Zaman Serileri Analizi Practice Questions — KPSS İstatistik — Page 10

Question 181Question →

Bir ilin aylık tüketici fiyat endeksi (TÜFE) verilerini analiz eden bir uzman, serinin yapısını incelemek amacıyla aşağıdaki zaman serisi modelini kurmuştur:

(1 - 0,7L)Y_t = (1 + 0,4L)\epsilon_t

Bu modelde $L$ gecikme operatörünü, $\epsilon_t$ ise beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir. Buna göre, uzman tarafından kurulan bu modelin türü ve durağanlık durumu aşağıdakilerden hangisidir?

ARMA(1,1) yapısındadır ve durağandır.

ARMA(1,1) yapısındadır ve durağan değildir.

Sadece AR(1) yapısındadır ve durağandır.

Sadece MA(1) yapısındadır ve durağan değildir.

ARMA(2,2) yapısındadır ve durağandır.

Show answer & explanation

Answer: ARMA(1,1) yapısındadır ve durağandır.

Answer

Model ARMA(1,1) yapısındadır ve durağandır.

Verilen modelde

Y_t

üzerindeki gecikme derecesi 1 (

p=1

) ve hata terimi

\epsilon_t

üzerindeki gecikme derecesi 1 (

q=1

) olduğu için model ARMA(1,1) yapısındadır. Ayrıca AR kısmındaki katsayı olan 0,7'nin mutlak değeri 1'den küçük olduğu için durağanlık şartı sağlanmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Modelin derecelerini belirleme

p=1

ve

q=1

Sol taraftaki

(1 - 0,7L)

ifadesi birinci dereceden otoregresif (AR) kısmı, sağ taraftaki

(1 + 0,4L)

ifadesi ise birinci dereceden hareketli ortalama (MA) kısmını temsil eder.

2

Model türünü tanımlama

ARMA(1,1)

Hem AR hem de MA kısımları içerdiği için model birleşik ARMA modelidir.

3

Durağanlık şartını kontrol etme

|0,7| < 1

(Durağan)

Birinci dereceden bir sürecin durağan olması için AR katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.

Key Concept

ARMA(p,q) modellerinde derecelerin tespiti ve durağanlık koşulu

Question 182Question →

Bir araştırmacı, bir ülkenin 30 yıllık çeyreklik işsizlik oranlarını analiz ederken seride iki farklı dalgalanma türü tespit etmiştir. Birinci tür dalgalanmaların, her yılın özellikle kış aylarında tarım ve inşaat sektörlerindeki yavaşlamaya bağlı olarak düzenli bir şekilde tekrarlandığı görülmüştür. İkinci tür dalgalanmaların ise makroekonomik daralma ve genişleme evrelerine paralel olarak ortaya çıktığı, periyodunun 3 ila 8 yıl arasında değiştiği ve tamamlanma süresinin kesin bir düzenlilik arz etmediği saptanmıştır.

Buna göre, zaman serileri teorisi kapsamında bu iki dalgalanma türünün sınıflandırılması ve temel özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Birinci tür dalgalanmalar periyodu sabit olan mevsimsel hareketleri, ikinci tür dalgalanmalar ise periyodu bir yıldan uzun ve değişken olan döngüsel hareketleri ifade eder.

İkinci tür dalgalanmalar, başlangıç ve bitiş zamanları kesin olarak öngörülemediği için zaman serisinin düzensiz (rastgele) hareketler bileşeni olarak kabul edilir.

Birinci tür dalgalanmalar kısa vadeli trendi oluştururken, ikinci tür dalgalanmalar serinin yapısal kırılmalarını yansıtan mevsimsel hareketlerdir.

Her iki dalgalanma türü de genel olarak döngüsel bileşen içinde değerlendirilir; aralarındaki tek teorik fark dalgalanmanın sektörel etkileridir.

Birinci tür dalgalanmalar serinin sadece toplanabilir modelle incelenmesini gerektiren düzensiz hareketler iken, ikinci tür dalgalanmalar sabit varyanslı mevsimsel etkilerdir.

Show answer & explanation

Answer: Birinci tür dalgalanmalar periyodu sabit olan mevsimsel hareketleri, ikinci tür dalgalanmalar ise periyodu bir yıldan uzun ve değişken olan döngüsel hareketleri ifade eder.

Answer

Birinci tür dalgalanmalar periyodu sabit olan mevsimsel hareketleri, ikinci tür dalgalanmalar ise periyodu bir yıldan uzun ve değişken olan döngüsel hareketleri ifade eder.

Birinci tür dalgalanmaların 'her yıl düzenli bir şekilde tekrarlanması', periyodu sabit ve bir yıl (veya daha kısa) olan 'mevsimsel hareketlerin' en temel özelliğidir. İkinci tür dalgalanmaların 'makroekonomik evrelere paralel olması' ve 'periyodunun 3 ila 8 yıl arasında değişip kesin düzenlilik arz etmemesi' ise periyodu bir yıldan uzun ve değişken olan 'döngüsel hareketlerin' karakteristik tanımıdır.

Step-by-Step Solution

1

Birinci tür dalgalanmaların özelliklerini tanımla.

Her yıl kış aylarında düzenli tekrar etmesi ve periyodunun sabit (yıllık) olması, bunun 'mevsimsel bileşen' olduğunu gösterir.

Mevsimsellik, takvim yılı içindeki iklimsel veya kurumsal nedenlerle ortaya çıkan sabit periyotlu dalgalanmalardır.

2

İkinci tür dalgalanmaların özelliklerini tanımla.

Makroekonomik evrelere bağlı olması, 3-8 yıl sürmesi ve periyodunun kesin bir düzenlilik arz etmemesi, bunun 'döngüsel bileşen' olduğunu gösterir.

Döngüsellik, periyodu bir yıldan uzun olan ve uzunlukları (genişleme-daralma evreleri) yıldan yıla değişkenlik gösteren ekonomik konjonktür dalgalanmalarıdır.

3

Elde edilen tanımları seçeneklerle eşleştir.

Birinci türün mevsimsel (sabit periyotlu), ikinci türün döngüsel (değişken periyotlu) olarak tanımlandığı seçenek doğru kabul edilir.

Zaman serisi bileşenlerinin teorik tanımlarına uygun tek seçenek budur.

Key Concept

Zaman Serilerinde Mevsimsel ve Döngüsel Hareketlerin Ayrımı

Estimated Time:1m 0s

Question 183Question →

Bir perakende şirketinde veri analisti olarak görev yapan Elif, belirli bir ürünün haftalık satış miktarlarındaki rastgele şokların etkisini analiz etmektedir. Yaptığı modelleme sonucunda, sürece ait en uygun denklemin $Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2}$ olduğunu belirlemiştir. (Burada $\varepsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Buna göre, Elif'in belirlediği zaman serisi modeli ve istatistiksel özellikleri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model her durumda durağandır; tersinir (invertible) olabilmesi için

\theta_1

ve

\theta_2

parametrelerinin belirli kısıtları sağlaması gerekir ve serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Model her durumda tersinirdir; durağan olabilmesi için

\theta_1

ve

\theta_2

parametrelerinin belirli kısıtları sağlaması gerekir ve serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Modelin hem durağan hem de tersinir olması parametre değerlerine bağlıdır ve serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) zamanla üstel olarak sönümlenir.

Model her durumda durağandır ancak kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra aniden kesilirken, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) azalarak sönümlenir.

Modelin tersinir olabilmesi serideki döngüsel ve mevsimsel bileşenlerin varlığına bağlıdır ve seri durağan olmadığı için otokorelasyon fonksiyonu (ACF) yavaşça azalır.

Show answer & explanation

Answer: Model her durumda durağandır; tersinir (invertible) olabilmesi için $\theta_1$ ve $\theta_2$ parametrelerinin belirli kısıtları sağlaması gerekir ve serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Answer

İkinci dereceden hareketli ortalama (

MA(2)

) modeli her durumda durağanlık koşulunu sağlar; ancak tersinir olabilmesi için parametrelerin belirli kısıtları sağlaması gerekir ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Verilen denklem bir

MA(2)

sürecini tanımlamaktadır. Tüm sonlu

MA(q)

modelleri, varsayımsal olarak sabit bir varyansa sahip olduklarından her zaman durağandır. Ancak bu modellerin sonsuz dereceli bir

AR

modeline dönüştürülebilmesi (tersinirlik koşulu), parametrelere getirilen kısıtlamalara bağlıdır.

MA(q)

modelinin en belirgin teşhis aracı ise otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) tam olarak

q

. gecikmeden sonra sıfıra inmesi, yani kesilmesidir. Bu yüzden

MA(2)

modeli her durumda durağandır, şartlı olarak tersinirdir ve ACF'si 2. gecikmeden sonra kesilir.

Step-by-Step Solution

1

Modelin türünü ve derecesini belirleme

Verilen denklem

t-1

ve

t-2

zamanlarındaki hata terimlerini içerdiği için bu bir ikinci dereceden hareketli ortalama, yani

MA(2)

modelidir.

Hareketli ortalama modelleri, mevcut gözlemin geçmiş şokların (hata terimlerinin) doğrusal bir kombinasyonu olduğu modellerdir.

2

Durağanlık ve tersinirlik özelliklerini inceleme

MA(q)

modelleri doğası gereği her zaman durağandır. Fakat modelin tersinir (invertible) olabilmesi parametrelerinin kök kısıtlarını sağlamasına bağlıdır.

Tersinirlik, beyaz gürültü serisinin geçmiş gözlemler cinsinden ifade edilebilmesi için gerekli olan matematiksel bir gerekliliktir.

3

ACF ve PACF grafiklerinin davranışını değerlendirme

MA(2)

modeli için otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra sıfır olur (kesilir). Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise azalarak sönümlenir.

MA(q)

süreçlerinin teorik yapısı gereği, modeldeki en eski şokun üzerinden

q

dönem geçtikten sonra değişkenler aralarındaki korelasyon tamamen ortadan kalkar.

Key Concept

MA(q) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve ACF Davranışı

Estimated Time:1m 0s

Question 184Question →

Bir e-ticaret platformunun günlük aktif kullanıcı sayısındaki değişimi analiz eden bir veri bilimci, serinin durağanlaştırılmış halini ( $Y_t$ ) modellemek için aşağıdaki ARMA(2,1) sürecini önermiştir:

(1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2)Y_t = (1 - \theta_1 L)\varepsilon_t

Bu denklemde $L$ gecikme (backshift) operatörünü, $\varepsilon_t$ ise sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.

Buna göre, kurulan bu modelin hem durağan (stationary) hem de tersine çevrilebilir (invertible) olması için parametrelerin sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerin hangisinde birlikte ve doğru olarak verilmiştir?

\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

|\phi_1| < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_1 - \phi_2 < 1 \quad , \quad |\phi_1| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| > 1

|\phi_1 + \phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

Show answer & explanation

Answer: $\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1$

Answer

\phi_1 + \phi_2 < 1 \quad , \quad \phi_2 - \phi_1 < 1 \quad , \quad |\phi_2| < 1 \quad \text{ve} \quad |\theta_1| < 1

eşitsizliklerinin birlikte verildiği seçenektir.

Bir ARMA(2,1) modelinin durağan olabilmesi için AR(2) kısmına ait karakteristik denklemin kökleri birim çemberin dışında yer almalıdır. Bu durumun sağlanması için parametrelerin

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

olmak üzere üç eşitsizliği birden sağlaması gerekir. Modelin tersine çevrilebilir olması ise MA(1) kısmının kökünün birim çember dışında kalmasına bağlıdır ve bu koşul

|\theta_1| < 1

şeklinde ifade edilir. Bu nedenle, hem AR(2) hem de MA(1) kısımlarının şartlarını eksiksiz barındıran ifade doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Modelin yapısını ve durağanlık ile tersine çevrilebilirlik şartlarının hangi bileşenlere bağlı olduğunu belirlemek.

Durağanlık AR(2) kısmına, tersine çevrilebilirlik ise MA(1) kısmına bağlıdır.

ARMA modellerinde durağanlığı otoregresif kısım (

1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2

), tersine çevrilebilirliği ise hareketli ortalama kısmı (

1 - \theta_1 L

) belirler.

2

AR(2) süreci için durağanlık koşullarını tanımlamak.

Durağanlık için karakteristik denklemin köklerinin mutlak değeri 1'den büyük olmalıdır. Bunun için üç eşitsizlik gereklidir:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

.

İkinci dereceden bir fark denkleminin kararlılık (durağanlık) şartları matematiksel olarak bu üçgensel bölge ile ifade edilir.

3

MA(1) süreci için tersine çevrilebilirlik koşulunu tanımlamak.

MA(1) parametresi mutlak değerce 1'den küçük olmalıdır:

|\theta_1| < 1

.

MA modelinin AR formatında sonsuz bir seri olarak ifade edilebilmesi için MA karakteristik denkleminin kökünün birim çemberin dışında olması gerekir.

Key Concept

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersine Çevrilebilirlik Koşulları

Question 185Question →

Sağlık Bakanlığı, bir eğitim ve araştırma hastanesinin acil servisine günün belirli saat dilimlerinde yapılan başvuru sayılarını ( $Y_t$ ) öngörmek amacıyla bir zaman serisi modeli kullanmaktadır.

İlk dört saat dilimi için gerçekleşen başvuru sayıları ve modelin ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Saat Dilimi ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	40	44
2	50	45
3	20	25
4	100	95

Buna göre, bu öngörü modelinin Ortalama Mutlak Yüzde Hatası (MAPE) yüzde kaçtır?

4,75

5,00

12,50

22,75

50,00

Show answer & explanation

Answer: 12,50

Answer

Bu öngörü modelinin Ortalama Mutlak Yüzde Hatası (MAPE) %12,50'dir.

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE), tahmin hatalarının gerçek değerlere oranlarının mutlak değerlerinin ortalamasıdır. Formülü:

\text{MAPE} = \frac{1}{n} \sum_{t=1}^n \left| \frac{Y_t - F_t}{Y_t} \right| \times 100

şeklindedir. Verilen dört saat dilimi için mutlak yüzde hatalar sırasıyla %10, %10, %25 ve %5'tir. Bu değerlerin toplamı %50 olup, gözlem sayısı olan 4'e bölündüğünde %12,50 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1

Her bir zaman dilimi için mutlak yüzde hata değerlerini hesaplayınız.

t=1

için

|(40 - 44) / 40| = |-4 / 40| = 0,10

(%10)

t=2

için

|(50 - 45) / 50| = |5 / 50| = 0,10

(%10)

t=3

için

|(20 - 25) / 20| = |-5 / 20| = 0,25

(%25)

t=4

için

|(100 - 95) / 100| = |5 / 100| = 0,05

(%5)

MAPE formülündeki

\left| \frac{Y_t - F_t}{Y_t} \right|

terimi, her gözlem için hatanın gerçek değere oranının mutlak değerini ifade eder.

2

Hesaplanan mutlak yüzde hata değerlerini toplayınız.

10 + 10 + 25 + 5 = 50

Ortalamayı bulmak için öncelikle tüm yüzde hata değerlerinin toplamı gereklidir.

3

Toplam mutlak yüzde hatayı gözlem sayısına (

n=4

) bölünüz.

50 / 4 = 12,50

Ortalama mutlak yüzde hatayı (MAPE) elde etmek için toplam yüzde hata, toplam gözlem sayısına bölünür.

Key Concept

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE) Hesaplaması

Question 186Question →

Bir ulaşım planlama kurumu, aylık şehirlerarası otobüs sefer sayısını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Yapılan incelemeler sonucunda serinin modellenmesi için gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki denklem elde edilmiştir:

(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Buna göre, kurulan bu mevsimsel zaman serisi modelinin $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(1, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

SARIMA(1, 0, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 1, 1)(1, 12, 0)_{12}

SARIMA(0, 0, 1)(1, 0, 0)_{12}

Show answer & explanation

Answer: $SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}$

Answer

Doğru gösterim

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklemde eşitliğin sol tarafı

Y_t

'ye uygulanan işlemleri gösterir:

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi

P=1

'i,

(1 - B)

terimi

d=1

'i ve

(1 - B^{12})

terimi

D=1

'i ifade eder.

(1 - \phi_1 B)

gibi bir terim olmadığı için

p=0

'dır. Eşitliğin sağ tarafı ise hata terimlerine uygulanan işlemleri gösterir:

(1 - \theta_1 B)

terimi

q=1

'i ifade ederken, mevsimsel bir MA terimi olmadığı için

Q=0

'dır. Aylık veriler kullanıldığından

s=12

'dir. Bu nedenle doğru model formülasyonu

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sol tarafındaki (LHS) otoregresif ve fark alma terimlerini analiz etme

(1 - \Phi_1 B^{12})

terimi mevsimsel AR(1) modelini ifade eder (

P=1

).

(1 - B)

terimi mevsimsel olmayan birinci dereceden fark almayı ifade eder (

d=1

).

(1 - B^{12})

terimi ise birinci dereceden mevsimsel fark almayı ifade eder (

D=1

). Mevsimsel olmayan AR terimi

(1 - \phi_1 B)

bulunmadığından

p=0

'dır.

Modelin bağımlı değişkene (

Y_t

) uygulanan gecikme ve fark operatörlerini belirlemek için sol taraf incelenmelidir.

2

Eşitliğin sağ tarafındaki (RHS) hareketli ortalama (MA) terimlerini analiz etme

(1 - \theta_1 B)

terimi mevsimsel olmayan MA(1) modelini ifade eder (

q=1

). Mevsimsel MA terimi

(1 - \Theta_1 B^{12})

denklikte yer almadığı için

Q=0

'dır.

Hata terimine (

\varepsilon_t

) uygulanan hareketli ortalama etkilerini belirlemek için sağ taraf incelenmelidir.

3

Elde edilen parametreleri

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

formatında birleştirme

Aylık veri olduğu için

s=12

'dir. Bulunan değerler yerine konulduğunda

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

model gösterimi elde edilir.

Standart Box-Jenkins mevsimsel model gösterimini oluşturmak için tüm bileşenlerin doğru sırayla yazılması gerekir.

Key Concept

SARIMA Modellerinin Gecikme Operatörü ile Gösterimi

Question 187Question →

Bir enerji piyasası kurulu uzmanı, ülkenin aylık elektrik tüketim miktarını (megavat-saat) öngörmek amacıyla Box-Jenkins metodolojisini kullanmaktadır.

Uzman, yaptığı ön analizde orijinal serinin ortalama ve varyans bakımından durağan olmadığını belirlemiştir. Varyansı sabitlemek için logaritmik dönüşüm, ortalamayı sabitlemek için ise birinci dereceden düzenli fark alma işlemi uygulamıştır. Elde edilen durağan serinin korelogramı incelendiğinde; Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) grafiğinin 3. gecikmeden sonra aniden istatistiksel olarak sıfıra düştüğü (kesildiği), Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin ise yavaş yavaş (üstel olarak) sönümlendiği görülmüştür.

Buna göre, Box-Jenkins aşamaları ve model seçimi dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Grafiklerden elde edilen bulgular, serinin bağımlılık yapısının 3. dereceden bir otoregresif (

AR

) süreç ile modellenmesi gerektiğini ve modelin

ARIMA(3, 1, 0)

olacağını işaret etmektedir.

Seriyi durağanlaştırmak için uygulanan birinci dereceden fark alma işlemi, kurulacak

ARIMA(p, d, q)

modelinde entegre derecesini gösteren

d

parametresinin 1 olması gerektiğini ifade eder.

ACF ve PACF grafiklerinin incelenerek modelin

p

ve

q

derecelerinin belirlenmesi, Box-Jenkins metodolojisinin 'Model Tanımlama' (Kimliklendirme) aşaması kapsamında gerçekleştirilir.

Modelin parametreleri tahmin edildikten sonra 'Uygunluk Denetimi' (Teşhis) aşamasına geçilmeli ve tahmin edilen modelin artıklarının beyaz gürültü (white noise) süreci olup olmadığı test edilmelidir.

Aday model ile birlikte farklı derecelere sahip alternatif modeller de tahmin edilirse, bu modeller arasından en uygun olanını seçmek için Akaike (AIC) veya Schwarz (SBC/BIC) bilgi kriterleri kullanılabilir.

Show answer & explanation

Answer: Grafiklerden elde edilen bulgular, serinin bağımlılık yapısının 3. dereceden bir otoregresif ( $AR$ ) süreç ile modellenmesi gerektiğini ve modelin $ARIMA(3, 1, 0)$ olacağını işaret etmektedir.

Answer

Grafiklerden elde edilen bulguların 3. dereceden bir otoregresif sürece ve

ARIMA(3, 1, 0)

modeline işaret ettiğini belirten seçenek yanlıştır.

Verilen senaryoda ACF grafiği 3. gecikmeden sonra aniden kesilmekte, PACF ise yavaş yavaş sönümlenmektedir. Bu teorik davranış 3. dereceden bir hareketli ortalama (

MA(3)

) sürecinin karakteristik özelliğidir. Birinci dereceden fark alındığı da bilindiğine göre, tanımlanması gereken model

ARIMA(0, 1, 3)

'tür. İlgili seçenekte modelin bir otoregresif süreç (

AR(3)

) olduğu ve

ARIMA(3, 1, 0)

kurulması gerektiği iddia edilmiştir; dolayısıyla bu ifade kesinlikle yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1

Seriye uygulanan işlemler ve Box-Jenkins gösteriminin (

ARIMA(p, d, q)

) eşleştirilmesi.

Birinci dereceden düzenli fark alma işlemi uygulandığı için modelin fark alma derecesi (entegre derecesi)

d=1

olarak belirlenir.

ARIMA

modellerinde

d

parametresi, seriyi durağanlaştırmak için serinin kendisinden kaç kez fark alındığını ifade eder.

2

ACF ve PACF grafiklerinin özelliklerini değerlendirerek modelin otoregresif (

p

) ve hareketli ortalama (

q

) derecelerinin tespit edilmesi.

ACF'nin 3. gecikmeden sonra kesilmesi ve PACF'nin sönümlenmesi, sürecin 3. dereceden hareketli ortalama (

MA(3)

) olduğuna işaret eder. Yani

p=0

ve

q=3

'tür.

Otoregresif (

AR

) modellerde PACF belirli bir gecikmede kesilirken ACF sönümlenir. Hareketli ortalama (

MA

) modellerinde ise tam tersi geçerlidir; ACF belirli bir gecikmede aniden kesilir, PACF ise sönümlenir.

3

Box-Jenkins aşamalarının kavramsal olarak doğruluğunun teyit edilmesi.

Derecelerin belirlenmesi 'Model Tanımlama', model artıklarının beyaz gürültü olup olmadığının incelenmesi ise 'Uygunluk Denetimi' aşamasıdır. Ayrıca alternatifler arasında seçim yaparken AIC, BIC gibi bilgi kriterleri kullanılır.

Box-Jenkins metodolojisi dört temel aşamadan oluşur: Tanımlama, Tahmin, Uygunluk Denetimi ve Öngörü. Verilen seçeneklerdeki bu tanımlamalar doğru verilmiştir.

4

Seçeneklerin değerlendirilmesi ve yanlış olanın bulunması.

Sürecin

AR(3)

olduğu ve modelin

ARIMA(3, 1, 0)

olarak kurulması gerektiği yönündeki ifade teorik gerçeklerle uyuşmamaktadır. Doğru model

ARIMA(0, 1, 3)

olmalıdır.

Soru kökünde yanlış olan ifadeyi bulmamız istendiği için bu ifade sorunun doğru cevabıdır.

Key Concept

ARIMA Modellerinde Derece Belirleme (Kimliklendirme) ve Box-Jenkins Aşamaları

Question 188Question →

Bir e-ticaret platformunun günlük aktif kullanıcı sayılarına ait zaman serisi verileri incelendiğinde serinin durağan yapıda olduğu görülmüştür. Bu seriye ait otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde; ACF katsayılarının sinüzoidal bir biçimde dalgalanarak sönümlendiği, PACF katsayılarının ise yalnızca 1. ve 2. gecikmelerde istatistiksel olarak anlamlı olduğu ve 2. gecikmeden sonra hızla sıfıra düşerek (kesilerek) güven sınırları içinde kaldığı gözlenmiştir.

Bu özelliklere sahip bir zaman serisi için kurulması gereken en uygun model türü ve bu modelin geçerli olabilmesi (durağanlık) için katsayılarının sağlaması gereken teorik koşullardan biri aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru olarak verilmiştir?

İkinci dereceden hareketli ortalama modeli, MA(2) olmalıdır ve tersine çevrilebilirlik için parametreler

\theta_1 + \theta_2 < 1

şartını sağlamalıdır.

İkinci dereceden otoregresif model, AR(2) olmalıdır ve durağanlığın sağlanması için yalnızca

|\phi_1| < 1

eşitsizliğinin sınanması yeterlidir.

ARMA(1,1) modeli olmalıdır ve modelin uygunluğu için hem durağanlık hem de tersine çevrilebilirlik koşulları bir arada test edilmelidir.

İkinci dereceden otoregresif model, AR(2) olmalıdır ve durağanlık için parametreler

\phi_1 + \phi_2 < 1

şartını sağlamalıdır.

ARIMA(2,1,0) modeli olmalıdır, zira ACF katsayılarının sönümlenmesi serinin birinci dereceden farkının alınmasını zorunlu kılmaktadır.

Show answer & explanation

Answer: İkinci dereceden otoregresif model, AR(2) olmalıdır ve durağanlık için parametreler $\phi_1 + \phi_2 < 1$ şartını sağlamalıdır.

Answer

Modelin PACF grafiğinde ikinci gecikmede aniden kesilmesi ve ACF'nin dalgalanarak sönümlenmesi serinin İkinci Dereceden Otoregresif, AR(2) modeli ile ifade edilebileceğini gösterir. Bir AR(2) sürecinin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir ki bu da katsayıların

\phi_1 + \phi_2 < 1

şartını sağlamasını gerektirir.

Zaman serisi analizinde model teşhisi (Box-Jenkins yöntemi) yapılırken, PACF grafiğinin

p

. gecikmede aniden kesilmesi ve ACF grafiğinin üstel veya sinüzoidal biçimde sönümlenmesi, serinin

p

. dereceden otoregresif (AR(p)) bir süreç olduğunu teorik olarak kanıtlar. Verilen senaryoda PACF 2. gecikmede kesildiği için model kesinlikle AR(2)'dir. Bir AR(2) sürecinin durağanlık koşulları, karakteristik denklemin özelliklerinden türetilen üç kısıttan oluşur:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

-1 < \phi_2 < 1

. Doğru yanıt, hem modelin türünü hem de bu üç teorik kısıttan birini eksiksiz ve doğru olarak içermektedir.

Step-by-Step Solution

1

ACF ve PACF grafiklerinin tanımlayıcı özelliklerini kullanarak uygun model ailesini ve derecesini belirlemek.

PACF grafiği

p=2

gecikmesinde kesildiği ve ACF sönümlendiği için uygun model İkinci Dereceden Otoregresif Model, yani AR(2)'dir.

AR(p) modellerinin en belirgin teşhis aracı, PACF grafiğinin tam olarak

p

. gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra düşmesi (kesilmesi) ve ACF'nin sönümlenmesidir.

2

Belirlenen AR(2) modelinin yapısal olarak geçerli (durağan) olabilmesi için gerekli teorik parametre kısıtlarını hatırlamak.

AR(2) modelinin genel denklemi

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t

şeklindedir. Durağanlık için

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

koşullarının tümü aynı anda sağlanmalıdır.

Zaman serisinin varyansının ve ortalamasının zaman içinde sabit kalabilmesi için karakteristik denklemin (

1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2 = 0

) kökleri mutlak değerce 1'den büyük olmalıdır; bu matematiksel şart belirtilen üçgen kısıtları oluşturur.

3

Elde edilen model teşhisi ve durağanlık koşullarını seçeneklerle eşleştirmek.

Doğru ifadeyi içeren seçeneğin, modelin AR(2) olduğunu belirten ve

\phi_1 + \phi_2 < 1

koşulunu veren seçenek olduğu tespit edilir.

Diğer seçeneklerde modelin MA, ARMA veya ARIMA olarak yanlış tanımlanması ya da eksik/hatalı durağanlık/tersine çevrilebilirlik kısıtları verilmesi elenmelerine neden olur.

Key Concept

AR(p) Modellerinde ACF/PACF Grafikleriyle Teşhis ve Parametre Durağanlık Sınırları

Question 189Question →

Türkiye İstatistik Kurumu'nda (TÜİK) görevli bir uzman, aylık olarak kaydedilen sanayi üretim endeksi verilerini zaman serisi bileşenlerine ayrıştırmak için toplamsal (additive) ayrıştırma modelini kullanmıştır. Uzman; serideki eğilim (trend), mevsimsel ve döngüsel bileşenleri tahmin etmiş ve bu deterministik bileşenleri orijinal veriden çıkararak düzensiz (rastgele) bileşeni ( $I_t$ ) elde etmiştir.

Buna göre, doğru kurgulanmış bir toplamsal modelde elde edilen düzensiz bileşenin ( $I_t$ ) teorik olarak sağlaması beklenen temel istatistiksel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

Beklenen değerinin bir (

1

) olması ve dalgalanma genliğinin serinin genel düzeyine bağlı olarak değişmesi

Takvim yılı içerisinde periyodu sabit ve önceden bilinen düzenli dalgalanmalar sergilemesi

Beklenen değerinin sıfır (

0

) olması ve sistematik bir yapı barındırmayan beyaz gürültü süreci özelliği göstermesi

Makroekonomik daralma ve genişleme evrelerine bağlı olarak genellikle uzun yıllara yayılan dalgalar oluşturması

Serinin uzun dönemdeki yapısal değişimlerini ve temel yönünü belirleyen doğrusal veya üstel bir fonksiyon olması

Show answer & explanation

Answer: Beklenen değerinin sıfır ( $0$ ) olması ve sistematik bir yapı barındırmayan beyaz gürültü süreci özelliği göstermesi

Answer

Toplamsal model varsayımları altında düzensiz bileşenin beklenen değeri sıfır olmalı ve herhangi bir sistematik desen (otokorelasyon vb.) içermeyen beyaz gürültü süreci olmalıdır.

Doğru kurgulanmış bir zaman serisi ayrıştırmasında; trend, mevsimsellik ve döngüsel hareketler gibi tüm sistematik ve öngörülebilir bileşenler veriden çıkarıldığında geriye sadece tesadüfi (rastgele) dalgalanmalar kalır. Toplamsal modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) bu rastgele kısmın birikimli etkisinin sıfır olması beklenir (

E(I_t)=0

). Ayrıca bu bileşenin geçmiş ve gelecek değerleri arasında hiçbir ilişki bulunmaması, yani saf bir beyaz gürültü (white noise) süreci olması, modelin serideki tüm sistematik bilgiyi başarıyla ayıkladığını ve geriye sadece modelin açıklayamadığı rastgele şokların kaldığını gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Toplamsal zaman serisi ayrıştırma modelinin denklemini yazma

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

denklemi oluşturulur.

Zaman serisi bileşenlerinin birbirleriyle nasıl birleştiğini ve düzensiz bileşenin (

I_t

) matematiksel konumunu görmek için gereklidir.

2

Düzensiz bileşenin (

I_t

) yalnız bırakılması

I_t = Y_t - (T_t + S_t + C_t)

şeklinde seriden sistematik kısımların arındırılması işlemi tanımlanır.

Modeldeki tüm açıklanabilen (sistematik) hareketler seriden çıkarıldığında geriye neyin kaldığını belirlemek içindir.

3

Geriye kalan bileşenin teorik özelliklerini değerlendirme

Geriye kalan kısımda hiçbir sistematik bilgi (trend, mevsimsellik veya döngüsellik) kalmadığı için bu hata teriminin beklenen değeri sıfır (

E(I_t)=0

), varyansı sabit olmalı ve ardışık değerleri arasında ilişki (korelasyon) bulunmamalıdır.

Toplamsal modelin temel istatistiksel varsayımı, arta kalan hata terimlerinin bir beyaz gürültü (white noise) süreci oluşturmasıdır.

Key Concept

Zaman Serilerinde Toplamsal Model ve Düzensiz Bileşen (Hata Terimi) Varsayımları

Question 190Question →

Bir turizm araştırmacısı, ülkeye aylık olarak giriş yapan yabancı turist sayısını ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Serinin durağanlaştırılması ve modellenmesi aşamalarından sonra, veri üreten sürecin gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak aşağıdaki denkleme uygun olduğu belirlenmiştir:

(1 - \Phi_1 B^{12})(1 - B)(1 - B^{12})Y_t = (1 - \theta_1 B)\varepsilon_t

Buna göre, araştırmacının tahmin ettiği modelin SARIMA $(p, d, q)(P, D, Q)_s$ gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? (Burada $\varepsilon_t$ beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir.)

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(1, 1, 0)(0, 1, 1)_{12}

SARIMA(1, 1, 0)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 0, 1)(1, 1, 0)_{12}

SARIMA(0, 1, 1)(0, 1, 1)_{12}

Show answer & explanation

Answer: $SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}$

Answer

Doğru gösterim

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

şeklindedir.

Verilen denklem genel SARIMA formuyla eşleştirildiğinde;

Y_t

'nin katsayıları olan

(1-B)

terimi mevsimsel olmayan

d=1

'i,

(1-B^{12})

terimi mevsimsel

D=1

'i,

(1-\Phi_1 B^{12})

terimi ise mevsimsel AR derecesi

P=1

'i gösterir. Mevsimsel olmayan AR çarpanı yoktur (

p=0

). Eşitliğin sağ tarafındaki

(1-\theta_1 B)

çarpanı ise mevsimsel olmayan MA derecesini (

q=1

) ifade eder. Mevsimsel MA çarpanı yoktur (

Q=0

). Bu bulgular birleştirildiğinde model

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Genel SARIMA

(p,d,q)(P,D,Q)_s

denkleminin yapısını hatırlayın.

Genel denklem:

\phi_p(B)\Phi_P(B^s)(1-B)^d(1-B^s)^D Y_t = \theta_q(B)\Theta_Q(B^s)\varepsilon_t

Verilen denklemdeki her bir çarpanın modelin hangi parametresine karşılık geldiğini eşleştirmek için genel forma ihtiyaç vardır.

2

Eşitliğin sol tarafındaki (otoregresif ve fark alma) terimleri analiz edin.

(1 - \Phi_1 B^{12})

mevsimsel AR terimidir (

P=1

).

(1 - B)

mevsimsel olmayan birinci dereceden fark almayı ifade eder (

d=1

).

(1 - B^{12})

ise mevsimsel birinci dereceden fark almayı ifade eder (

D=1

). Mevsimsel olmayan AR terimi

(1 - \phi_1 B)

formunda bir çarpan içermediğinden

p=0

'dır.

AR parametreleri ve fark alma dereceleri denklemin

Y_t

'li (sol) tarafında yer alır.

3

Eşitliğin sağ tarafındaki (hareketli ortalama) terimleri analiz edin.

(1 - \theta_1 B)

mevsimsel olmayan MA terimidir (

q=1

).

(1 - \Theta_1 B^{12})

formunda mevsimsel bir MA çarpanı bulunmadığından

Q=0

'dır.

MA parametreleri denklemin hata terimi olan

\varepsilon_t

'li (sağ) tarafında yer alır.

4

Bulunan parametreleri

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

formatında birleştirin.

Aylık veri olduğu için

s=12

'dir. Değerler yerine konduğunda

SARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)_{12}

elde edilir.

Modelin doğru istatistiksel gösterimi bu sıralamaya dayanmaktadır.

Key Concept

SARIMA Modellerinde Gecikme Operatörü (Backshift) ile Parametre Tespiti

Question 191Question →

Bir ülkenin aylık tarımsal üretim endeksini Box-Jenkins metodolojisi ile modellemek isteyen bir araştırmacı, orijinal zaman serisinin durağan olmadığını belirlemiş ve birinci dereceden fark alma işlemi uygulayarak seriyi durağan hâle getirmiştir.

Durağanlaştırılan serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde; ACF'nin yavaşça azalarak sönümlendiği, PACF'nin ise ikinci gecikmeden sonra güven sınırlarının içine girerek istatistiksel olarak sıfır kabul edildiği (aniden kesildiği) saptanmıştır.

Buna göre, bu zaman serisi için tanımlama (teşhis) aşamasında belirlenmesi gereken en uygun aday modelin gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(2, 1, 0)

ARIMA(0, 1, 2)

ARIMA(2, 0, 0)

ARIMA(2, 1, 2)

ARIMA(1, 2, 0)

Show answer & explanation

Answer: $ARIMA(2, 1, 0)$

Answer

Box-Jenkins yöntemine göre uygun model

ARIMA(2, 1, 0)

gösterimidir.

Box-Jenkins yönteminin tanımlama aşamasında,

ARIMA(p, d, q)

modelinin parametreleri ACF ve PACF grafiklerine göre belirlenir. Orijinal seriye birinci dereceden fark işlemi uygulandığı belirtildiği için fark parametresi

d = 1

'dir. Durağan seride ACF yavaşça azalarak sönümleniyor ve PACF 2. gecikmeden sonra güven aralığına girerek istatistiksel olarak sıfır oluyorsa (aniden kesiliyorsa), bu serinin 2. dereceden Otoregresif bir süreç, yani

AR(2)

olduğunu gösterir. MA süreci gözlenmediğinden

q = 0

'dır. Dolayısıyla doğru model

ARIMA(2, 1, 0)

biçimindedir.

Step-by-Step Solution

1

Serinin bütünleşiklik (fark alma) derecesini (

d

) belirle.

Araştırmacı birinci dereceden fark alma işlemi uyguladığı için

d = 1

olur.

Zaman serisi modellerinde

ARIMA(p, d, q)

notasyonundaki

d

parametresi, seriyi durağanlaştırmak için kaç kez fark alındığını ifade eder.

2

ACF ve PACF grafiklerinin teorik davranışlarını inceleyerek

p

ve

q

derecelerini tespit et.

ACF yavaşça sönümlenirken PACF 2. gecikmeden sonra aniden kesilmiştir. Bu durum saf bir

AR(2)

sürecine işaret eder. Bu nedenle

p = 2

ve

q = 0

olmalıdır.

Otoregresif (AR) modellerde PACF p'inci gecikmeden sonra sıfıra kesilirken ACF sönümlenir. Hareketli Ortalama (MA) modellerinde ise tam tersi geçerlidir.

3

Parametreleri genel formülasyona yerleştir.

Belirlenen

p=2

,

d=1

ve

q=0

değerleri

ARIMA(p, d, q)

formatında birleştirildiğinde

ARIMA(2, 1, 0)

elde edilir.

Tüm parametreler belirlendiğinde bütünleşik zaman serisi modelinin nihai gösterimi tanımlanmış olur.

Key Concept

ARIMA Modellerinde Parametre Tanımlama (Identification)

Question 192Question →

Çevre, Şehircilik ve İklim Değişikliği Bakanlığı uzmanları, bir organize sanayi bölgesindeki günlük $PM_{10}$ emisyon miktarlarını incelemektedir. İlgili zaman serisinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde; ACF değerlerinin zaman gecikmesi arttıkça yavaşça azalarak sönümlendiği, PACF değerlerinin ise birinci ve ikinci gecikmelerde istatistiksel olarak anlamlı iken üçüncü gecikmeden itibaren aniden kesilerek sıfır kabul edilebilir düzeye indiği tespit edilmiştir.

Buna göre, serinin modellenmesinde kullanılacak en uygun zaman serisi modeli ve bu modelin durağanlık koşulu aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Seri için en uygun model AR(2)'dir ve durağanlık varsayımının sağlanabilmesi için parametrelerin

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

eşitsizliklerini birlikte sağlaması gerekir.

Seri için en uygun model MA(2)'dir ve durağanlık her durumda sağlandığından parametrelerin sadece tersinirlik koşulu olan

|\theta_1| < 1

ve

|\theta_2| < 1

sınırları içinde kalması yeterlidir.

Seri için en uygun model ARMA(1,1)'dir ve modelin hem durağanlık hem de tersinirlik koşulunu sağlaması için

|\phi_1| < 1

ile

|\theta_1| < 1

olması gerekmektedir.

Seri için en uygun model AR(2)'dir ve modelin durağan olabilmesi için yalnızca

|\phi_1| < 1

ve

|\phi_2| < 1

eşitsizliklerinin sağlanması yeterlidir.

Seri için en uygun model birinci dereceden entegre edilmiş AR(1) modelidir ve durağanlığı sağlamak için serinin birinci dereceden farkının alınarak

\phi_1 = 1

kısıtlaması altında modellenmesi gerekir.

Show answer & explanation

Answer: Seri için en uygun model AR(2)'dir ve durağanlık varsayımının sağlanabilmesi için parametrelerin $\phi_1 + \phi_2 < 1$ , $\phi_2 - \phi_1 < 1$ ve $|\phi_2| < 1$ eşitsizliklerini birlikte sağlaması gerekir.

Answer

Model seçimi olarak AR(2) doğru olmalıdır ve durağanlık için parametreler durağanlık üçgeni koşullarını (\phi_1 + \phi_2 < 1, \phi_2 - \phi_1 < 1 ve |\phi_2| < 1) birlikte sağlamalıdır.

Verilen senaryoda PACF'nin ikinci gecikmeden sonra aniden sıfır kabul edilebilir bir düzeye gelmesi (kesilmesi) ve ACF'nin dereceli olarak sönümlenmesi tipik bir AR(2) - İkinci Dereceden Otoregresif Süreç davranışıdır. AR(2) modelinin, Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \varepsilon_t, zayıf durağanlık şartlarını sağlaması için karakteristik denkleminin kökleri birim çemberin dışında olmalıdır. Bu matematiksel gereklilik parametre uzayında bir durağanlık üçgeni oluşturur ve bu üçgenin sınırları eşzamanlı olarak \phi_1 + \phi_2 < 1, \phi_2 - \phi_1 < 1 ve |\phi_2| < 1 şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1

ACF ve PACF grafiklerinin davranışlarını teorik zaman serisi özellikleriyle eşleştirin.

ACF sönümleniyor ve PACF aniden kesiliyorsa model kesinlikle Otoregresif (AR) bir modeldir.

Zaman serisi bileşenlerinin otokorelasyon yapılarını tanımlamak için.

2

PACF'nin hangi gecikmede kesildiğine bakarak AR modelinin derecesini (p) belirleyin.

PACF 2. gecikmede anlamlı, 3. gecikmeden itibaren aniden kesildiği için p=2'dir. Yani model AR(2)'dir.

Otoregresif modellerde derecenin (p) belirlenmesi doğrudan PACF'nin kesilme noktasına bağlıdır.

3

AR(2) modelinin teorik durağanlık şartlarını (karakteristik denklemin kökleri üzerinden) değerlendirin.

Durağanlık için Yule-Walker denklemlerinden türetilen ve 'durağanlık üçgeni' olarak adlandırılan üç temel koşulun birlikte sağlanması gerekir: \phi_1 + \phi_2 < 1, \phi_2 - \phi_1 < 1 ve |\phi_2| < 1.

AR(p) modellerinin uzun dönemde patlayıcı bir varyansa sahip olmaması (durağan olması) için katsayılar üzerindeki teorik sınırları saptamak için.

Key Concept

AR(p) Modellerinde Derece Belirleme ve Durağanlık Koşulları

Question 193Question →

Türkiye İş Kurumu (İŞKUR), bir ildeki belirli bir meslek edindirme kursuna haftalık başvuru sayılarını ( $Y_t$ ) öngörmek için bir model geliştirmiştir. Son dört haftaya ait gerçek başvuru sayıları ve modelin öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Hafta ( $t$ )	Gerçekleşen Başvuru ( $Y_t$ )	Öngörülen Başvuru ( $F_t$ )
1	50	45
2	40	36
3	25	22
4	20	24

Buna göre, bu öngörü modelinin Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE) değeri yüzde kaçtır?

3

4

13

16,5

52

Show answer & explanation

Answer: 13

Answer

Modelin Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE) değeri 13'tür.

Ortalama Mutlak Yüzde Hata (MAPE), her bir dönemdeki mutlak hatanın gerçek değere oranının yüzde cinsinden ifade edilip ortalamasının alınmasıyla bulunur. Formülü

MAPE = \frac{1}{n} \sum \left| \frac{Y_t - F_t}{Y_t} \right| \times 100

şeklindedir. Verilen tabloya göre her bir haftanın mutlak yüzde hatası sırasıyla; 1. hafta için

\%10

, 2. hafta için

\%10

, 3. hafta için

\%12

ve 4. hafta için

\%20

olarak hesaplanır. Bu değerlerin toplamı

52

olup, dört haftalık veri kullanıldığı için bu toplam dörde bölündüğünde ortalama değer

13

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Her bir hafta için gerçekleşen değer ile öngörü değeri arasındaki mutlak sapma (hata) hesaplanır.

|e_1| = |50 - 45| = 5

,

|e_2| = |40 - 36| = 4

,

|e_3| = |25 - 22| = 3

,

|e_4| = |20 - 24| = 4

Öngörü hatalarının mutlak büyüklüğünü belirlemek için.

2

Hesaplanan mutlak hatalar ilgili haftanın gerçek değerine (

Y_t

) bölünür ve 100 ile çarpılarak yüzdelik mutlak hatalar bulunur.

1. Hafta:

(5 / 50) \times 100 = \%10

, 2. Hafta:

(4 / 40) \times 100 = \%10

, 3. Hafta:

(3 / 25) \times 100 = \%12

, 4. Hafta:

(4 / 20) \times 100 = \%20

MAPE formülünde her bir dönemin hatasının gerçek değere olan göreceli payı mutlak olarak dikkate alınır.

3

Bulunan mutlak yüzde hatalar toplanır ve toplam gözlem sayısına (

n=4

) bölünerek ortalama alınır.

MAPE = \frac{10 + 10 + 12 + 20}{4} = \frac{52}{4} = 13

Tüm veri setindeki ortalama sapmayı yüzde cinsinden ifade edebilmek için.

Key Concept

Öngörü Yöntemleri ve Hata Ölçütleri (MAPE)

Question 194Question →

Ulusal bir perakende zinciri, mağazalarının çeyreklik (üçer aylık) toplam satış gelirlerini modellemek ve geleceğe yönelik öngörüler yapmak amacıyla Box-Jenkins metodolojisini kullanmaktadır. Araştırmacılar, seriyi durağanlaştırmak için sırasıyla birinci dereceden olağan fark alma ( $d=1$ ) ve birinci dereceden mevsimsel fark alma ( $D=1$ ) işlemlerini uygulamıştır.

Durağan hale getirilen serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) ve Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde şu sonuçlara ulaşılmıştır:
- Mevsimsel olmayan (olağan) gecikmelerde: ACF grafiğinde 1. ve 2. gecikmelerde istatistiksel olarak anlamlı kopmalar (sıçramalar) gözlenmiş ve sonraki gecikmelerde güven sınırları içine düşmüştür. PACF grafiği ise dalgalanarak üstel bir şekilde sönümlenmektedir.
- **Mevsimsel gecikmelerde ( $s=4$ ):** PACF grafiğinde sadece 4. gecikmede istatistiksel olarak anlamlı bir kopma bulunurken; ACF grafiğinde 4, 8 ve 12. gecikmelerde azalarak sönümlenme eğilimi izlenmiştir.

Buna göre, analiz edilen satış gelirleri serisini açıklayan en uygun mevsimsel zaman serisi (SARIMA) modeli aşağıdakilerden hangisidir?

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

SARIMA(2, 1, 0)(0, 1, 1)_4

SARIMA(0, 1, 2)(0, 1, 1)_4

SARIMA(2, 1, 0)(1, 1, 0)_4

SARIMA(1, 1, 0)(0, 1, 2)_4

Show answer & explanation

Answer: $SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4$

Answer

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

modeli en uygun modeldir.

Verilen bilgiler ışığında; olağan kısımdaki ACF'nin 2. gecikmede kesilmesi

q=2

olduğunu, mevsimsel kısımda PACF'nin 4. gecikmede (ilk mevsimsel dönemde) kesilmesi ise

P=1

olduğunu gösterir. Fark dereceleri (

d=1, D=1

) ve veri periyodu (

s=4

) yerleştirildiğinde doğru model

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

olmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Serinin dönemselliğini ve fark alma derecelerini belirleme.

Çeyreklik veri olduğu için

s=4

'tür. Olağan fark alma

d=1

, mevsimsel fark alma

D=1

olarak verilmiştir.

SARIMA modelinin

(d)

ve

(D)

bileşenleri ile

s

periyodunu formüle yerleştirmek için.

2

Mevsimsel olmayan (olağan) model parametrelerini (p, q) tespit etme.

ACF grafiği 2. gecikmede kesilmiş, PACF sönümlenmiştir. Bu davranış Hareketli Ortalama (MA) modeline aittir.

q=2

,

p=0

olarak bulunur.

ACF'nin aniden kesilmesi MA süreçlerinin, PACF'nin kesilmesi ise AR süreçlerinin temel karakteristiğidir.

3

Mevsimsel model parametrelerini (P, Q) tespit etme.

PACF grafiği ilk mevsimsel gecikmede (4'te) kesilmiş, ACF mevsimsel gecikmelerde sönümlenmiştir. Bu davranış Mevsimsel Özbağlanım (SAR) modeline aittir.

P=1

,

Q=0

olarak bulunur.

Mevsimsel gecikmelerdeki kesilme/sönümlenme paternleri, mevsimsel AR (SAR) ve mevsimsel MA (SMA) terimlerini belirler.

4

Parametreleri

SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_s

formunda birleştirme.

SARIMA(0, 1, 2)(1, 1, 0)_4

modeli elde edilir.

Tüm belirlenen bileşenlerin Box-Jenkins gösterimiyle standart olarak ifade edilmesi gerekir.

Key Concept

Mevsimsel ARIMA (SARIMA) Modellerinde ACF ve PACF Yorumlama

Estimated Time:1m 15s

Question 195Question →

Bir araştırma enstitüsü, ülkenin çeyreklik periyotlarla derlenen enerji tüketim serisini analiz etmektedir. Uzmanlar, serinin genel seviyesinden bağımsız, mutlak büyüklüğü (genliği) yıllar boyunca sabit kalan dönemsel dalgalanmalar barındırdığını tespit etmiş ve bu doğrultuda zaman serisini modellemek için toplamsal ayrıştırma yöntemini ( $Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t$ ) kullanmaya karar vermişlerdir.

Bu modelin teorik yapısı ve temel varsayımları dikkate alındığında, analiz sonucunda elde edilecek olan mevsimsel bileşenler ( $S_t$ ) için aşağıdaki matematiksel kısıtlardan hangisinin sağlanması zorunludur?

Bir takvim yılındaki dört çeyreğe ait mevsimsel bileşenlerin toplamının sıfır (

0

) olması

Bir takvim yılındaki dört çeyreğe ait mevsimsel bileşenlerin ortalamasının bir (

1

) olması

Bir takvim yılındaki dört çeyreğe ait mevsimsel bileşenlerin toplamının dönem sayısına (

4

) eşit olması

Bir takvim yılındaki dört çeyreğe ait mevsimsel bileşenlerin çarpımının bir (

1

) olması

Her bir çeyreğe ait mevsimsel etkinin, o çeyreğin trend değerine oransal olarak bağlı olması

Show answer & explanation

Answer: Bir takvim yılındaki dört çeyreğe ait mevsimsel bileşenlerin toplamının sıfır ( $0$ ) olması

Answer

Toplamsal modelin matematiksel gerekliliği olarak bir tam periyodu oluşturan dört çeyreğe ait mevsimsel bileşenlerin toplamının sıfır (

0

) olması zorunludur.

Toplamsal ayrıştırma modelinde, mevsimsel dalgalanmalar genel trend çizgisinden sapmaları mutlak birimler olarak ifade eder. Mevsimsel etkilerin serinin yıllık genel eğilimini (trendini) saptırmaması ve yapay bir net artış/azalış yaratmaması için, bir tam periyodu oluşturan tüm dönemlerin (çeyreklik veride

4

dönemin) mevsimsel bileşenlerinin cebirsel toplamının sıfır (

0

) olması temel bir matematiksel zorunluluktur.

Step-by-Step Solution

1

Toplamsal zaman serisi modelinin yapısını ve bileşen ilişkisini tanımlamak.

Toplamsal modelde (

Y_t = T_t + S_t + C_t + I_t

) bileşenler, temel trend çizgisine mutlak değerler (örneğin

+150

MW veya

-120

MW) olarak eklenir.

Soruda belirtilen 'sabit genlikli dönemsel dalgalanmalar' ifadesi, mevsimsel etkinin trend düzeyiyle çarpılarak değil, toplanarak seriye dahil edildiğini gösterir.

2

Mevsimsel bileşenlerin (

S_t

) serinin genel düzeyine (trendine) etkisini teorik olarak değerlendirmek.

Mevsimsel hareketler, yıl içinde birbirini dengelemesi gereken dönemsel sapmalardır. Eğer bu sapmalar birbirini dengelemezse, serinin yıllık ortalaması yapay bir şekilde kayar ve trend yanlış tahmin edilmiş olur.

Mevsimsel etkinin tek işlevi yıl içindeki dalgalanmayı açıklamaktır, uzun dönemli artış/azalışı değil.

3

Dengeleme koşulunun gerektirdiği matematiksel kısıtı belirlemek.

Etkilerin birbirini dengelemesi için toplamsal modelde bir tam periyot (burada çeyreklik olduğu için 4 dönem) içindeki mevsimsel bileşenlerin cebirsel toplamı tam olarak sıfır (

0

) olmalıdır (

\sum S_i = 0

).

Böylece pozitif mevsimsellik yaşanan çeyrekler, negatif mevsimsellik yaşanan çeyrekler tarafından nötrlenir.

Key Concept

Zaman serisi ayrıştırma modelleri (Toplamsal vs. Çarpımsal) ve mevsimsel bileşen varsayımları

Question 196Question →

Göç İdaresi Başkanlığı il müdürlüğüne son dört gün boyunca yapılan günlük ikamet izni başvuru sayıları ( $Y_t$ ) ile bu günler için kurulan bir zaman serisi modelinin ürettiği öngörü değerleri ( $F_t$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gün ( $t$ )	Gerçekleşen ( $Y_t$ )	Öngörü ( $F_t$ )
1	25	22
2	30	32
3	28	28
4	40	35

Buna göre, bu öngörü modeli için Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

1.5

2.5

9.5

10.0

38.0

Show answer & explanation

Answer: $9.5$

Answer

Bu öngörü modelinin Hata Kareler Ortalaması (MSE) değeri

9.5

'tir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), gerçekleşen değerler ile öngörü değerleri arasındaki farkların (hataların) karelerinin ortalaması alınarak bulunur. Formülü

MSE = \frac{\sum (Y_t - F_t)^2}{n}

şeklindedir. Hatalar sırasıyla

3, -2, 0

ve

5

; kareleri ise

9, 4, 0

ve

25

'tir. Bu değerlerin toplamı olan

38

'in gözlem sayısı olan

4

'e bölünmesiyle

MSE = 9.5

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Her bir gün için hata (

e_t

) değerlerini hesaplayın.

e_1 = 25 - 22 = 3

e_2 = 30 - 32 = -2

e_3 = 28 - 28 = 0

e_4 = 40 - 35 = 5

Öngörü hatası, gerçekleşen değerden (

Y_t

) öngörü değerinin (

F_t

) çıkarılmasıyla (

e_t = Y_t - F_t

) bulunur.

2

Bulunan her bir hata değerinin karesini (

e_t^2

) alın.

e_1^2 = 3^2 = 9

e_2^2 = (-2)^2 = 4

e_3^2 = 0^2 = 0

e_4^2 = 5^2 = 25

MSE hesaplamasında pozitif ve negatif hataların birbirini götürmesini engellemek ve büyük hataları cezalandırmak için hataların karesi alınır.

3

Hata karelerini toplayın.

\sum e_t^2 = 9 + 4 + 0 + 25 = 38

Formülün pay kısmındaki Hata Kareler Toplamı'nı (SSE) elde etmek için.

4

Hata kareleri toplamını gözlem sayısına (

n=4

) bölün.

MSE = \frac{38}{4} = 9.5

Ortalama kare hatayı bulmak için toplam, serideki dönem sayısına (n) bölünür.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE - Mean Squared Error) Hesaplaması

Question 197Question →

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yayımlanan aylık perakende satış hacmi endeksi verilerini Box-Jenkins metodolojisiyle modellemek isteyen bir uzman, orijinal serinin ortalama ve varyans açısından durağan olmadığını tespit etmiştir. Seriyi durağanlaştırmak için serinin birinci dereceden farkını almış ve durağanlığı sağlamıştır.

Durağanlaştırılmış yeni serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) grafikleri incelendiğinde; PACF grafiğinin birinci gecikmeden sonra aniden sıfıra düştüğü (istatistiksel olarak anlamsızlaştığı), ACF grafiğinin ise gecikmeler boyunca yavaş yavaş (üstel olarak) sönümlendiği görülmüştür.

Buna göre, uzmanın bu zaman serisi için belirlemesi gereken en uygun $ARIMA(p, d, q)$ modeli aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(1, 1, 0)

ARIMA(0, 1, 1)

ARIMA(1, 0, 0)

ARIMA(1, 1, 1)

ARIMA(0, 0, 1)

Show answer & explanation

Answer: $ARIMA(1, 1, 0)$

Answer

Uzmanın belirlemesi gereken en uygun model

ARIMA(1, 1, 0)

modelidir.

Verilen senaryoda seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden fark alınmıştır, bu durum

d=1

olduğunu gösterir. Durağanlaştırılmış serinin PACF'sinin 1. gecikmede aniden kesilmesi modelde birinci dereceden bir otoregresif bileşen (

p=1

) olduğunu, ACF'nin ise üstel sönümlenmesi hareketli ortalama bileşeninin olmadığını (

q=0

) ifade eder. Tüm parametreler birleştirildiğinde doğru gösterim

ARIMA(1, 1, 0)

olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1

Serinin durağanlık düzeyini (Bütünleşme derecesi, d) belirle.

Orijinal seri durağan olmadığı için birinci dereceden fark alınarak durağanlaştırılmıştır. Bu nedenle

d = 1

'dir.

ARIMA(p, d, q)

notasyonunda

d

parametresi, seriyi durağanlaştırmak için kaç kez fark alındığını gösterir.

2

Durağan serinin PACF grafiğini inceleyerek Otoregresif (AR) derecesini (p) belirle.

PACF grafiği 1. gecikmeden sonra aniden sıfıra düştüğü (kesildiği) için modelin AR derecesi 1'dir. Yani

p = 1

'dir.

Salt Otoregresif (AR) süreçlerde PACF, modelin gecikme derecesinden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenir (kesilir).

3

Durağan serinin ACF grafiğini inceleyerek Hareketli Ortalama (MA) derecesini (q) belirle.

ACF grafiği üstel olarak sönümlenmektedir. Belirli bir gecikmede kesilme olmadığı için saf bir MA süreci yoktur. Yani

q = 0

'dır.

Eğer model bir MA süreci olsaydı, ACF grafiği

q

. gecikmeden sonra kesilirdi. Sönümlenme, sürecin AR tabanlı olduğunu doğrular.

4

Elde edilen

p, d, q

parametrelerini

ARIMA(p, d, q)

formatında birleştir.

p = 1

,

d = 1

ve

q = 0

değerleri yerine konulduğunda

ARIMA(1, 1, 0)

modeli elde edilir.

Box-Jenkins yönteminin model tanımlama aşaması tamamlanmıştır.

Key Concept

Box-Jenkins Yönteminde Model Tanımlama (ACF ve PACF Yorumlama)

Question 198Question →

Bir enerji analisti, büyük ölçekli bir sanayi tesisinin günlük enerji tüketimindeki sapmaları incelemektedir. Analist, durağanlaştırılmış serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ilk $q$ gecikmede istatistiksel olarak anlamlı değerler verip $q$ . gecikmeden sonra aniden sıfıra düştüğünü, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise dalgalanarak sönümlendiğini tespit etmiştir. Bu bulgular doğrultusunda analist, seriyi $q$ . dereceden bir hareketli ortalama, $MA(q)$ , süreci ile modellemeye karar vermiştir.

Kurulan bu zaman serisi modeli ve teorik özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model matematiksel yapısı gereği her zaman durağandır; ancak tersinir (invertible) olabilmesi ve sonsuz dereceden bir otoregresif modele dönüşebilmesi için parametrelerinin belirli kısıtları sağlaması gerekir.

Modelin teorik yapısında kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF)

q

. gecikmeden sonra aniden kesilmesi, otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ise yavaşça sönümlenmesi ayırt edici temel özelliktir.

Modelin durağan olabilmesi için hareketli ortalama parametrelerinin toplamının mutlak değerce 1'den küçük olması zorunluyken, tersinirlik koşulu modelin doğası gereği daima sağlanır.

Modelin denklem yapısı, serideki deterministik trendi ve döngüsel bileşenleri doğrudan kendi içinde barındırır, bu nedenle serinin önceden durağanlaştırılmış olması gerekmez.

Hareketli ortalama süreci, seriye etki eden rastgele şokların etkisinin sonsuza kadar devam ettiğini varsaydığından, uzun hafızalı (long-memory) bir zaman serisi modeli olarak sınıflandırılır.

Show answer & explanation

Answer: Model matematiksel yapısı gereği her zaman durağandır; ancak tersinir (invertible) olabilmesi ve sonsuz dereceden bir otoregresif modele dönüşebilmesi için parametrelerinin belirli kısıtları sağlaması gerekir.

Answer

Hareketli ortalama (MA) modellerinin her durumda durağan olduğu, ancak tersinirlik koşulunun parametre kısıtlarına bağlı olduğunu belirten ifade doğru cevaptır.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, yapısı gereği sonlu sayıdaki rastgele şokun ağırlıklı toplamından oluştuğu için varyans ve kovaryansları zamana bağlı değildir; bu nedenle daima durağandır. Ancak bu modellerin otoregresif (AR) bir sürece dönüştürülebilmesi ve şokların tekil olarak elde edilebilmesi için 'tersinirlik' şartını sağlamaları gerekir. Bu şart da parametrelere bağlı matematiksel bir kısıttır.

Step-by-Step Solution

1

Otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonlarının davranışını analiz etme.

ACF'nin q. gecikmeden sonra aniden sıfıra düşmesi ve PACF'nin sönümlenmesi, sürecin saf bir MA(q) modeli olduğunu teorik olarak doğrular.

Zaman serisi modellerini (AR, MA, ARMA) tanımlamak için ACF ve PACF grafiklerinin kesilme/sönümlenme özellikleri kullanılır.

2

MA(q) modelinin durağanlık özelliğini değerlendirme.

MA(q) süreci, ortalaması sıfır ve varyansı sabit olan sonlu sayıda ardışık hata teriminin (beyaz gürültü) doğrusal bir kombinasyonu olduğu için matematiksel olarak her zaman durağandır.

Durağanlık için serinin varyansının ve ortalamasının zamanla değişmemesi gerekir, sonlu beyaz gürültü toplamı bu şartı doğal olarak sağlar.

3

MA(q) modelinin tersinirlik (invertibility) özelliğini değerlendirme.

Bir MA(q) sürecinin gözlemlenebilir değişkenler cinsinden sonsuz dereceli bir AR(\infty) süreci olarak yazılabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması şarttır.

Eğer tersinirlik şartı sağlanmazsa, geçmişteki hataların bugünkü değere etkisi zamanla azalmaz ve model geçmiş verilere dayalı olarak tekil bir şekilde tahmin edilemez.

Key Concept

MA(q) Modellerinde Durağanlık, Tersinirlik ve ACF/PACF Özellikleri

Estimated Time:1m 30s

Question 199Question →

Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı'nda görevli bir uzman, bir limandaki aylık konteyner elleçleme hacimlerine ait durağan bir zaman serisini ( $Y_t$ ) analiz etmektedir. Yapılan incelemede aşağıdaki bulgular elde edilmiştir:

- Serinin Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) üssel olarak sönümlenmektedir.
- Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) sadece birinci gecikmede istatistiksel olarak anlamlı olup, sonraki gecikmelerde aniden sıfıra düşmektedir (kesilmektedir).
- Birinci gecikmedeki otokorelasyon katsayısı $\rho_1 = 0,65$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, söz konusu zaman serisini modellemek için kullanılabilecek en uygun stokastik süreç denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ sabit terimi, $\varepsilon_t$ ise beyaz gürültü sürecini temsil etmektedir.)

Y_t = c + 0,65 Y_{t-1} + \varepsilon_t

Y_t = c + \varepsilon_t + 0,65 \varepsilon_{t-1}

Y_t = c + 0,65 Y_{t-1} + 0,35 Y_{t-2} + \varepsilon_t

Y_t = c + 0,65 Y_{t-1} + \varepsilon_t + 0,65 \varepsilon_{t-1}

\Delta Y_t = c + 0,65 \Delta Y_{t-1} + \varepsilon_t

Show answer & explanation

Answer: $Y_t = c + 0,65 Y_{t-1} + \varepsilon_t$

Answer

Model, sadece birinci gecikmesini içeren

Y_t = c + 0,65 Y_{t-1} + \varepsilon_t

şeklindeki Otoregresif (AR) modeldir.

Verilen bilgilere göre serinin durağan olması ve PACF'nin ilk gecikmede kesilerek diğer gecikmelerde sıfır olması bu sürecin saf bir AR(1) süreci olduğunu net olarak göstermektedir. AR(1) süreci

Y_t = c + \phi_1 Y_{t-1} + \varepsilon_t

şeklinde yazılır. Birinci sıra otoregresif katsayı (

\phi_1

), standart AR(1) süreçleri için birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısına (

\rho_1

) eşittir. Bu değer soruda 0,65 olarak verildiği için denklem

Y_t = c + 0,65 Y_{t-1} + \varepsilon_t

halini alır.

Step-by-Step Solution

1

Serinin durağanlık durumunu ve Otokorelasyon (ACF) ile Kısmi Otokorelasyon (PACF) grafiklerinin genel davranışlarını incelemek.

Seri durağandır. ACF üssel sönümlenmekte, PACF ise 1. gecikmeden sonra kesilmektedir.

Zaman serisi modellerinin (AR, MA, ARMA) tanımlanmasında teorik ACF ve PACF kalıpları referans alınır.

2

Gözlemlenen davranışa uygun modelin mertebesini (p, q) belirlemek.

PACF'nin p. gecikmede kesilmesi, sürecin p. dereceden bir Otoregresif (AR) model olduğunu kanıtlar. Bu durumda p=1'dir (AR(1) modeli).

Hareketli Ortalama (MA) modellerinde ACF kesilirken, Otoregresif (AR) modellerde PACF kesilir.

3

Belirlenen AR(1) modeli için

\phi_1

parametresini Yule-Walker denklemleri aracılığıyla tahmin etmek.

AR(1) modelinde

\rho_1 = \phi_1

eşitliği geçerlidir. Verilen

\rho_1 = 0,65

olduğundan,

\phi_1

katsayısı da

0,65

olur.

AR(1) sürecinin matematiksel formunda gecikmeli değerin katsayısı, serinin ardışık gözlemleri arasındaki birinci sıra otokorelasyona eşittir.

Key Concept

Zaman serilerinde Box-Jenkins (ARIMA) model belirleme stratejisi ve Yule-Walker denklemleri

Question 200Question →

Bir siber güvenlik uzmanı, kurum ağına yapılan günlük şüpheli erişim denemelerinin sayısını analiz etmek amacıyla bir zaman serisi modeli kurmaktadır. Yapılan ön incelemelerde serinin ortalamasında durağanlık olmadığı saptanmış ve durağanlığı sağlamak için orijinal serinin ardışık değerleri arasındaki birinci dereceden farkı alınmıştır. Daha sonra, farkı alınmış bu durağan seri üzerinden Box-Jenkins yaklaşımının tanımlama aşaması kapsamında korelogram grafikleri incelenmiştir. Çizilen grafiklerde; Otokorelasyon Fonksiyonunun (ACF) sıfıra doğru yavaşça sönümlendiği, Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonunun (PACF) ise 3. gecikmeden sonra istatistiksel olarak anlamlılık sınırlarının içine girerek aniden kesildiği (sıfıra düştüğü) gözlemlenmiştir.

Bu bulgulara göre, söz konusu seri için belirlenen en uygun aday model yapısı aşağıdakilerden hangisidir?

ARIMA(1, 3, 0)

ARIMA(0, 1, 3)

ARIMA(3, 1, 0)

ARIMA(3, 0, 1)

ARIMA(0, 3, 1)

Show answer & explanation

Answer: $ARIMA(3, 1, 0)$

Answer

Doğru aday model

ARIMA(3, 1, 0)

yapısıdır.

Box-Jenkins yönteminin model tanımlama aşamasında süreç

ARIMA(p, d, q)

şeklinde formüle edilir. Burada p otoregresif (AR) derecesini, d fark alma sayısını, q ise hareketli ortalama (MA) derecesini belirtir. Senaryoda serinin durağanlaştırılması için birinci dereceden fark alındığı açıkça belirtilmiştir, dolayısıyla d=1 olmalıdır. Farkı alınmış serinin PACF grafiğinin 3. gecikmeden sonra kesilmesi, modelin 3 gecikmeli bir AR süreci olduğunu (p=3) kanıtlar. ACF'nin sönümlenmesi ise MA etkisinin bulunmadığına (q=0) işaret eder. Tüm bu değerler birleştirildiğinde doğru model notasyonu

ARIMA(3, 1, 0)

olur.

Step-by-Step Solution

1

Seriye uygulanan durağanlaştırma işlemini belirleme

Orijinal serinin birinci dereceden farkı alınmıştır.

ARIMA modelinin entegre derecesi olan 'd' parametresinin d=1 olduğu anlamına gelir.

2

Korelogram (ACF ve PACF) grafiklerini yorumlama

ACF sönümlenirken, PACF 3. gecikmeden sonra kesilmektedir.

PACF grafiğinin p. gecikmede aniden sıfıra düşmesi (kesilmesi) ve ACF'nin sönümlenmesi, sürecin p dereceli bir Otoregresif (AR) model olduğunu gösterir. Bu durumda p=3'tür ve Hareketli Ortalama (MA) süreci mevcut değildir (q=0).

3

Parametreleri

ARIMA(p, d, q)

notasyonunda birleştirme

Parametreler p=3, d=1 ve q=0 olarak tespit edilmiştir.

Bulunan bu üç parametre standart gösterimde yerlerine konulduğunda model

ARIMA(3, 1, 0)

olarak tanımlanır.

Key Concept

ARIMA Modeli Tanımlama ve ACF/PACF Grafikleri Yorumlama

Estimated Time:1m 0s

Zaman Serileri Analizi

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept