Tanımlı olduğu x ve y gerçel sayıları için, \frac{\sin(x - y)\sin(y) - \cos(x - y)\cos(y)}… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Tanımlı olduğu

x

y

gerçel sayıları için,

\frac{\sin(x - y)\sin(y) - \cos(x - y)\cos(y)}{\cos(x + y)\sin(y) - \sin(x + y)\cos(y)}

ifadesinin en sade şekli nedir?

Answer: cot(x) / cotx / cot x / \cot(x) / \cot x

İfadenin en sade şekli kotanjant fonksiyonu cinsinden

\cot(x)

olarak bulunur.

Pay kısmındaki ifade eksi parantezine alındığında kosinüs toplam formülüyle

-\cos(x)

değerine, payda kısmı ise sinüs fark formülüyle

\sin(y - (x+y)) = \sin(-x) = -\sin(x)

değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise

\cot(x)

sonucunu verir.

Pay kısmındaki ifadeyi kosinüs toplam formülüne benzetmek için eksi parantezine almak.

-(\cos(x - y)\cos(y) - \sin(x - y)\sin(y))

Kosinüsün toplam formülü olan

\cos(A+B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)

yapısını elde etmek amacıyla bu dönüşüm yapılır.

Pay kısmına kosinüs toplam formülünü uygulamak.

-\cos((x - y) + y) = -\cos(x)

Açıları topladığımızda

x - y + y = x

elde edilir, böylece pay kısmı

-\cos(x)

olur.

Payda kısmındaki ifadeyi sinüs fark formülüne göre düzenlemek.

\sin(y)\cos(x + y) - \cos(y)\sin(x + y) = \sin(y - (x + y))

Sinüsün fark formülü

\sin(A-B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)

şeklindedir. Burada

A = y

B = x + y

olarak seçilirse bu kalıp elde edilir.

Payda kısmındaki açıyı sadeleştirmek ve tek fonksiyon cinsinden yazmak.

\sin(-x) = -\sin(x)

Sinüs tek fonksiyon olduğu için

\sin(-x) = -\sin(x)

eşitliği geçerlidir.

Pay ve paydanın oranını bularak en sade hali elde etmek.

\frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \cot(x)

Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu verir ve eksiler birbirini götürür.

Toplam ve fark formülleri yardımıyla trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve işaret takibi.

Estimated Time:2m 0s

Question