Examkin

Question

Difficulty: HardToplam ve Fark Formülleri

Tanımlı olduğu her xx gerçek sayısı için,

sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)cos⁡(x−π6)−sin⁡(x−π3) \frac{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Answer: tan(x) / \tan(x) / tan x / \tan x / tanx / \tanx

Answer

İfadenin en sade eşiti tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadedeki tüm terimler toplam ve fark formülleri kullanılarak açılıp toplandığında pay kısmı 3sin⁡x\sqrt{3}\sin x, payda kısmı ise 3cos⁡x\sqrt{3}\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı ise tan⁡x\tan x sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x−π/6)=sin⁡xcos⁡(π/6)−cos⁡xsin⁡(π/6)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - \pi/6) = \sin x \cos(\pi/6) - \cos x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−π/3)=cos⁡xcos⁡(π/3)+sin⁡xsin⁡(π/3)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - \pi/3) = \cos x \cos(\pi/3) + \sin x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x elde edilir.
Payı basitle��tirmek için sin⁡(a−b)\sin(a-b) ve cos⁡(a−b)\cos(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
Pay kısmındaki bu iki açılımı toplayarak payı sadeleştirin.
(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
−12cos⁡x-\frac{1}{2}\cos x ve 12cos⁡x\frac{1}{2}\cos x terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Payda kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
cos⁡(x−π/6)=cos⁡xcos⁡(π/6)+sin⁡xsin⁡(π/6)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - \pi/6) = \cos x \cos(\pi/6) + \sin x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−π/3)=sin⁡xcos⁡(π/3)−cos⁡xsin⁡(π/3)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - \pi/3) = \sin x \cos(\pi/3) - \cos x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x elde edilir.
Paydayı basitleştirmek için cos⁡(a−b)\cos(a-b) ve sin⁡(a−b)\sin(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek paydayı sadeleştirin.
(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemi dağıtıldığında 12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x terimleri birbirini götürür ve kosinüslü terimler toplanır.
5
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda değerlerini oranlayın.
3sin⁡x3cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{3}\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x elde edilir.
Katsayılar sadeleşir ve temel trigonometrik özdeşliklerden sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x bağıntısı kullanılır.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Toplam ve Fark Formülleri

More questions from this topic