a bir gerçel sayı olmak üzere, f(x) = \left(\frac{a^2 + 2}{a^2 + 1}\right)^x fonksiyonu ta… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

a

bir gerçel sayı olmak üzere,

f(x) = \left(\frac{a^2 + 2}{a^2 + 1}\right)^x

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

I. $a$ parametresinin her gerçel sayı değeri için $f(x)$ bir üstel fonksiyondur.
II. $a$ 'nın bazı gerçel sayı değerleri için $f(x)$ azalan bir fonksiyondur.
III. $f(x) = 2^x$ eşitliğini sağlayan benzersiz bir $a$ gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A
Yalnız I
B
Yalnız III
C
I ve II
I ve IIIAnswer
E
I, II ve III

Answer

I ve III

I. ve III. ifadelerin doğru olduğunu gösteren analizler sırasıyla tabanın her zaman pozitif ve 1'den farklı olması ile tabanı 2 yapan tek bir a değerinin (a = 0) bulunmasına dayanmaktadır.

Step-by-Step Solution

Üstel fonksiyon tanımını ve taban şartlarını hatırlama.

Taban olan

b

ifadesinin

b > 0

b \neq 1

olması gerektiğini belirledik.

Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için bu iki koşulu aynı anda sağlaması gerekir.

Tabanın pozitifliğini ve 1'den farklı olma durumunu analiz etme.

Her

a

gerçel sayısı için

a^2 \ge 0

olduğundan tabanın daima pozitif ve 1'den farklı olduğunu bulduk.

I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek ve tanım kümesini belirlemek için.

Tabanın 1'den büyük olma durumunu inceleyerek artanlık/azalanlık analizi yapma.

Tabanın her

a

gerçel sayısı için 1'den büyük olduğunu, dolayısıyla fonksiyonun daima artan olduğunu ve hiçbir zaman azalan olamayacağını bulduk.

II. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.

f(x) = 2^x

eşitliğini sağlayan

a

değerlerini bulma.

Tabanı 2'ye eşitleyip çözdüğümüzde tek bir gerçel sayı kökü (

a = 0

) elde ettik.

III. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.

Key Concept

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Taban Özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic