Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
f:R→R+olmak u¨zeref: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^+ \quad \text{olmak üzere}
f(x)=(a−37−a)xf(x) = \left(\frac{a - 3}{7 - a}\right)^x
fonksiyonu tanımlanıyor.

Bu fonksiyonun bir üstel fonksiyon olduğu bilindiğine göre, aa parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçt��r?

  1. A
    9
  2. B
    11
  3. C
    15
  4. 10Answer
  5. E
    25

Answer

a parametresinin alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı 10'dur.
Üstel fonksiyon tanımına göre taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. (a - 3)/(7 - a) ifadesini pozitif yapan a tam sayıları 4, 5 ve 6'dır. Ancak a = 5 değeri için taban 1 olduğundan, bu değer alınamaz. Dolayısıyla a'nın alabileceği tam sayı değerleri 4 ve 6 olup, toplamları 10'dur.

Step-by-Step Solution

1
Üstel fonksiyon tanımına göre taban koşullarını belirleme.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için taban b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır. Bu soruda taban ifadesi b=a−37−ab = \frac{a - 3}{7 - a} şeklindedir.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının pozitif bir gerçek sayı ve 1'den farklı olması zorunludur.
2
Tabanın pozitif olması (b>0b > 0) koşulunu inceleme.
a−37−a>0\frac{a - 3}{7 - a} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=3a = 3 ve a=7a = 7 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, bu eşitsizliği sağlayan aralık (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Taban değerinin pozitif olması gereken aralığı tespit etmek amacıyla eşitsizlik çözülmüştür.
3
Tabanın 1'den farklı olması (b≠1b \neq 1) koşulunu inceleme.
a−37−a≠1  ⟹  a−3≠7−a  ⟹  2a≠10  ⟹  a≠5\frac{a - 3}{7 - a} \neq 1 \implies a - 3 \neq 7 - a \implies 2a \neq 10 \implies a \neq 5 elde edilir.
Tabanın 1 olması durumunda fonksiyonun üstel fonksiyon olma özelliğini yitirmesini engellemek için.
4
Koşulları sağlayan aa tam sayılarını belirleyip toplama.
(3,7)(3, 7) açık aralığındaki tam sayılar 4,5,64, 5, 6 sayılarıdır. a≠5a \neq 5 olması gerektiğinden aa değeri 44 veya 66 olabilir. Bu değerlerin toplamı: 4+6=104 + 6 = 10 bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için.

Key Concept

Üstel fonksiyonun tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
Rate this question

Topics

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

More questions from this topic