Bir satranç turnuvasında A, B ve C oyuncuları mücadele etmektedir. Turnuva kuralları şu şe… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir satranç turnuvasında $A$ , $B$ ve $C$ oyuncuları mücadele etmektedir. Turnuva kuralları şu şekildedir:
- Her turda yalnızca iki oyuncu karşılaşır. Mağlup olan oyuncu elenmez ancak bir sonraki turda dinlenir (yani o tur oynamayan oyuncu ile bir önceki turun galibi karşılaşır).
- Turnuvadaki hiçbir maçta beraberlik yaşanmamaktadır.
- 1. turda $A$ ile $B$ karşılaşmıştır.
- Turnuva süresince oyuncuların birbirlerini yenme olasılıkları sabittir. $A$ 'nın $B$ 'yi yenme olasılığı $\frac{2}{3}$ , $A$ 'nın $C$ 'yi yenme olasılığı $\frac{1}{2}$ ve $B$ 'nin $C$ 'yi yenme olasılığı ise $\frac{3}{5}$ 'tir.

Buna göre, 3. turdaki maçı $A$ oyuncusunun kazandığı bilindiğine göre, 2. turdaki maçı $B$ oyuncusunun kazanmış olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{3}{19}$
B
$\frac{2}{15}$
$\frac{6}{19}$ Answer
D
$\frac{10}{19}$
E
$\frac{3}{8}$

Answer

İstenen koşullu olasılık değeri

\frac{6}{19}

'dur.

3. turdaki maçı A oyuncusunun kazandığı bilindiğine göre örnek uzayımız A'nın 3. turda kazandığı üç farklı durumun olasılıkları toplamı olan

\frac{19}{45}

değerine indirgenir. Bu durumlardan yalnızca 1. turu B'nin kazanıp, 2. turda B'nin C'yi yenmesi ve ardından 3. turda A'nın B'yi yenmesi durumunda 2. turu B kazanmış olur. Bu özel yolun olasılığı

\frac{2}{15}

olduğuna göre, koşullu olasılık değeri

\frac{2/15}{19/45} = \frac{6}{19}

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Turların eşleşmelerini ve olası sonuç dallarını belirleme

1. Tur: A - B maçı yapılır. İki olasılık vardır:
- A kazanır (Olasılık:

\frac{2}{3}

): Bu durumda 2. Tur C - A olur (B dinlenir).
- B kazanır (Olasılık:

\frac{1}{3}

): Bu durumda 2. Tur C - B olur (A dinlenir).

Olay akışını sistematik olarak takip edebilmek için ağaç diyagramı başlangıcı oluşturulur.

2. ve 3. tur sonuçlarına göre A'nın 3. turu kazandığı yolları analiz etme

Yol 1: A (1. turu kazanır) -> A (2. turda C'yi yener) -> A (3. turda B'yi yener)
Olasılık:

\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}

Yol 2: B (1. turu kazanır) -> B (2. turda C'yi yener) -> A (3. turda B'yi yener)
Olasılık:

\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{15}

Yol 3: B (1. turu kazanır) -> C (2. turda B'yi yener) -> A (3. turda C'yi yener)
Olasılık:

\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{15}

Not: 1. turu A kazanıp 2. turu C kazansaydı, 3. tur B ile C arasında oynanacaktı ve A'nın 3. turu kazanma olasılığı 0 olacaktı.

Koşullu olasılıkta payda kısmını oluşturan 'A'nın 3. turu kazanması' koşuluna uygun tüm durumları belirlemek gerekir.

Koşulun gerçekleşme olasılığını (A'nın 3. turu kazanma olasılığı) hesaplama

P(A_3) = \frac{2}{9} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{2}{9} + \frac{3}{15} = \frac{2}{9} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 9}{45} = \frac{19}{45}

Koşulun toplam olasılığını bularak örnek uzayı bu değere daraltacağız.

2. turu B'nin kazandığı ve A'nın 3. turu kazandığı ortak durumu bulup koşullu olasılığı hesaplama

2. turu B'nin kazandığı ve 3. turu A'nın kazandığı tek yol Yol 2'dir. Bu yolun olasılığı

\frac{2}{15}

'tir.
Koşullu Olasılık =

\frac{P(\text{Yol 2})}{P(A_3)} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{19}{45}} = \frac{2}{15} \times \frac{45}{19} = \frac{6}{19}

Koşullu olasılık tanımı gereği

P(X \mid Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}

formülü uygulanır.

Key Concept

Koşullu olasılıkta, verilen bir koşulun gerçekleştiği bilindiğinde, ��rnek uzay sadece bu koşulu sağlayan çıktılara daraltılır.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic