Examkin

Question

Difficulty: Very hardKoşullu Olasılık

Bir teknoloji firması, A ve B markaları altında eşit miktarda mikroçip üretmektedir. A marka çiplerin %2,5\%2,5'i, B marka çiplerin ise %10\%10'u üretim hatasından dolayı arızalıdır.

Üretilen tüm çipler, birbirlerinden bağımsız olarak çalışan iki farklı kalite kontrol testinden geçirilmektedir. Her iki test için de geçerli olan teknik özellikler şu şekildedir:
- Arızalı bir çip, test edildiğinde %90\%90 olasılıkla 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.
- Sağlam bir çip, test edildiğinde %10\%10 olasılıkla hatalı bir şekilde 'arızalı' olarak rapor edilmektedir.

Depodan rastgele seçilen bir çip bu iki teste tabi tutulmuş ve her iki testten de 'arızalı' raporu almıştır.

Buna göre, bu çipin A marka bir çip olma olasılığı kaçtır?

Answer: 0.25

Answer

Çipin A marka olma olasılığı 1/4'tür (veya ondalık olarak 0,25).
Çipin iki testten de arızalı raporu alması olayının toplam olasılığı hesaplandığında bu olasılık 0,06 bulunurken, bu çipin hem A marka olup hem de bu raporları alma olasılığı 0,015 olarak bulunur. Koşullu olasılık formülüyle bu iki değer birbirine oranlandığında sonuç 0,25 yani 1/4 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Olayları tanımlayalım ve temel olasılıkları belirleyelim.
A ve B markalarının seçilme olasılıkları: P(A)=0,5P(A) = 0,5 ve P(B)=0,5P(B) = 0,5.
Çiplerin arızalı olma (DD) ve sağlam olma (D′D') olasılıkları:
- A markası için: P(D∣A)=0,025P(D|A) = 0,025 ve P(D′∣A)=0,975P(D'|A) = 0,975
- B markası için: P(D∣B)=0,10P(D|B) = 0,10 ve P(D′∣B)=0,90P(D'|B) = 0,90
Koşullu olasılıkları hesaplamak için önce örnek uzaydaki tüm alt grupların olasılıklarını belirlemeliyiz.
2
Çipin her iki testten de 'arızalı' raporu alması (RR) durumunun, çipin gerçekte arızalı (DD) ya da sağlam (D′D') olması durumuna göre koşullu olasılıklarını hesaplayalım.
Testler bağımsız olduğundan:
- Arızalı çip için çift 'arızalı' raporu olasılığı: P(R∣D)=0,90×0,90=0,81P(R|D) = 0,90 \times 0,90 = 0,81
- Sağlam çip için çift 'arızalı' raporu olasıl��ğı: P(R∣D′)=0,10×0,10=0,01P(R|D') = 0,10 \times 0,10 = 0,01
Test sonuçları çipin gerçek durumuna bağlı olarak bağımsız olduğundan çarpım kuralı uygulanır.
3
Seçilen çipin A marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(A∩R)P(A \cap R)) hesaplayalım.
P(A∩R)=P(A∩D∩R)+P(A∩D′∩R)P(A \cap R) = P(A \cap D \cap R) + P(A \cap D' \cap R)
=P(A)⋅P(D∣A)⋅P(R∣D)+P(A)⋅P(D′∣A)⋅P(R∣D′)= P(A) \cdot P(D|A) \cdot P(R|D) + P(A) \cdot P(D'|A) \cdot P(R|D')
=0,5⋅0,025⋅0,81+0,5⋅0,975⋅0,01= 0,5 \cdot 0,025 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,975 \cdot 0,01
=0,010125+0,004875=0,0150= 0,010125 + 0,004875 = 0,0150
A markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.
4
Seçilen çipin B marka olup aynı zamanda iki testten de 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(B∩R)P(B \cap R)) hesaplayalım.
P(B∩R)=P(B∩D∩R)+P(B∩D′∩R)P(B \cap R) = P(B \cap D \cap R) + P(B \cap D' \cap R)
=P(B)⋅P(D∣B)⋅P(R∣D)+P(B)⋅P(D′∣B)⋅P(R∣D′)= P(B) \cdot P(D|B) \cdot P(R|D) + P(B) \cdot P(D'|B) \cdot P(R|D')
=0,5⋅0,10⋅0,81+0,5⋅0,90⋅0,01= 0,5 \cdot 0,10 \cdot 0,81 + 0,5 \cdot 0,90 \cdot 0,01
=0,0405+0,0045=0,0450= 0,0405 + 0,0045 = 0,0450
B markasından gelen çiplerin hem arızalı olanlarının hem de sağlam olanlarının testten geçme durumlarını birleştiriyoruz.
5
Toplam olasılık formülünü kullanarak herhangi bir çipin çift 'arızalı' raporu alması olasılığını (P(R)P(R)) ve ardından Bayes Teoremi ile istenen koşullu olasılığı (P(A∣R)P(A|R)) hesaplayalım.
P(R)=P(A∩R)+P(B∩R)=0,0150+0,0450=0,0600P(R) = P(A \cap R) + P(B \cap R) = 0,0150 + 0,0450 = 0,0600
P(A∣R)=P(A∩R)P(R)=0,01500,0600=1560=14=0,25P(A|R) = \frac{P(A \cap R)}{P(R)} = \frac{0,0150}{0,0600} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25
Koşullu olasılık tanımı gereği, istenen durumun olasılığı, kısıtlanmış örnek uzayın (tüm çift arızalı raporu alanların) olasılığına bölünür.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Koşullu Olasılık
Rate this question

Topics

Koşullu Olasılık

More questions from this topic