Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

Dik koordinat düzleminde, tepe noktası T(4,6)T(4, 6) olan ve xx-eksenini x1=−2x_1 = -2 ve x2=10x_2 = 10 noktalarında kesen bir y=f(x)y = f(x) parabolü verilmiştir.

g(x)=k⋅f(p⋅x)g(x) = k \cdot f(p \cdot x) (kk ve pp pozitif gerçek sayılar) biçiminde tanımlanan y=g(x)y = g(x) parabolünün tepe noktası T′(2,18)T'(2, 18)'dir.

Buna göre, y=g(x)y = g(x) parabolünün xx-eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 6Answer
  4. D
    12
  5. E
    24

Answer

Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir.
Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni parabolün eksenleri kestiği noktalar arasındaki uzaklık 6 birimdir. Orijinal parabolün tepe noktası T(4, 6) iken g(x) = k * f(p * x) parabolünün tepe noktası T'(2, 18) olarak verilmiştir. Buradan yatay sıkışma katsayısı p = 2 ve dikey esneme katsayısı k = 3 bulunur. f(x)'in kökleri -2 ve 10 olduğu için g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonunun kökleri bu değerlerin yarısı olan -1 ve 5 olacaktır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık ise 5 - (-1) = 6 birimdir.

Step-by-Step Solution

1
Orijinal y = f(x) parabolünün tepe noktası koordinatlarını ve g(x) = k * f(p * x) fonksiyonunun dönüşüm kurallarını belirlemek.
f(x) fonksiyonunun tepe noktası T(4, 6) olarak verilmiştir. y = k * f(p * x) dönüşümü uygulandığında, tepe noktasının yeni koordinatları T'(4/p, 6k) olur.
Yatay esneme/sıkışma çarpanı (p) x-koordinatını 1/p oranında etkilerken, dikey esneme/sıkışma çarpanı (k) y-koordinatını k oranında etkiler.
2
Dönüşüm katsayıları olan k ve p değerlerini hesaplamak.
T'(4/p, 6k) = T'(2, 18) olduğundan, 4/p = 2 ise p = 2 ve 6k = 18 ise k = 3 bulunur. Böylece g(x) = 3 * f(2x) fonksiyonu elde edilir.
Yeni tepe noktasının koordinatları verilmiştir, bu sayede bilinmeyen katsayılara ulaşılır.
3
g(x) parabolünün x-eksenini kestiği noktaları f(x)'in köklerini kullanarak bulmak.
f(x) fonksiyonunun kökleri -2 ve 10'dur. g(x) = 3 * f(2x) = 0 denkleminin kökleri ise 2x = -2 ise x = -1 ve 2x = 10 ise x = 5 olarak bulunur.
g(x) = 0 olması için f(2x) = 0 olmalıdır. Bu durum, x-eksenini kesen noktaların apsislerinin yarıya düşmesi anlamına gelir.
4
Yeni kökler arasındaki uzaklığı hesaplamak.
Yeni kökler -1 ve 5 olup, aralarındaki uzaklık 5 - (-1) = 6 birimdir.
İki nokta arasındaki uzaklık, büyük olan apsis değerinden küçük olan apsis değerinin çıkarılması ile hesaplanır.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey doğrultuda esnetilmesi ve sıkıştırılması dönüşümleri.
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

More questions from this topic