olmasıdır. Soruda

50\text{ m}^2

'lik alandaki varyans

10

verildiği için bu alanın ortalaması da

\lambda_{50} = 10

'dur. Kumaştan

20\text{ m}^2

'lik bir parça kesildiğinde, alan küçüldüğü için yeni oran parametresi doğrusal olarak hesaplanmalıdır:

\lambda_{20} = 10 \times \frac{20}{50} = 4

. İstenilen nokta olasılığı,

x=2

değeri için

P(X=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}

formülüne yerleştirilerek

\frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}

olarak doğru şekilde elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

50\text{ m}^2

için Poisson dağılımının parametresini (

\lambda

) belirlemek.

\lambda_{50} = 10

Poisson dağılımında varyans değeri doğrudan dağılımın ortalamasına (beklenen değere) eşittir.

2

Belirlenen parametreyi sorulan alan olan

20\text{ m}^2

için ölçeklemek.

\lambda_{20} = 10 \times \left(\frac{20}{50}\right) = 4

Poisson dağılımının oran parametresi zaman veya uzay (alan) birimiyle doğrusal (lineer) olarak orantılıdır.

3

Ölçeklenmiş parametre ile

x=2

için Poisson olasılık fonksiyonunu hesaplamak.

P(X=2) = \frac{e^{-4} 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}

Tam olarak 2 hata bulunma olasılığını bulmak için olasılık kütle fonksiyonu (PDF) uygulanmalıdır.

Key Concept

Poisson Dağılımında Parametre Ölçekleme ve Varyans Özelliği

Question 34Question →

Bir elektrik dağıtım şirketinin kontrol merkezinde çalışan bir sistem operatörü, şebekedeki akıllı sayaçlardan gelen veri paketlerini sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak analiz etmektedir. Her bir veri paketinin iletişim hatası (bozulma) içerme olasılığı $p = 0.05$ 'tir. Operatör, ilk hatalı veri paketini tespit ettiği an analiz işlemini sonlandıracaktır.

$X$ rastgele değişkeni, "ilk hatalı paketi bulmak için incelenen toplam paket sayısı (hatalı paket dahil)" olarak tanımlanmıştır.

Operatörün analize başladığı ve incelenen ilk $10$ paketin hiçbirinde hata bulunmadığı bilinmektedir.

Buna göre, operatörün hatalı bir paket bulana kadar inceleyeceği toplam paket sayısının beklenen değeri ile $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

30

ve

380

29

ve

380

20

ve

380

30

ve

400

29

ve

400

Show answer & explanation

Answer: $30$ ve $380$

Answer

İncelenecek toplam paket sayısının beklenen değeri

30

ve

X

değişkeninin varyansı

380

'dir.

Verilen problemde

X

rastgele değişkeni ilk hata bulunana kadar geçen toplam deneme sayısıdır. Geometrik dağılımın temel formüllerine göre

E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.05} = 20

'dir. Geometrik dağılım, kesikli olasılık dağılımları arasında hafızasızlık (memoryless) özelliğine sahip tek dağılımdır. Bu özellik gereği

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)

eşitliği sağlanır. Yani ilk

10

denemede hata bulunamaması,

10.

denemeden sonraki süreci sıfırdan başlıyormuş gibi etkiler. Dolayısıyla ilk

10

denemeden sonra beklenen ilave deneme sayısı yine

20

'dir. İncelenecek toplam paket sayısının beklenen değeri ise halihazırda incelenen

10

paket ile ilave edilecek beklenen

20

paketin toplamı olan

30

'dur. Varyans hesabı ise tanım kümesinden bağımsız olarak

Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{0.95}{0.0025} = 380

formülüyle elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametresini belirleme.

X \sim \text{Geometrik}(p = 0.05)

ve

X \in \{1, 2, 3, \dots\}

Her bir paketin hatalı olma olasılığı bağımsız ve

0.05

'tir.

X

, ilk başarıyı (hatayı) bulana kadar yapılan toplam deneme sayısıdır.

2

Geometrik dağılımın hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak koşullu beklenen değeri hesaplama.

E[X | X > 10] = 10 + E[X]

Geometrik dağılımda geçmişteki başarısızlıklar gelecek olasılıkları etkilemez. İlk

10

deneme başarısız olduktan sonra, ilk başarı için gereken ilave deneme sayısının beklenen değeri yine baştaki

E[X]

değerine eşittir.

3

E[X]

değerini formül ile hesaplayarak koşullu denklemi çözme.

E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.05} = 20

. Toplam beklenen paket

= 10 + 20 = 30

.

Toplam deneme sayısını ifade eden geometrik dağılımda beklenen değer

\frac{1}{p}

formülü ile bulunur.

4

X

rastgele değişkeninin varyansını hesaplama.

Var(X) = \frac{1 - p}{p^2} = \frac{1 - 0.05}{0.05^2} = \frac{0.95}{0.0025} = 380

.

Geometrik dağılımın varyansı, tanım kümesinden (

k

veya

k-1

) bağımsız olarak her iki durumda da

\frac{1-p}{p^2}

formülü ile hesaplanır.

Key Concept

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Momentleri

Question 35Question →

Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünde, ithal edilen belirli bir elektronik eşya partisinden rastgele seçilen ürünlerin gümrük mevzuatına aykırı (kusurlu) olma olasılığı sabittir ve ürünlerin kusurlu olma durumları birbirinden bağımsızdır.

Bu partiden rastgele seçilen $n$ adet ürünün incelenmesi sürecinde, kusurlu ürün sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri ile varyansı arasındaki fark $0.8$ olarak tespit edilmiştir.

Aynı incelemede kusurlu ürün sayısının varyansı $3.2$ olduğuna göre, incelenen toplam ürün sayısı ( $n$ ) ve bu ürünler arasından yalnızca birinin kusurlu olma olasılığı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

20

ve

4(0.8)^{19}

20

ve

(0.2)(0.8)^{19}

20

ve

16(0.2)^{19}

20

ve

(0.8)(0.2)^{19}

5

ve

4(0.2)^4

Show answer & explanation

Answer: $20$ ve $4(0.8)^{19}$

Answer

İncelenen ürün sayısı

20

ve yalnızca bir ürünün kusurlu olma olasılığı

4(0.8)^{19}

şeklindedir.

Soruda verilen bilgilere göre

X

kusurlu ürün sayısı Binom dağılımına sahiptir. Binom dağılımında beklenen değer

E[X] = np

ve varyans

Var(X) = np(1-p)

formülleriyle hesaplanır. Farkları alındığında

np - np(1-p) = np(1 - 1 + p) = np^2 = 0.8

eşitliği elde edilir. Varyans olan

np(1-p) = 3.2

ifadesi ile bu denklem birbirine oranlandığında

\frac{1-p}{p} = 4

denkleminden

p=0.2

bulunur. Bulunan

p

değeri yerine yazıldığında

n(0.2)^2 = 0.8

ifadesinden ürün sayısı

n=20

elde edilir. İstenen durum olan 1 ürünün kusurlu olması, formüle göre

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.2)^1(0.8)^{19} = 4(0.8)^{19}

şeklinde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Kusurlu ürün sayısını ifade eden

X

rastgele değişkeninin dağılımını belirleme

X \sim Bin(n, p)

, burada

E[X] = np

ve

Var(X) = np(1-p)

'dir.

Ürünlerin kusurlu olma durumları bağımsız ve olasılık sabit olduğundan süreç Binom dağılımına uyar.

2

Verilen bilgilerden denklem sistemini kurma

E[X] - Var(X) = np - np(1-p) = np^2 = 0.8

ve

Var(X) = np(1-p) = 3.2

eşitlikleri elde edilir.

Soruda beklenen değer ile varyans farkı 0.8 ve varyans 3.2 olarak açıkça verilmiştir.

3

Denklem sistemini çözerek

p

ve

n

parametrelerini bulma

İki denklem oranlandığında

\frac{np(1-p)}{np^2} = \frac{1-p}{p} = \frac{3.2}{0.8} = 4

bulunur. Buradan

1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p=0.2

elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine konduğunda

n(0.2)^2 = 0.8 \implies n(0.04) = 0.8 \implies n=20

bulunur.

Binom dağılımının temel parametreleri olan

n

(deneme sayısı) ve

p

(başarı/kusur olasılığı) bilinmeden olasılık hesabı yapılamaz.

4

Yalnızca bir ürünün kusurlu olma olasılığını,

P(X=1)

, hesaplama

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.2)^1(0.8)^{19} = 20 \times 0.2 \times (0.8)^{19} = 4(0.8)^{19}

sonucuna ulaşılır.

Soruda tam olarak bir ürünün kusurlu olma olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Binom Dağılımında Beklenen Değer ve Varyans Özelliklerinin Kullanımı

Question 36Question →

Kamu İhale Kurumu (KİK) tarafından yürütülen Elektronik Kamu Alımları Platformu (EKAP) üzerindeki ihalelerde, sunulan teklif dosyalarındaki teknik şartnameye uygunsuzluk sayısının Poisson dağılımına uyduğu kabul edilmektedir.

Kurumun denetim raporlarına göre, incelenen her $50$ teklif dosyasında ortalama $2$ adet teknik şartnameye uygunsuzluk tespit edilmektedir.

Buna göre, rastgele seçilen $150$ teklif dosyasından oluşan bir denetim paketindeki teknik şartnameye uygunsuzluk sayısının varyansı ( $V$ ) ve bu pakette tam olarak $2$ adet uygunsuzluk tespit edilme olasılığı ( $P$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

V = 6, \quad P = 18e^{-6}

V = 2, \quad P = 2e^{-2}

V = 18, \quad P = 18e^{-6}

V = 6, \quad P = 25e^{-6}

V = 5,76, \quad P = 18e^{-6}

Show answer & explanation

Answer: $V = 6, \quad P = 18e^{-6}$

Answer

Doğru seçenek, varyansın 6 ve 2 uygunsuzluk bulunma olasılığının

18e^{-6}

olduğu seçenektir.

Doğru yanıtta, öncelikle

50

dosyada

2

olan hata oranının,

150

dosyada orantısal olarak artacağı göz önüne alınmış ve yeni Poisson parametresi

\lambda = 150 \times (2/50) = 6

olarak hesaplanmıştır. Poisson dağılımında varyans parametreye eşit olduğu için

V = 6

bulunur. Tam olarak

2

hata bulunma olasılığı ise Poisson olasılık kütle fonksiyonuna

\lambda=6

ve

x=2

değerleri yazılarak

P(X=2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = 18e^{-6}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Verilen orandan yeni örneklem hacmi için Poisson parametresini (

\lambda

) hesaplamak.

Yeni

\lambda = 150 \times (2 / 50) = 150 \times 0,04 = 6

olarak bulunur.

Poisson dağılımında beklenen değer (ortalama), incelenen hacim veya zaman aralığı ile doğru orantılı olarak ölçeklenmelidir.

2

Poisson dağılımının varyans özelliğini kullanarak yeni varyansı (

V

) belirlemek.

Poisson dağılımında varyans, beklenen değere (

\lambda

) eşittir. Bu nedenle

V = \lambda = 6

olur.

Poisson dağılımının en temel özelliklerinden biri, ortalama ile varyansın birbirine eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

).

3

Ölçeklenmiş

\lambda

değerini kullanarak

X=2

için nokta olasılığını hesaplamak.

P(X=2) = \frac{e^{-6} \cdot 6^2}{2!} = \frac{36 \cdot e^{-6}}{2} = 18e^{-6}

olarak hesaplanır.

Poisson dağılımının olasılık kütle fonksiyonu

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}

formülü ile verilir.

Key Concept

Poisson Dağılımında Parametre Ölçekleme ve Varyans Özelliği

Question 37Question →

Büyük ölçekli bir lojistik operasyonunda, sevk edilen bir kargonun hedeflenen gün içinde teslim edilebilme durumu $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir. Teslimatın başarılı olması $X=1$ , gecikmesi ise $X=0$ olarak tanımlanmış olup, zamanında teslimat olasılığı $p \in (0,1)$ değerine sahiptir.

Süreci optimize etmeye çalışan bir mühendis, $X$ değişkenini kullanarak $Y = aX + b$ şeklinde doğrusal bir dönüşüm tanımlamıştır ( $a, b \in \mathbb{R}$ ). Yapılan teorik incelemeler sonucunda $Y$ değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun (MGF)

M_Y(t) = (1-p)e^{-pt} + p e^{(1-p)t}

olduğu görülmüştür.

Buna göre, $Y$ rastgele değişkeninin varyansı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

p^2

p

p(1-p)

p(1+p)

\sqrt{p}

Show answer & explanation

Answer: $p(1-p)$

Answer

Y

rastgele değişkeninin varyansı

p(1-p)

ifadesine eşittir.

Verilen

Y = aX + b

rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu genel ifadeyle

M_Y(t) = e^{tb} [(1-p) + pe^{ta}]

şeklindedir. Sorudaki MGF ifadesi ile karşılaştırıldığında,

e

'nin kuvvetleri eşleştirildiğinde

b = -p

ve

a+b = 1-p

bağıntıları elde edilir. Buradan

a = 1

ve

b = -p

bulunur. Dolayısıyla mühendisin uyguladığı dönüşüm

Y = X - p

'dir. Varyansın temel özelliklerinden dolayı sabit sayıların varyansa etkisi yoktur; yani

Var(Y) = Var(X - p) = 1^2 \cdot Var(X)

olur.

X

bir Bernoulli değişkeni olduğu için varyansı doğrudan

p(1-p)

'ye eşittir.

Step-by-Step Solution

1

Y = aX + b

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonunun genel teorik formülünü yazmak.

M_Y(t) = E[e^{t(aX+b)}] = e^{tb} E[e^{taX}] = e^{tb} [(1-p) + pe^{ta}] = (1-p)e^{tb} + pe^{t(a+b)}

Soruda verilen spesifik MGF yapısı ile katsayıları eşleştirebilmek için doğrusal dönüşümün genel MGF formatını belirlemek gerekir.

2

Teorik MGF ile soruda verilen MGF'yi eşleştirerek

a

ve

b

katsayılarını hesaplamak.

(1-p)e^{tb} + pe^{t(a+b)} = (1-p)e^{-pt} + p e^{(1-p)t}

eşitliğinden

b = -p

ve

a+b = 1-p

(buradan

a = 1

) elde edilir.

Dönüşüm katsayılarını (

a

ve

b

) bularak

Y

rastgele değişkeninin tam olarak

Y = X - p

şeklinde tanımlandığını tespit etmek için.

3

Y

değişkeninin varyansını varyansın doğrusal dönüşüm özellikleri kullanılarak hesaplamak.

Y = X - p

olduğundan,

Var(Y) = Var(X - p) = Var(X) = p(1-p)

olarak bulunur.

Doğrusal bir dönüşümde

Var(aX+b) = a^2Var(X)

kuralı geçerlidir. Bernoulli dağılımının varyansı

p(1-p)

'dir ve toplama/çıkarma işleminin varyansa etkisi yoktur.

Key Concept

Bernoulli Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu ve Doğrusal Dönüşümlerin Varyansa Etkisi

Alternative Method

Varyansı bulmak için moment çıkaran fonksiyonun türevleri de doğrudan kullanılabilir. MGF'nin t'ye göre birinci türevinde t=0 yazıldığında beklenen değer (

E[Y] = M_Y'(0) = 0

), ikinci türevinde t=0 yazıldığında ise ikinci moment (

E[Y^2] = M_Y''(0) = p(1-p)

) bulunur. Daha sonra

Var(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = p(1-p) - 0 = p(1-p)

eşitliğiyle doğrudan aynı sonuca ulaşılır.

Estimated Time:2m 30s

Question 38Question →

Hazine ve Maliye Bakanlığında görevli bir vergi müfettişi, belirli bir sektördeki işletmelerin KDV beyannamelerini sırasıyla incelemektedir. Yapılan ön analizlere göre, bu sektördeki herhangi bir beyannamede 'yüksek riskli' bir usulsüzlük bulunma olasılığı $0,10$ 'dur ve beyannamelerin durumu birbirinden bağımsızdır.

Müfettişin, sektör hakkında kapsamlı bir rapor hazırlayabilmesi için tam olarak 3 adet yüksek riskli beyanname tespit etmesi gerekmektedir.

Buna göre, müfettişin aradığı 3. yüksek riskli beyannameyi tam olarak 7. beyannameyi incelediğinde tespit etme olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

\binom{7}{3} (0,10)^3 (0,90)^4

\binom{9}{2} (0,10)^3 (0,90)^7

(0,10)^3 (0,90)^4

\binom{6}{2} (0,10)^4 (0,90)^3

Show answer & explanation

Answer: $\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4$

Answer

Negatif Binom dağılımının kuralı gereği, 7. denemenin 3. başarı olabilmesi için ilk 6 denemede tam 2 başarı elde edilmelidir. Bu durum

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

formülü ile hesaplanır.

Soruda, 3. 'yüksek riskli' beyannameye (başarı,

r=3

) tam olarak 7. incelemede (deneme,

x=7

) ulaşılma olasılığı sorulmaktadır. Bu senaryo Negatif Binom (Pascal) dağılımını gerektirir. 7. incelemenin kesinlikle başarılı sonuçlanması şart koşulduğundan, ilk 6 incelemenin sadece 2'si başarılı olmalıdır. İlk 6 denemedeki bu durumun gerçekleşme olasılığı

\binom{6}{2} (0,10)^2 (0,90)^4

'tür. 7. denemenin de başarılı olma ihtimali olan

0,10

ile bu değer çarpıldığında sonuç

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Soruda verilen parametrelerin belirlenmesi

Başarı olasılığı

p=0,10

, hedeflenen başarı sayısı

r=3

, toplam deneme sayısı

x=7

olarak tespit edilir.

Kullanılacak olasılık dağılımını ve uygun formülü seçmek için temel parametrelere ihtiyaç vardır.

2

Dağılım türünün tespit edilmesi

Sabit bir başarı sayısına (

r=3

) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısının olasılığı arandığından Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır.

Binom dağılımı sabit denemedeki başarı sayısını verirken, Negatif Binom dağılımı sabit başarı için gereken deneme sayısını bulmakta kullanılır.

3

Negatif Binom formülünün uygulanması

P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}

genel formülünde değerler yerine yazıldığında

P(X = 7) = \binom{7-1}{3-1} (0,10)^3 (1-0,10)^{7-3}

işlemi elde edilir.

Son (7.) incelemenin kesinlikle aranan yüksek riskli beyanname (başarı) olması gerektiğinden, önceki 6 incelemede tam olarak 2 yüksek riskli beyanname bulunmalıdır.

4

Sonucun düzenlenmesi

Matematiksel ifade düzenlendiğinde olasılık değeri

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

olarak hesaplanır.

Kombinasyon terimi ve üslü ifadeler sadeleştirilerek seçeneklerdeki sonuca ulaşılır.

Key Concept

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Question 39Question →

Bir araştırmacı, laboratuvar ortamında gerçekleştirdiği bağımsız bir deneyde belirli bir kimyasal reaksiyonun gözlenme durumunu modelliyor. Reaksiyonun gerçekleşmesi durumunda $X=1$ , gerçekleşmemesi durumunda ise $X=0$ değeri atanmaktadır. Reaksiyonun gerçekleşme olasılığının $p$ ( $0 < p < 1$ ) olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu araştırmacının modellediği $X$ rastgele değişkeninin beklenen değeri ( $E[X]$ ), varyansı ( $Var(X)$ ) ve moment çıkaran fonksiyonu ( $M_X(t)$ ) aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + pe^t

p \quad , \quad p^2 \quad , \quad p + (1-p)e^t

p \quad , \quad \sqrt{p} \quad , \quad (1-p) + pe^t

p \quad , \quad p(1+p) \quad , \quad (1-p) + pe^t

1-p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad pe^t

Show answer & explanation

Answer: $p \quad , \quad p(1-p) \quad , \quad (1-p) + pe^t$

Answer

Doğru seçenek; beklenen değerin

p

, varyansın

p(1-p)

ve moment çıkaran fonksiyonun

(1-p) + pe^t

olarak verildiği seçenektir.

Bernoulli dağılımına sahip bir rastgele değişkenin sadece iki çıktısı vardır (0 ve 1). Beklenen değer başarı olasılığına (

p

), varyans başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına (

p(1-p)

) ve moment çıkaran fonksiyonu ise tanım kümesi üzerinden alınan toplama (

E[e^{tX}] = (1-p) + pe^t

) eşittir.

Step-by-Step Solution

1

X

rastgele değişkeninin olasılık dağılımını belirlemek.

X

, sadece 0 ve 1 değerlerini alabildiğinden ve tek bir denemeyi temsil ettiğinden başarı olasılığı

p

olan bir Bernoulli dağılımına sahiptir.

Sadece iki olası sonucu olan (başarı/başarısızlık) tekil denemeler Bernoulli dağılımı ile modellenir.

2

Beklenen değeri (

E[X]

) hesaplamak.

E[X] = \sum x \cdot P(X=x) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

elde edilir.

Kesikli rastgele değişkenlerde beklenen değer, her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamına eşittir.

3

Varyansı (

Var(X)

) hesaplamak.

Önce

E[X^2]

hesaplanır:

E[X^2] = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p = p

bulunur. Ardından varyans formülüne konur:

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)

.

Varyans,

E[X^2] - (E[X])^2

formülü kullanılarak elde edilir.

4

Moment çıkaran fonksiyonu (

M_X(t)

) türetmek.

M_X(t) = E[e^{tX}] = e^{t \cdot 0} \cdot P(X=0) + e^{t \cdot 1} \cdot P(X=1) = 1 \cdot (1-p) + e^t \cdot p = (1-p) + pe^t

olarak bulunur.

Moment çıkaran fonksiyon tanım gereği

E[e^{tX}]

beklenen değerine eşittir.

Key Concept

Bernoulli Dağılımı Özellikleri

Question 40Question →

Sağlık Bakanlığı Halk Sağlığı Genel Müdürlüğü tarafından yürütülen rutin su kalitesi izleme programı kapsamında, belirli bir şebeke hattından alınan numunelerde tespit edilen spesifik mikrobiyolojik kontaminasyon vakalarının sayısının Poisson dağılımına uyduğu bilinmektedir. Yapılan analizlere göre, bu şebeke hattında $1$ haftalık sürede ortalama $2,5$ kontaminasyon vakası rapor edilmektedir.

Buna göre, $2$ haftalık ardışık bir izleme periyodunda rapor edilecek toplam kontaminasyon vakası sayısının varyansı ve bu periyotta tam olarak $2$ kontaminasyon vakası rapor edilme olasılığı sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

5

ve

\frac{25}{2} e^{-5}

2,5

ve

\frac{25}{8} e^{-2,5}

10

ve

\frac{25}{2} e^{-5}

2,5

ve

\frac{25}{2} e^{-5}

5

ve

\frac{25}{8} e^{-2,5}

Show answer & explanation

Answer: $5$ ve $\frac{25}{2} e^{-5}$

Answer

2

haftalık periyot için varyans

5

ve

2

vaka rapor edilme olasılığı

\frac{25}{2} e^{-5}

'tir.

Doğru seçenekte, izleme periyodu

1

haftadan

2

haftaya çıktığı için Poisson oran parametresi

\lambda = 2,5 \times 2 = 5

olarak güncellenmiştir. Poisson dağılımında varyans beklenen değere eşit olduğundan (

Var(X) = \lambda

),

2

haftalık varyans

5

olarak bulunur.

2

haftalık periyotta tam olarak

2

kontaminasyon vakası görülme olasılığı ise

P(X=2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}

formülüyle doğru şekilde hesaplanmıştır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen problemi tanımlama ve temel parametreyi belirleme.

1

haftalık periyot için ortalama vaka sayısı (oran parametresi)

\lambda = 2,5

olarak belirlenir.

Zaman içindeki ardışık bağımsız olayların modellenmesinde birim zamana düşen ortalama olay sayısı üzerinden ilerlenmesi gerekir.

2

Zaman periyodunu istenen aralığa göre ölçeklendirme.

İstenen süre

2

hafta olduğu için, Poisson oran parametresi bu süreye göre güncellenir:

\lambda_{yeni} = 2 \times 2,5 = 5

.

Poisson sürecinde ortalama olay sayısı (

\lambda

) dikkate alınan zaman aralığının uzunluğu ile doğru orantılıdır.

3

İstenen periyot için toplam vaka sayısının varyansını hesaplama.

Varyans değeri

5

olarak bulunur.

Poisson dağılımının tanımlayıcı özelliklerinden biri, beklenen değerin (

\lambda

) varyansa eşit olmasıdır (

E(X) = Var(X) = \lambda

).

4

Ölçeklenmiş parametre ile nokta olasılığını hesaplama.

Formülde

\lambda=5

ve

x=2

değerleri yerine konulduğunda

P(X=2) = \frac{5^2 e^{-5}}{2!} = \frac{25}{2} e^{-5}

sonucu elde edilir.

Nokta olasılığı Poisson olasılık kütle fonksiyonu olan

P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}

formülü ile hesaplanmaktadır.

Key Concept

Poisson sürecinde oran parametresinin ölçeklenmesi ve varyansın beklenen değere eşitliği.

Özel Olasılık Dağılımları

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes