Examkin

Question

Difficulty: MediumBinom Açılımı
kk bir gerçel sayı olmak üzere,
(x3−kx2)5\left(x^3 - \frac{k}{x^2}\right)^5
ifadesinin açılımındaki sabit terim −80-80 olduğuna göre, kk kaçtır?
  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. C
    1
  4. 2Answer
  5. E
    4

Answer

k gerçel sayısının değeri 2'dir.
Genel terim formülü düzenlendiğinde sabit terim için x'in üssünü sıfır yapan r değeri 3 olarak elde edilir. r = 3 için sabit terim -10 * k^3 olur. Bu ifade -80'e eşitlendiğinde k^3 = 8 denklemi kurulur ve k değeri 2 bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Açılımın genel terim formülü yazılır.
Tr+1=(5r)(x3)5−r(−kx2)rT_{r+1} = \binom{5}{r} (x^3)^{5-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r
Binom açılımındaki belirli bir terimi veya sabit terimi bulabilmek için genel terim formülünü oluşturmak gerekir.
2
Değişkenlerin ve katsayıların kuvvetleri düzenlenir.
T_{r+1} = \binom{5}{r} (-k)^r x^{15-3r} x^{-2r} = \binom{5}{r} (-k)^r x^{15-5r}
x değişkeninin net kuvvetini belirleyerek sabit terim koşulunu uygulayabilmek için üslü ifadeler düzenlenir.
3
Sabit terim için x'in kuvveti sıfıra eşitlenir.
15 - 5r = 0 \implies r = 3
Sabit terimde x değişkeni bulunmaz, bu nedenle x'in üssü 0 olmalıdır.
4
Bulunan r değeri genel terimde yerine yazılarak sabit terim katsayısı oluşturulur.
T_4 = \binom{5}{3} (-k)^3 = 10 \cdot (-k^3) = -10k^3
Sabit terimin sayısal değerini k cinsinden ifade etmek için kombinasyon ve üs işlemleri tamamlanır.
5
Elde edilen katsayı verilen sabit terim değerine eşitlenerek denklem çözülür.
-10k^3 = -80 \implies k^3 = 8 \implies k = 2
Soruda verilen sabit terim değeri yardımıyla k bilinmeyeni elde edilir.

Key Concept

Binom açılımında genel terim yazma ve sabit terimi bulma kuralları
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic