Fonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Question 1Question →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği $A(6, 8)$ noktasından geçmektedir. $g(x) = 3 \cdot f(2x)$ şeklinde tanımlanan $g$ fonksiyonunun grafiği üzerindeki noktalardan biri $(3, k)$ olduğuna göre, $k$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Yirmi dört

f(6) = 8

olduğu verilmiştir.

g(3) = 3 \cdot f(2 \cdot 3) = 3 \cdot f(6)

eşitliğinden

3 \cdot 8 = 24

elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f

fonksiyonunun grafiği üzerindeki

A(6, 8)

noktasını kullanarak

f(6)

değerini belirleyin.

f(6) = 8

Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki her nokta, fonksiyonun denklemini sağlamak zorundadır.

2

g(x) = 3 \cdot f(2x)

tanımından yararlanarak

g(3)

ifadesinin değerini

f

cinsinden yazın.

g(3) = 3 \cdot f(6)

g

fonksiyonunun grafiği

(3, k)

noktasından geçtiği için

g(3) = k

eşitliği geçerlidir.

3

f(6)

değerini yerine koyarak

g(3)

değerini hesaplayın.

k = 24

g(3) = 3 \cdot f(6)

eşitliğinde

f(6) = 8

yazıldığında

g(3) = 3 \cdot 8 = 24

elde edilir.

Key Concept

Fonksiyonlarda yatay sıkıştırma/esnetme dönüşümü

f(b \cdot x)

ve dikey esnetme/sıkıştırma dönüşümü

a \cdot f(x)

kurallarının birlikte uygulanması.

Estimated Time:1m 0s

Question 2Question →

Dik koordinat düzleminde, $[-4, 4]$ kapalı aralığında tanımlı $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği doğrusal parçalardan oluşmakta olup tepe noktası $(0, 4)$ , $x$ -eksenini kestiği noktalar ise $(-4, 0)$ ve $(4, 0)$ 'dır.

a

ve

b

pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

[-2, 2]

kapalı aralı��ında tanımlı

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

6

olarak veriliyor.

Buna göre, dik koordinat düzleminde $y = f(x)$ ve $y = g(x)$ grafiklerinin her ikisinin de altında kalan ve $x$ -ekseni ile sınırlanan ortak bölgenin alanı kaç birimkaredir?

5

8

10

12

16

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

Ortak bölgenin alanı 10 birimkaredir.

Doğru yanıt olan 10 değeri,

g(x) = 1,5 \cdot f(2x)

dönüşümüyle elde edilen grafiğin

f(x)

ile

[-2, 2]

aralığındaki kesişim noktalarının

x = \pm 1

olduğu belirlendikten sonra,

[0, 1]

aralığında

f(x)

'in altında kalan alan (3,5 birimkare) ile

[1, 2]

aralığında

g(x)

'in altında kalan alanın (1,5 birimkare) toplamının iki katı alınarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(x)

fonksiyonunun kuralını belirleme

f(x) = 4 - |x|

(veya

x \ge 0

için

f(x) = 4 - x

,

x < 0

için

f(x) = 4 + x

)

Dönüşüm uygulanacak olan ana fonksiyonun cebirsel ifadesini elde etmek için

2

g(x)

fonksiyonunun tanım kümesinden faydalanarak

b

katsayısını bulma

b = 2

f(x)

'in tanım kümesi

[-4, 4]

ve

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

'in tanım kümesi

[-2, 2]

olduğundan, sınırların

b

katı orijinal sınırlara eşit olmalıdır:

b \cdot 2 = 4 \implies b = 2

.

3

g(x)

'in en büyük değerinden faydalanarak

a

katsayısını bulma

a = 1,5

f(x)

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer

f(0) = 4

olduğundan,

g(x) = a \cdot f(2x)

fonksiyonunun en büyük değeri

g(0) = a \cdot f(0) = 4a

olur.

4a = 6 \implies a = 1,5

bulunur.

4

g(x)

fonksiyonunun cebirsel ifadesini yazma

g(x) = 1,5 \cdot (4 - |2x|) = 6 - 3|x|

a

ve

b

değerlerini yerine yazarak dönüşüme uğramış fonksiyonu elde etmek için

5

Grafiklerin kesişim noktasını bulma

x \ge 0

için kesişim noktası

x = 1

,

y = 3

'tür.

Hangi aralıklarda hangi fonksiyonun daha altta (ortak bölgenin üst sınırı) olduğunu belirlemek için:

4 - x = 6 - 3x \implies 2x = 2 \implies x = 1

.

6

Ortak bölgenin alanını hesaplama

Alan = 10 birimkare

Grafikler

y

-eksenine göre simetrik olduğundan

x \ge 0

bölgesindeki alanın 2 katını alırız.

[0, 1]

aralığında altta kalan fonksiyon

f(x)

,

[1, 2]

aralığında ise

g(x)

'tir. Birinci bölgedeki alan:

\int_0^1 (4 - x) \, dx + \int_1^2 (6 - 3x) \, dx = 3,5 + 1,5 = 5

birimkaredir. Tüm alan ise

2 \cdot 5 = 10

birimkare olur.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey yönde esnetilmesi/sıkıştırılması dönüşümlerinin fonksiyon grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi üzerindeki etkileri

Estimated Time:3m 0s

Question 3Question →

Dik koordinat düzleminde, $[-6, 12]$ kapalı aralığında tanımlı, grafiği doğrusal parçalardan oluşan ve $x$ -ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı $36$ birimkare olan bir $f$ fonksiyonu verilmiştir.

a

ve

b

pozitif gerçek sayılar olmak üzere,

g(x) = a \cdot f(b \cdot x)

fonksiyonunun tanım kümesi

[-2, 4]

ve

x

-ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanı

96

birimkaredir.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

a + b toplamının değeri 11'dir.

g(x) = a * f(b * x) dönüşümünde, tanım kümesi [-6/b, 12/b] = [-2, 4] eşitliğinden b = 3 bulunur. Alan ise dikey esneme ve yatay sıkışma sonucu a/b oranında değişir. 36 * (a/3) = 96 eşitliğinden a = 8 bulunur. Toplamları 8 + 3 = 11 olur.

Step-by-Step Solution

1

Tanım kümesi dönüşümünü analiz ederek b katsayısını belirleme

b = 3

f(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-6, 12] iken g(x) = a * f(b * x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 4] olarak verilmiştir. Tanım kümesinin sınırları b kat daraldığı için b = 3 olmalıdır.

2

Alan değişimini analiz ederek a katsayısını belirleme

a = 8

Yatay olarak b = 3 oranında sıkışan grafiğin alanı 1/3 katına iner. Dikey olarak a oranında esnetilen grafiğin alanı a katına çıkar. Toplam alan (a/3) katına çıkacağından 96 = (a/3) * 36 eşitliğinden a = 8 elde edilir.

3

Bulunan katsayıların toplamını hesaplama

11

a = 8 ve b = 3 değerlerinin toplamı sorulduğu için 8 + 3 = 11 bulunur.

Key Concept

Fonksiyonlarda yatay esnetme/sıkıştırma dönüşümü f(b*x) tanım kümesini 1/b oranında değiştirirken, dikey esnetme/sıkıştırma a*f(x) görüntü kümesini a katına çıkarır. Bu iki dönüşümün alanı etkileme oranı a/b olur.

Estimated Time:2m 0s

Question 4Question →

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası $T(4, 6)$ olan ve $x$ -eksenini $x_1 = -2$ ve $x_2 = 10$ noktalarında kesen bir $y = f(x)$ parabolü verilmiştir.

$g(x) = k \cdot f(p \cdot x)$ ( $k$ ve $p$ pozitif gerçek sayılar) biçiminde tanımlanan $y = g(x)$ parabolünün tepe noktası $T'(2, 18)$ 'dir.

Buna göre, $y = g(x)$ parabolünün $x$ -eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3

4

6

12

24

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir.

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir. Orijinal parabolün tepe noktası T(4, 6) iken g(x) = k * f(p * x) parabolünün tepe noktası T'(2, 18) olarak verilmiştir. Buradan yatay sıkışma katsayısı p = 2 ve dikey esneme katsayısı k = 3 bulunur. f(x)'in kökleri -2 ve 10 olduğu için g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonunun kökleri bu değerlerin yarısı olan -1 ve 5 olacaktır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık ise 5 - (-1) = 6 birimdir.

Step-by-Step Solution

1

Orijinal y = f(x) parabolünün tepe noktası koordinatlarını ve g(x) = k * f(p * x) fonksiyonunun dönüşüm kurallarını belirlemek.

f(x) fonksiyonunun tepe noktası T(4, 6) olarak verilmiştir. y = k * f(p * x) dönüşümü uygulandığında, tepe noktasının yeni koordinatları T'(4/p, 6k) olur.

Yatay esneme/sıkışma çarpanı (p) x-koordinatını 1/p oranında etkilerken, dikey esneme/sıkışma çarpanı (k) y-koordinatını k oranında etkiler.

2

Dönüşüm katsayıları olan k ve p değerlerini hesaplamak.

T'(4/p, 6k) = T'(2, 18) olduğundan, 4/p = 2 ise p = 2 ve 6k = 18 ise k = 3 bulunur. Böylece g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonu elde edilir.

Yeni tepe noktasının koordinatları verilmiştir, bu sayede bilinmeyen katsayılara ulaşılır.

3

g(x) parabolünün x-eksenini kestiği noktaları f(x)'in köklerini kullanarak bulmak.

f(x) fonksiyonunun kökleri -2 ve 10'dur. g(x) = 3 * f(2x) = 0 denkleminin kökleri ise 2x = -2 ise x = -1 ve 2x = 10 ise x = 5 olarak bulunur.

g(x) = 0 olması için f(2x) = 0 olmalıdır. Bu durum, x-eksenini kesen noktaların apsislerinin yarıya düşmesi anlamına gelir.

4

Yeni kökler arasındaki uzaklığı hesaplamak.

Yeni kökler -1 ve 5 olup, aralarındaki uzaklık 5 - (-1) = 6 birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık, büyük olan apsis değerinden küçük olan apsis değerinin çıkarılması ile hesaplanır.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri.

Question 5Question →

Köşeleri $A(-4, 0)$ , $B(0, 4)$ ve $C(4, 0)$ noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğidir. Pozitif $k$ ve $m$ gerçel sayıları için $g(x) = k \cdot f(m \cdot x)$ fonksiyonu oluşturuluyor.

$g(0) = 8$ olduğu ve $g$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanının $8$ birimkare olduğu bilindiğine göre, $k + m$ toplamı ka��tır?

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

k + m toplamının değeri 6'dır.

g(x) = k \cdot f(m \cdot x)

dönüşümünde,

k

katsayısı fonksiyonu dikey doğrultuda esnetirken (

y

-değerlerini

k

ile çarpar),

m

katsayısı fonksiyonu yatay doğrultuda sıkıştırır (

x

-değerlerini

m

'ye böler).

g(0) = 8

bilgisiyle

k = 2

bulunmuş ve alanın

16

birimkareden

8

birimkareye düşmesi kullanılarak yatayda

4

kat sıkıştırma yapıldığı belirlenmiştir (

m = 4

). Bu iki değerin toplamı olan

2 + 4 = 6

doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

f(x)

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.

f(x)

grafiği köşeleri

A(-4, 0)

,

B(0, 4)

ve

C(4, 0)

olan bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin taban uzunluğu

8

birim ve yüksekliği

4

birimdir. Alanı ise

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkaredir.

g(x)

fonksiyonunun alan dönüşümünü bulabilmek için öncelikle

f(x)

fonksiyonunun sınırladığı alanı bilmemiz gerekir.

2

g(0) = 8

eşitliğini kullanarak

k

dikey esnetme katsayısını bulalım.

g(0) = k \cdot f(m \cdot 0) = k \cdot f(0)

yazılır.

f(0) = 4

olduğundan,

g(0) = 4k = 8

elde edilir. Buradan

k = 2

bulunur.

y

-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfır olduğundan, yatay sıkıştırma katsayısı

m

bu noktadaki değeri etkilemez ve doğrudan dikey esnetme katsayısı

k

'yi bulmamızı sağlar.

3

g(x)

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan alan bilgisini kullanarak

m

yatay sıkıştırma katsayısını bulalım.

Dikey esnetme katsayısı

k = 2

ve yatay sıkıştırma katsayısı

m

(

m > 0

) olan

g(x) = k \cdot f(m \cdot x)

fonksiyonunun sınırladığı alan,

f(x)

'in alanının

\frac{k}{m}

katıdır. Buradan

\text{Alan}(g) = \frac{k}{m} \cdot \text{Alan}(f) \Rightarrow 8 = \frac{2}{m} \cdot 16 \Rightarrow 8 = \frac{32}{m} \Rightarrow m = 4

bulunur.

Bir fonksiyon

y

-doğrultusunda

k

katına çıkarıldığında alan

k

katına çıkar,

x

-doğrultusunda

m

kat sıkıştırıldığında (yani

x

değerleri

m

'ye bölündüğünde) alan

\frac{1}{m}

katına iner.

4

k

ve

m

değerlerini toplayarak sonucu bulalım.

k + m = 2 + 4 = 6

bulunur.

Soruda bizden istenen

k + m

toplamıdır.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında alan ve koordinat değişimleri.

Question 6Question →

Bir $f$ fonksiyonu, grafiği analitik düzlemde tepe noktası $y$ -ekseni üzerinde olan ve $x$ -eksenini $x = -4$ ile $x = 4$ noktalarında kesen bir yarım çemberin üst yarısı olacak şekilde tanımlanmıştır. Bu fonksiyonun grafiği ile $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı $8\pi$ birimkaredir.

Buna göre,

g(x) = 2 \cdot f(2x)

kuralı ile verilen

g

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

16\pi

32\pi

8\pi

4\pi

2\pi

Show answer & explanation

Answer: $8\pi$

Answer

Doğru cevap

8\pi

birimkaredir.

Doğru cevap olan

8\pi

seçeneği, fonksiyona uygulanan yatayda

2

kat sıkıştırma (alanı yarıya indiren) ve dikeyde

2

kat esnetme (alanı iki katına çıkaran) dönüşümlerinin birleşik etkisinin alanı değiştirmemesinden kaynaklanır.

Step-by-Step Solution

1

Orijinal

f(x)

fonksiyonunun grafiği altındaki alanı belirlemek

\text{Alan}(f) = 8\pi

birimkare

Soru metninde

f

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasındaki bölgenin alanı doğrudan

8\pi

olarak verilmiştir.

2

Yatayda sıkıştırma işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek

f(2x)

fonksiyonunun grafiği altındaki alan

\frac{8\pi}{2} = 4\pi

birimkare olur.

f(2x)

dönüşümü, grafiği

x

-ekseni doğrultusunda yarıya sıkıştırır. Bu durum tanım kümesinin genişliğini yarıya indirirken y-değerlerini değiştirmediği için alan yarıya düşer.

3

Dikeyde esnetme işleminin alan üzerindeki etkisini analiz etmek

g(x) = 2 \cdot f(2x)

fonksiyonunun grafiği altındaki alan

2 \times 4\pi = 8\pi

birimkare olur.

g(x) = 2 \cdot f(2x)

dönüşümündeki

2

katsayısı, grafiği düşey eksen doğrultusunda

2

katına esnetir. Genişliği

4\pi

olan bölgenin yükseklikleri iki katına çıktığından alan iki katına çıkar.

Key Concept

Bir

f(x)

fonksiyonunun grafiği altındaki alan

A

ise,

a \cdot f(b \cdot x)

fonksiyonunun grafiği altındaki alan

\frac{|a|}{|b|} \cdot A

formülü ile hesaplanır.

Estimated Time:2m 0s

Question 7Question →

Dik koordinat düzleminde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun yerel maksimum noktası $A(6, 12)$ , yerel minimum noktası ise $B(-3, -6)$ 'dır.

Buna göre,

g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right)

biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Show answer & explanation

Answer: 45

Answer

Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktaları arasındaki uzaklık 45 birimdir.

Yerel maksimum noktası

A(6,12)

ve yerel minimum noktası

B(-3,-6)

olan

f

fonksiyonuna uygulanan

g(x) = 2 \cdot f(x/3)

dönüşümü, grafiği yatayda 3 kat ve dikeyde 2 kat esnetir. Bu dönüşüm sonucunda yeni yerel ekstremum noktaları

A'(18, 24)

ve

B'(-9, -12)

olur. Bu iki nokta arasındaki uzaklık analitik düzlemde

\sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 45

birim olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

g(x) = 2 \cdot f\left(\frac{x}{3}\right)

fonksiyonunun yerel maksimum noktasının koordinatlarını belirlemek için

f

fonksiyonunun maksimum noktası olan

A(6, 12)

referans alınır.

g(x)

fonksiyonunun yerel maksimum noktası

A'(18, 24)

olarak bulunur.

g(x)

fonksiyonunun maksimum değere ulaşması için

f

fonksiyonunun girdisinin

6

olması gerekir. Buradan

\frac{x}{3} = 6 \implies x = 18

elde edilir. Dikey esneme katsayısı

2

olduğundan ordinat değeri

2 \cdot 12 = 24

olur.

2

g(x)

fonksiyonunun yerel minimum noktasının koordinatlarını belirlemek için

f

fonksiyonunun minimum noktası olan

B(-3, -6)

referans alınır.

g(x)

fonksiyonunun yerel minimum noktası

B'(-9, -12)

olarak bulunur.

g(x)

fonksiyonunun minimum değere ulaşması için

f

fonksiyonunun girdisinin

-3

olması gerekir. Buradan

\frac{x}{3} = -3 \implies x = -9

elde edilir. Dikey esneme katsayısı

2

olduğundan ordinat değeri

2 \cdot (-6) = -12

olur.

3

Elde edilen

A'(18, 24)

ve

B'(-9, -12)

noktaları arasındaki uzaklık iki nokta arasındaki uzaklık formülüyle hesaplanır.

Uzaklık

45

birim olarak hesaplanır.

Uzaklık formülü

|A'B'| = \sqrt{(18 - (-9))^2 + (24 - (-12))^2} = \sqrt{27^2 + 36^2} = 9 \cdot \sqrt{3^2 + 4^2} = 9 \cdot 5 = 45

birimdir.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümlerinin koordinatlar üzerindeki etkisi.

Question 8Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği, $x$ -eksenini yalnızca apsisleri $-8$ , $-2$ , $1$ ve $4$ olan noktalarda kesmektedir.

Buna göre, $g(x) = f\left(\frac{x}{2}\right)$ ve $h(x) = f(2x)$ fonksiyonlarının grafiklerinin $x$ -eksenini kestiği ortak noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -2

Answer

Ortak noktaların apsisleri toplamı

-2

olur.

Grafiğin yatay esnetilmesi ve sıkıştırılması kurallarına göre;

g(x) = f(x/2)

fonksiyonunun kökleri

f(x)

'in köklerinin 2 katı (

\{-16, -4, 2, 8\}

),

h(x) = f(2x)

fonksiyonunun kökleri ise

f(x)

'in köklerinin yarısı (

\{-4, -1, 0.5, 2\}

) olur. Bu iki kümenin kesişiminde yer alan ortak elemanlar

-4

ve

2

olduğundan, toplamları

-2

'dir.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-8, -2, 1, 4\}

Bir fonksiyonun grafiğinin

x

-eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun değerini sıfır yapan kök değerleridir.

2

g(x) = f(x/2) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-16, -4, 2, 8\}

g(x) = 0 \Rightarrow f(x/2) = 0

olduğundan,

x/2

ifadesi

f

fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay esnetmeye karşılık gelir.

3

h(x) = f(2x) fonksiyonunun kökler kümesini belirlemek

Kökler kümesi:

\{-4, -1, 0.5, 2\}

h(x) = 0 \Rightarrow f(2x) = 0

olduğundan,

2x

ifadesi

f

fonksiyonunun köklerine eşit olmalıdır. Bu durum yatay sıkıştırmaya karşılık gelir.

4

Ortak kökleri bulup toplamak

Ortak kökler:

-4

ve

2

. Toplamları:

-2

İki grafiğin

x

-eksenini kestiği ortak noktalar, her iki kök kümesinde de bulunan ortak apsis değerleridir.

Key Concept

Fonksiyonların yatay eksende esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında grafik üzerindeki noktaların apsislerinin değişim kuralları.

Fonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes