Stokastik Süreçler

Bir kamu kurumunda personelin mesleki gelişimi için düzenlenen bir eğitim programında, eğitim alan her bir personelin bir sonraki dönemde gönüllü olarak eğiteceği yeni personel sayısı $Z$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. $Z$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

Başlangıçta bu eğitimi almış bir kişi ($X_0=1$) olduğu ve dallanma sürecinin bağımsız olduğu varsayıldığında, 2. nesildeki (2. dönemdeki) beklenen personel sayısı ($E[X_2]$) kaçtır?

Bir nesne, sayı doğrusu üzerinde başlangıçta $0$ noktasında bulunmaktadır. Bu nesne her bir adımda, birbirinden bağımsız olarak $p = \frac{2}{5}$ olasılıkla sağa ($+1$ birim) ve $q = \frac{3}{5}$ olasılıkla sola ($-1$ birim) hareket etmektedir. Buna göre, bu nesnenin $3$ adım sonunda $1$ noktasında bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir üretim tesisindeki kritik bir makinenin günlük çalışma durumu "Faal" (1) ve "Arızalı" (2) olmak üzere iki durumlu bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu sürece ait tek adımlı geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

Buna göre, geçiş matrisinin temel özellikleri dikkate alındığında $k$ parametresinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Olasılık teorisinde rastgele olayların zaman içindeki değişimini modellemek için kullanılan stokastik süreçlerin temel bileşenleri, sınıflandırılması ve örneklem fonksiyonu kavramı ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir belediyenin toplu taşıma araçlarında kullanılan elektronik bilet okuma cihazlarının kritik bir bileşeni, arızalandığı anda bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Bu bileşenlerin arızasız kullanım süreleri (ömürleri) birbirinden bağımsız ve özdeş dağılımlı olup ortalama çalışma süresi $4$ aydır. Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, uzun dönemde bu cihazlar için yıllık beklenen (ortalama) yenileme sayısı kaçtır?

Bir belediyeye ait su arıtma tesisindeki ana su pompasının çalışma durumu, $S = \{0, 1\}$ durum uzayına sahip sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Burada $0$ durumu pompanın 'aktif' olduğunu, $1$ durumu ise 'arızalı' olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi $Q$ aşağıda verilmiştir:

Buna göre, bu su pompasının uzun dönemde (kararlı halde) aktif olma olasılığı kaçtır?

Standart bir Wiener süreci (Kahverengi hareket) $\{W(t), t \geq 0\}$ olarak tanımlanmıştır. Buna göre, bu sürece ait $W(15) - W(6)$ artışının (increment) olasılık dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

Bir lojistik deposunda kullanılan insansız taşıma aracı, düz bir hat üzerinde belirlenen başlangıç noktasından ($X_0 = 0$) harekete geçmektedir. Bu araç, her bir zaman aralığında birbirinden bağımsız olarak $p = 0,7$ olasılıkla bir birim ileri ($+1$) ve $q = 0,3$ olasılıkla bir birim geri ($-1$) gitmektedir. Buna göre, aracın $100$ adım sonundaki konumunun beklenen değeri ($E[X_{100}]$) kaçtır?

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü pasaport biriminde başvuruların işlem süreçleri; 'İnceleme' (1), 'Kontrol' (2) ve 'Basıldı/Teslim Edildi' (3) olmak üzere üç farklı durumda takip edilmektedir. Bu sürece ait geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıda verilmiştir:

Buna göre, 3 numaralı durumun ('Basıldı/Teslim Edildi') sınıflandırılması aşağıdakilerden hangisidir?

Bir $\{X(t), t \in T\}$ stokastik süreci, bir deneyin her bir $\omega \in \Omega$ sonucu için zamanın bir fonksiyonu olan $x(t, \omega)$ değerlerini üretir. Bu fonksiyona örneklem fonksiyonu (sample function) veya örneklem yolu denir. Zaman parametresi kümesi $T = \{0, 1, 2, \dots\}$ ve durum uzayı $S = [0, \infty)$ olarak tanımlanan bir stokastik süreç, sınıflandırma bakımından aşağıdakilerden hangisidir?

Bir belediyenin emlak vergisi tahsilat veznesine mükelleflerin varışları saatte ortalama $8$ kişi olacak şekilde Poisson dağılımına uygundur. Veznedeki memurun bir mükellefin işlemini bitirme süresi ise üstel dağılıma uygun olup saatte ortalama $10$ kişidir. Kuyruk modelinin $M/M/1$ yapısında olduğu varsayıldığında; bu sistemde (kuyrukta bekleyenler ve işlem görenler dahil) bulunan ortalama mükellef sayısı kaçtır?

Bir semt polikliniğine muayene için gelen hastaların varışları, saatte ortalama $\lambda = 12$ hasta oranıyla bir Poisson süreci, $\{N(t), t \geq 0\}$, olarak modellenmektedir. Buna göre, polikliniğe gelen ardışık iki hasta arasında geçen sürenin beklenen değeri kaç dakikadır?

$\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}$ filtrasyonuna göre bir martingale (martingal) olduğu bilinen $\{X_n\}_{n \geq 0}$ stokastik süreci için $n=4$ anındaki değer $X_4 = 15$ olarak gözlemlenmiştir. Buna göre, bu sürecin $n=10$ adımındaki değerinin $n=4$ adımına kadarki bilgilere göre koşullu beklenen değeri olan $E[X_{10} | \mathcal{F}_4]$ kaçtır?

Bir kamu kurumunun bütçe dengeleme analizinde, birim maliyetlerdeki günlük değişimler basit bir rassal yürüyüş süreci olarak ele alınmaktadır. Başlangıçta dengede ($X_0 = 0$) kabul edilen bu süreçte, maliyetin her gün birbirinden bağımsız olarak $p = 0,60$ olasılıkla $1$ birim artacağı, $q = 0,40$ olasılıkla ise $1$ birim azalacağı öngörülmektedir. Buna göre, $5$ gün sonunda maliyetin beklenen değeri kaç birimdir?

Bir kamu kurumundaki operasyonel verimlilik puanı, başlangıçta $0$ olarak belirlenmiştir. Bu puan, her ay yapılan değerlendirmede birbirinden bağımsız olarak $0,7$ olasılıkla $+1$ birim artmakta, $0,3$ olasılıkla ise $-1$ birim azalmaktadır. Buna göre, $10$ ayın sonunda verimlilik puanının beklenen değeri kaçtır?

Bir kamu kurumunun bilgi işlem merkezinde bulunan kesintisiz güç kaynaklarının (UPS) aküleri, işlevlerini yitirdikleri anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmektedir. Akülerin kullanım ömürleri, beklenen değeri $\mu = 4$ yıl olan, birbirlerinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir. Buna göre, Temel Yenileme Teoremi uyarınca uzun vadede birim zaman başına beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir üniversite kütüphanesinde kullanılan dijital arşivleme cihazının okuyucu kafası, arızalandığı anda vakit kaybetmeden yenisiyle değiştirilmektedir. Okuyucu kafasının kullanım ömrü (saat cinsinden), beklenen değeri $\mu = 400$ saat olan bir rastgele değişkendir. Temel Yenileme Teoremi'ne (Elementary Renewal Theorem) göre, uzun dönemde birim zamanda ($1$ saatte) gerçekleşmesi beklenen ortalama yenileme sayısı kaçtır?

Bir kamu binasının merkezi iklimlendirme sisteminde kullanılan özel bir hava filtresi, her arızalandığında bekletilmeksizin yenisiyle değiştirilmektedir. Filtrelerin arızalanması arasında geçen sürelerin ortalaması $4$ ay olan bağımsız ve özdeş dağılımlı rastgele değişkenler olduğu bilinmektedir. Buna göre, bu yenileme sürecinin uzun dönemdeki birim zamandaki (aylık) beklenen yenileme sayısı kaçtır?

Bir $\{X(t), t \in T\}$ stokastik sürecinde, $T$ parametre kümesi sürecin hangi zaman noktalarında gözlemlendiğini, $S$ durum uzayı ise sürecin alabileceği değerler kümesini ifade eder. Bir finansal analistin, her ayın son gününde bir şirketin hisse senedi fiyatını (TL cinsinden) kaydederek oluşturduğu stokastik sürecin sınıflandırılması aşağıdakilerden hangisidir?

$\{X_n\}_{n \geq 1}$ bağımsız ve aynı dağılımlı (i.i.d.) rastgele değişkenler dizisi olsun. Her bir $X_i$ değişkeninin beklenen değerinin $E[X_i] = 0$ olduğu bilinmektedir. $S_0 = 0$ başlangıç değeriyle kümülatif toplam süreci $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ şeklinde tanımlanmıştır. Bu durumda, $\{\mathcal{F}_n\}_{n \geq 0}$ doğal filtrasyonuna göre $E[S_{n+1} \mid \mathcal{F}_n]$ koşullu beklenen değerinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?