Köşeleri A(-4, 0), B(0, 4) ve C(4, 0) noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi y = f(x… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Köşeleri $A(-4, 0)$ , $B(0, 4)$ ve $C(4, 0)$ noktaları olan bir üçgenin üst sınır çizgisi $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğidir. Pozitif $k$ ve $m$ gerçel sayıları için $g(x) = k \cdot f(m \cdot x)$ fonksiyonu oluşturuluyor.

$g(0) = 8$ olduğu ve $g$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ -ekseni arasında kalan kapalı bölgenin alanının $8$ birimkare olduğu bilindiğine göre, $k + m$ toplamı ka��tır?

Answer: 6

Answer

k + m toplamının değeri 6'dır.

g(x) = k \cdot f(m \cdot x)

dönüşümünde,

k

katsayısı fonksiyonu dikey doğrultuda esnetirken (

y

-değerlerini

k

ile çarpar),

m

katsayısı fonksiyonu yatay doğrultuda sıkıştırır (

x

-değerlerini

m

'ye böler).

g(0) = 8

bilgisiyle

k = 2

bulunmuş ve alanın

16

birimkareden

8

birimkareye düşmesi kullanılarak yatayda

4

kat sıkıştırma yapıldığı belirlenmiştir (

m = 4

). Bu iki değerin toplamı olan

2 + 4 = 6

doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

f(x)

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayalım.

f(x)

grafiği köşeleri

A(-4, 0)

B(0, 4)

C(4, 0)

olan bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin taban uzunluğu

8

birim ve yüksekliği

4

birimdir. Alanı ise

\frac{8 \times 4}{2} = 16

birimkaredir.

g(x)

fonksiyonunun alan dönüşümünü bulabilmek için öncelikle

f(x)

fonksiyonunun sınırladığı alanı bilmemiz gerekir.

g(0) = 8

eşitliğini kullanarak

k

dikey esnetme katsayısını bulalım.

g(0) = k \cdot f(m \cdot 0) = k \cdot f(0)

yazılır.

f(0) = 4

olduğundan,

g(0) = 4k = 8

elde edilir. Buradan

k = 2

bulunur.

y

-ekseni üzerindeki noktaların apsisi sıfır olduğundan, yatay sıkıştırma katsayısı

m

bu noktadaki değeri etkilemez ve doğrudan dikey esnetme katsayısı

k

'yi bulmamızı sağlar.

g(x)

fonksiyonunun grafiği ile

x

-ekseni arasında kalan alan bilgisini kullanarak

m

yatay sıkıştırma katsayısını bulalım.

Dikey esnetme katsayısı

k = 2

ve yatay sıkıştırma katsayısı

m

(

m > 0

) olan

g(x) = k \cdot f(m \cdot x)

fonksiyonunun sınırladığı alan,

f(x)

'in alanının

\frac{k}{m}

katıdır. Buradan

\text{Alan}(g) = \frac{k}{m} \cdot \text{Alan}(f) \Rightarrow 8 = \frac{2}{m} \cdot 16 \Rightarrow 8 = \frac{32}{m} \Rightarrow m = 4

bulunur.

Bir fonksiyon

y

-doğrultusunda

k

katına çıkarıldığında alan

k

katına çıkar,

x

-doğrultusunda

m

kat sıkıştırıldığında (yani

x

değerleri

m

'ye bölündüğünde) alan

\frac{1}{m}

katına iner.

k

m

değerlerini toplayarak sonucu bulalım.

k + m = 2 + 4 = 6

bulunur.

Soruda bizden istenen

k + m

toplamıdır.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri altında alan ve koordinat değişimleri.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic