Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

Bir ff fonksiyonu, grafiği analitik düzlemde tepe noktası yy-ekseni üzerinde olan ve xx-eksenini x=−4x = -4 ile x=4x = 4 noktalarında kesen bir yarım çemberin üst yarısı olacak şekilde tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı 8π8\pi birimkaredir.

Buna göre,
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x)
kuralı ile verilen gg fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
  1. A
    16π16\pi
  2. B
    32π32\pi
  3. 8π8\piAnswer
  4. D
    4π4\pi
  5. E
    2π2\pi

Answer

Doğru cevap 8π8\pi birimkaredir.
Doğru cevap olan 8π8\pi seçeneği, fonksiyona uygulanan yatayda 22 kat sıkıştırma (alanı yarıya indiren) ve dikeyde 22 kat esnetme (alanı iki katına çıkaran) dönüşümlerinin birleşik etkisinin alanı değiştirmemesinden kaynaklanır.

Step-by-Step Solution

1
Orijinal f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği altındaki alanı belirlemek
Alan(f)=8π\text{Alan}(f) = 8\pi birimkare
Soru metninde ff fonksiyonunun grafiği ile xx-ekseni arasındaki bölgenin alanı doğrudan 8π8\pi olarak verilmiştir.
2
Yatayda sıkıştırma işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek
f(2x)f(2x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan 8π2=4π\frac{8\pi}{2} = 4\pi birimkare olur.
f(2x)f(2x) dönüşümü, grafiği xx-ekseni doğrultusunda yarıya sıkıştırır. Bu durum tanım kümesinin genişliğini yarıya indirirken y-değerlerini değiştirmediği için alan yarıya düşer.
3
Dikeyde esnetme işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan 2×4π=8π2 \times 4\pi = 8\pi birimkare olur.
g(x)=2⋅f(2x)g(x) = 2 \cdot f(2x) dönüşümündeki 22 katsayısı, grafiği düşey eksen doğrultusunda 22 katına esnetir. Genişliği 4π4\pi olan bölgenin yükseklikleri iki katına çıktığından alan iki katına çıkar.

Key Concept

Bir f(x)f(x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan AA ise, a⋅f(b⋅x)a \cdot f(b \cdot x) fonksiyonunun grafiği altındaki alan ∣a∣∣b∣⋅A\frac{|a|}{|b|} \cdot A formülü ile hesaplanır.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

More questions from this topic