Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
f(x)=(2a−6a+2)xf(x) = \left( \frac{2a - 6}{a + 2} \right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir üstel fonksiyon belirttiğine göre, aa parametresinin [3,9][3, 9] kapalı aralığında alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    3
  2. 31Answer
  3. C
    34
  4. D
    39
  5. E
    42

Answer

İstenen tam sayı değerlerinin toplamı 31'dir.
Üstel fonksiyon tanımına göre, taban ifadesinin sıfırdan büyük ve 1'den farklı olması gerekir. Bu iki şart analiz edildiğinde a>3a > 3 ve a≠8a \neq 8 koşullarına ulaşılır. [3,9][3, 9] kapalı aralığındaki tam sayılardan bu koşulları sağlayanlar 4,5,6,74, 5, 6, 7 ve 99 değerleridir. Bu sayıların toplamı 31'dir.

Step-by-Step Solution

1
Üstel fonksiyon tanım koşullarını belirleme
Taban b=2a−6a+2b = \frac{2a - 6}{a + 2} olmak üzere, üstel fonksiyon tanımı gereği b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır.
Bir fonksiyonun gerçel sayılarda tanımlı üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı bir gerçel sayı olması zorunludur.
2
Tabanın pozitif olma koşulunu (b>0b > 0) çözme
2a−6a+2>0\frac{2a - 6}{a + 2} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=3a = 3 ve a=−2a = -2'dir. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin pozitif olduğu aralık a∈(−∞,−2)∪(3,∞)a \in (-\infty, -2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Rasyonel ifadenin sıfırdan büyük olduğu aralıkları bulmak için pay ve paydanın köklerine göre işaret tablosu oluşturulur.
3
Tabanın 1'den farklı olma koşulunu (b≠1b \neq 1) çözme
2a−6a+2≠1  ⟹  2a−6≠a+2  ⟹  a≠8\frac{2a - 6}{a + 2} \neq 1 \implies 2a - 6 \neq a + 2 \implies a \neq 8 elde edilir.
Taban 1 olduğunda fonksiyon üstel fonksiyon özelliğini kaybedip sabit fonksiyona dönüşür.
4
Koşulları birleştirme ve aralıktaki değerleri filtreleme
aa parametresi (−∞,−2)∪(3,∞)∖{8}(-\infty, -2) \cup (3, \infty) \setminus \{8\} kümesinde olmalıdır. Bu kümenin [3,9][3, 9] kapalı aralığındaki tam sayı elemanları sırasıyla 4,5,6,74, 5, 6, 7 ve 99 sayılarıdır.
33 değeri tabanı 00 yaptı��ından, 88 değeri ise tabanı 11 yaptığından çözüm kümesinden çıkarılır.
5
Farklı tam sayı değerlerini toplama
4+5+6+7+9=314 + 5 + 6 + 7 + 9 = 31
Koşulları sağlayan tüm uygun tam sayı değerlerinin toplamı hesaplanır.

Key Concept

Üstel fonksiyonların tanım kümesi kuralları ve taban özellikleri
Rate this question

Topics

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

More questions from this topic