A torbasında 3 mavi ve 2 kırmızı bilye, B torbasında ise 2 mavi ve 4 kırmızı bilye bulunma… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

A torbasında $3$ mavi ve $2$ kırmızı bilye, B torbasında ise $2$ mavi ve $4$ kırmızı bilye bulunmaktadır. Önce A torbasından rastgele seçilen iki bilye B torbasına atılıyor. Daha sonra B torbasından rastgele seçilen iki bilye A torbasına atılıyor. Son durumda A torbasındaki mavi bilye sayısının başlangıçtaki mavi bilye sayısı ile aynı olduğu bilindiğine göre, A torbasından B torbasına atılan bilyelerin farklı renklerde olma olasılığı en sade haliyle $\frac{a}{b}$ ( $a$ ve $b$ pozitif tam sayılar) olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Answer: 71

Answer

Son durumda A torbasında başlangıçtaki kadar mavi bilye kalması koşulu altında, ilk adımda farklı renkte bilyelerin aktarılmış olma olasılığı en sade şekliyle 30/41 olup, pay ve paydanın toplamı 71'dir.

Son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması koşulu, tüm olası durumların (2 mavi aktarılması, 1 mavi 1 kırmızı aktarılması veya 2 kırmızı aktarılması durumları) uygun geri dönüş olasılıklarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilen 123/280 olasılığına sahip bir koşuldur. Bu koşul altında ilk aktarımda farklı renk bilyelerin (1 mavi, 1 kırmızı) seçilmiş olma olasılığı, bu duruma ait ortak olasılığın (90/280) toplam koşul olasılığına (123/280) bölünmesiyle 30/41 olarak bulunur. En sade haliyle yazılan bu kesrin pay ve paydanın toplamı 30 + 41 = 71 olur.

Step-by-Step Solution

A torbasından B torbasına bilye aktarımı için olası durumları ve bu durumların olasılıklarını hesaplama

2 mavi bilye aktarma olasılığı 3/10; 1 mavi, 1 kırmızı bilye aktarma olasılığı 6/10; 2 kırmızı bilye aktarma olasılığı 1/10 olarak bulunur.

İlk aktarımda A torbasından seçilebilecek bilye kombinasyonlarının olasılıklarını belirlemek için kombinasyon kullanılır.

Her bir aktarım durumu için, son durumda A'daki mavi bilye sayısının 3 olmasını sağlayacak geri aktarım olasılıklarını ve bu durumların ortak olasılıklarını hesaplama

2 mavi aktarıldığında A'da tekrar 3 mavi kalma ortak olasılığı 18/280; farklı renk aktarıldığında 90/280; 2 kırmızı aktarıldığında ise 15/280 olarak hesaplanır.

Koşulun gerçekleşmesini sağlayan tüm olası yolların ortak olasılıklarını elde etmek gerekir.

Koşulun (son durumda A'da 3 mavi bilye bulunması) gerçekleşme olasılığını bulma

P(A'da 3 Mavi) = 18/280 + 90/280 + 15/280 = 123/280.

Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşulun gerçekleşme olasılığını) bulmak için tüm ortak olasılıklar toplanır.

Koşullu olasılık formülüyle farklı renkte bilye aktarılmış olma olasılığını bulma

Olasılık = (90/280) / (123/280) = 30/41 olarak bulunur.

Verilen koşul altında istenen durumun olasılığını bulmak için Bayes teoremi / daraltılmış örnek uzay mantığı uygulanır.

Elde edilen en sade kesrin pay ve paydanın toplamını hesaplama

30 + 41 = 71.

Soruda istenen a + b toplamını bulmak için sadeleştirilmiş kesrin pay ve payda değerleri toplanır.

Key Concept

İki yönlü bilye aktarımı içeren ve örnek uzayın daraltılmasını gerektiren koşullu olasılık hesabı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic