Examkin

Question

Difficulty: MediumToplam ve Fark Formülleri
x>0x > 0 olmak üzere,
tan⁡(arctan⁡(2x)+arctan⁡(x))=−3\tan(\arctan(2x) + \arctan(x)) = -3
denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?

Answer: 1 / x = 1

Answer

1
Verilen denklemde arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b dönüşümleri yapıldığında, tanjant toplam formülü kullanılarak rasyonel bir ifadeye ulaşılır. Bu ifade düzenlendiğinde 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 denklemi elde edilir. Çözüm kümesinden elde edilen x=1x = 1 değeri, x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek köktür.

Step-by-Step Solution

1
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlemek için arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b olarak adlandırın.
tan⁡(a)=2x\tan(a) = 2x ve tan⁡(b)=x\tan(b) = x eşitlikleri elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u ilişkisi kullanılır.
2
Soru kökündeki denklemde dönüşümleri yerine yazarak tanjant toplam formülünü uygulayın.
tan⁡(a+b)=−3  ⟹  tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)=−3\tan(a+b) = -3 \implies \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} = -3 olur. Değerleri yerine koyduğumuzda 2x+x1−(2x)(x)=−3\frac{2x + x}{1 - (2x)(x)} = -3 elde edilir.
Tanjant fonksiyonunun toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} ifadesinden yararlanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3x1−2x2=−3  ⟹  3x=−3(1−2x2)  ⟹  3x=−3+6x2  ⟹  6x2−3x−3=0\frac{3x}{1 - 2x^2} = -3 \implies 3x = -3(1 - 2x^2) \implies 3x = -3 + 6x^2 \implies 6x^2 - 3x - 3 = 0 olur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki ifade karşı tarafa çarpım olarak geçirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Denklemin her iki tarafı da 33 ile bölünürse 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 elde edilir. Bu ifade (2x+1)(x−1)=0(2x + 1)(x - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=−12x = -\frac{1}{2} ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
x>0x > 0 koşulunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan nihai değeri belirleyin.
x=1x = 1 olarak bulunur.
Soruda başlangıçta xx değerinin pozitif olduğu (x>0x > 0) belirtilmiştir, bu nedenle negatif kök elenir.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerde tanjant toplam formülünün uygulanması.
Rate this question

Topics

Toplam ve Fark Formülleri

More questions from this topic