Examkin

Question

Difficulty: Very hardFonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

Dik koordinat düzleminde, [−4,4][-4, 4] kapalı aralığında tanımlı y=f(x)y = f(x) fonksiyonunun grafiği doğrusal parçalardan oluşmakta olup tepe noktası (0,4)(0, 4), xx-eksenini kestiği noktalar ise (−4,0)(-4, 0) ve (4,0)(4, 0)'dır.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olmak üzere, [−2,2][-2, 2] kapalı aralı��ında tanımlı
g(x)=a⋅f(b⋅x)g(x) = a \cdot f(b \cdot x)
fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 66 olarak veriliyor.

Buna göre, dik koordinat düzleminde y=f(x)y = f(x) ve y=g(x)y = g(x) grafiklerinin her ikisinin de altında kalan ve xx-ekseni ile sınırlanan ortak bölgenin alanı kaç birimkaredir?

  1. A
    5
  2. B
    8
  3. 10Answer
  4. D
    12
  5. E
    16

Answer

Ortak bölgenin alanı 10 birimkaredir.
Doğru yanıt olan 10 değeri, g(x)=1,5⋅f(2x)g(x) = 1,5 \cdot f(2x) dönüşümüyle elde edilen grafiğin f(x)f(x) ile [−2,2][-2, 2] aralığındaki kesişim noktalarının x=±1x = \pm 1 olduğu belirlendikten sonra, [0,1][0, 1] aralığında f(x)f(x)'in altında kalan alan (3,5 birimkare) ile [1,2][1, 2] aralığında g(x)g(x)'in altında kalan alanın (1,5 birimkare) toplamının iki katı alınarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
f(x)f(x) fonksiyonunun kuralını belirleme
f(x)=4−∣x∣f(x) = 4 - |x| (veya x≥0x \ge 0 için f(x)=4−xf(x) = 4 - x, x<0x < 0 için f(x)=4+xf(x) = 4 + x)
Dönüşüm uygulanacak olan ana fonksiyonun cebirsel ifadesini elde etmek için
2
g(x)g(x) fonksiyonunun tanım kümesinden faydalanarak bb katsayısını bulma
b=2b = 2
f(x)f(x)'in tanım kümesi [−4,4][-4, 4] ve g(x)=a⋅f(b⋅x)g(x) = a \cdot f(b \cdot x)'in tanım kümesi [−2,2][-2, 2] olduğundan, sınırların bb katı orijinal sınırlara eşit olmalıdır: b⋅2=4  ⟹  b=2b \cdot 2 = 4 \implies b = 2.
3
g(x)g(x)'in en büyük değerinden faydalanarak aa katsayısını bulma
a=1,5a = 1,5
f(x)f(x) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer f(0)=4f(0) = 4 olduğundan, g(x)=a⋅f(2x)g(x) = a \cdot f(2x) fonksiyonunun en büyük değeri g(0)=a⋅f(0)=4ag(0) = a \cdot f(0) = 4a olur. 4a=6  ⟹  a=1,54a = 6 \implies a = 1,5 bulunur.
4
g(x)g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini yazma
g(x)=1,5⋅(4−∣2x∣)=6−3∣x∣g(x) = 1,5 \cdot (4 - |2x|) = 6 - 3|x|
aa ve bb değerlerini yerine yazarak dönüşüme uğramış fonksiyonu elde etmek için
5
Grafiklerin kesişim noktasını bulma
x≥0x \ge 0 için kesişim noktası x=1x = 1, y=3y = 3'tür.
Hangi aralıklarda hangi fonksiyonun daha altta (ortak bölgenin üst sınırı) olduğunu belirlemek için: 4−x=6−3x  ⟹  2x=2  ⟹  x=14 - x = 6 - 3x \implies 2x = 2 \implies x = 1.
6
Ortak bölgenin alanını hesaplama
Alan = 10 birimkare
Grafikler yy-eksenine göre simetrik olduğundan x≥0x \ge 0 bölgesindeki alanın 2 katını alırız. [0,1][0, 1] aralığında altta kalan fonksiyon f(x)f(x), [1,2][1, 2] aralığında ise g(x)g(x)'tir. Birinci bölgedeki alan: ∫01(4−x) dx+∫12(6−3x) dx=3,5+1,5=5\int_0^1 (4 - x) \, dx + \int_1^2 (6 - 3x) \, dx = 3,5 + 1,5 = 5 birimkaredir. Tüm alan ise 2⋅5=102 \cdot 5 = 10 birimkare olur.

Key Concept

Fonksiyonların yatay ve dikey yönde esnetilmesi/sıkıştırılması dönüşümlerinin fonksiyon grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi üzerindeki etkileri
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonların Esnetilmesi ve Sıkıştırılması

More questions from this topic