Examkin

Toplam ve Fark Formülleri

61 questions

All types61Multiple choice28Numeric16Short answer17
Question 1Question →
Bir ABCDABCD dikdörtgeninde,
∣AB∣=8 birim|AB| = 8\text{ birim}
∣BC∣=6 birim|BC| = 6\text{ birim}
olmak üzere, EE noktası [AD][AD] kenarının orta noktasıdır. [CD][CD] kenarı üzerinde alınan bir FF noktası için ∣DF∣=2 birim|DF| = 2\text{ birim} olduğuna göre, tan⁡(EBF^)\tan(\widehat{EBF}) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 511\frac{5}{11}

Answer

İstenen tanjant değeri beş bölü on bir olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dikdörtgen üzerindeki dik üçgenlerden elde edilen tanjant değerlerinin fark formülüne doğru biçimde uygulanmasıyla hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
EAB dik üçgenini inceleyelim.
EE noktası [AD][AD] kenarının orta noktası olduğundan ∣AE∣=3 birim|AE| = 3\text{ birim} olur. EABEAB dik üçgeninde EBA^\widehat{EBA} açısının tanjantı tan⁡(EBA^)=∣AE∣∣AB∣=38\tan(\widehat{EBA}) = \frac{|AE|}{|AB|} = \frac{3}{8} olarak bulunur.
Tanjant fark formülünü uygulamak için gerekli olan ilk açının tanjantını bulmak.
2
F noktasından AB doğrusuna dikme indirerek FHB dik üçgenini oluşturalım.
Dikme ayağı HH olsun. Bu durumda ∣FH∣=∣BC∣=6 birim|FH| = |BC| = 6\text{ birim} ve ∣HB∣=∣AB∣−∣DF∣=8−2=6 birim|HB| = |AB| - |DF| = 8 - 2 = 6\text{ birim} olur. Buradan tan⁡(FBA^)=∣FH∣∣HB∣=66=1\tan(\widehat{FBA}) = \frac{|FH|}{|HB|} = \frac{6}{6} = 1 bulunur.
Tanjant fark formülü için gerekli olan ikinci açının tanjantını bulmak.
3
Tanjant fark formülünü uygulayalım.
α=EBF^=FBA^−EBA^\alpha = \widehat{EBF} = \widehat{FBA} - \widehat{EBA} olduğundan, tan⁡(α)=tan⁡(FBA^)−tan⁡(EBA^)1+tan⁡(FBA^)⋅tan⁡(EBA^)=1−381+1⋅38=58118=511\tan(\alpha) = \frac{\tan(\widehat{FBA}) - \tan(\widehat{EBA})}{1 + \tan(\widehat{FBA}) \cdot \tan(\widehat{EBA})} = \frac{1 - \frac{3}{8}}{1 + 1 \cdot \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{11}{8}} = \frac{5}{11} bulunur.
İki açının farkının tanjantını bularak hedef açının tanjant değerine ulaşmak.

Key Concept

İki açının farkının tanjant formülü: tan⁡(x−y)=tan⁡(x)−tan⁡(y)1+tan⁡(x)tan⁡(y)\tan(x - y) = \frac{\tan(x) - \tan(y)}{1 + \tan(x)\tan(y)}
Question 2Question →
x>0x > 0 olmak üzere,
tan⁡(arctan⁡(2x)+arctan⁡(x))=−3\tan(\arctan(2x) + \arctan(x)) = -3
denklemini sağlayan xx değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1; x = 1

Answer

1
Verilen denklemde arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b dönüşümleri yapıldığında, tanjant toplam formülü kullanılarak rasyonel bir ifadeye ulaşılır. Bu ifade düzenlendiğinde 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 denklemi elde edilir. Çözüm kümesinden elde edilen x=1x = 1 değeri, x>0x > 0 koşulunu sağlayan tek köktür.

Step-by-Step Solution

1
Ters trigonometrik ifadeleri daha kolay işlemek için arctan⁡(2x)=a\arctan(2x) = a ve arctan⁡(x)=b\arctan(x) = b olarak adlandırın.
tan⁡(a)=2x\tan(a) = 2x ve tan⁡(b)=x\tan(b) = x eşitlikleri elde edilir.
Ters trigonometrik fonksiyonların tanımı gereği arctan⁡(u)=v  ⟺  tan⁡(v)=u\arctan(u) = v \iff \tan(v) = u ilişkisi kullanılır.
2
Soru kökündeki denklemde dönüşümleri yerine yazarak tanjant toplam formülünü uygulayın.
tan⁡(a+b)=−3  ⟹  tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)=−3\tan(a+b) = -3 \implies \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} = -3 olur. Değerleri yerine koyduğumuzda 2x+x1−(2x)(x)=−3\frac{2x + x}{1 - (2x)(x)} = -3 elde edilir.
Tanjant fonksiyonunun toplam formülü olan tan⁡(a+b)=tan⁡(a)+tan⁡(b)1−tan⁡(a)tan⁡(b)\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)} ifadesinden yararlanılır.
3
Elde edilen rasyonel ifadeyi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3x1−2x2=−3  ⟹  3x=−3(1−2x2)  ⟹  3x=−3+6x2  ⟹  6x2−3x−3=0\frac{3x}{1 - 2x^2} = -3 \implies 3x = -3(1 - 2x^2) \implies 3x = -3 + 6x^2 \implies 6x^2 - 3x - 3 = 0 olur.
İçler dışlar çarpımı yapılarak paydadaki ifade karşı tarafa çarpım olarak geçirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak köklerini bulun.
Denklemin her iki tarafı da 33 ile bölünürse 2x2−x−1=02x^2 - x - 1 = 0 elde edilir. Bu ifade (2x+1)(x−1)=0(2x + 1)(x - 1) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=−12x = -\frac{1}{2} ve x=1x = 1 olarak bulunur.
İkinci dereceden denklemin köklerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
5
x>0x > 0 koşulunu göz önünde bulundurarak denklemi sağlayan nihai değeri belirleyin.
x=1x = 1 olarak bulunur.
Soruda başlangıçta xx değerinin pozitif olduğu (x>0x > 0) belirtilmiştir, bu nedenle negatif kök elenir.

Key Concept

Ters trigonometrik fonksiyonları içeren denklemlerde tanjant toplam formülünün uygulanması.
Question 3Question →

xx ve yy birer dar açı olmak üzere,

3sin⁡xcos⁡y+cos⁡xsin⁡y=23\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2
sin⁡xcos⁡y+3cos⁡xsin⁡y=1\sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x−yx - y farkı kaç derecedir?

Show answer & explanation

Answer: 30

Answer

Verilen denklem sisteminden sinüs fark formülü yardımıyla sin⁡(x−y)=12\sin(x-y) = \frac{1}{2} elde edilir. xx ve yy dar açılar olduğundan x−y=30∘x-y = 30^\circ bulunur.
Verilen iki denklem u=sin⁡xcos⁡yu = \sin x \cos y ve v=cos⁡xsin⁡yv = \cos x \sin y değişkenleriyle iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülür: 3u+v=23u + v = 2 ve u+3v=1u + 3v = 1. Bu sistem çözüldüğünde u=5/8u = 5/8 ve v=1/8v = 1/8 bulunur. Sinüs fark formülü sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y olduğundan, sin⁡(x−y)=u−v=5/8−1/8=1/2\sin(x-y) = u - v = 5/8 - 1/8 = 1/2 olur. xx ve yy dar açılar olduğu için −90∘<x−y<90∘-90^\circ < x-y < 90^\circ olup bu aralıkta sinüsü 1/21/2 olan tek açı 30∘30^\circ derecedir.

Step-by-Step Solution

1
u=sin⁡xcos⁡yu = \sin x \cos y ve v=cos⁡xsin⁡yv = \cos x \sin y değişken tanımlamaları yapılır.
Sistem 3u+v=23u + v = 2 ve u+3v=1u + 3v = 1 biçimini alır.
Trigonometrik ifadeleri daha kolay çözülebilir bir doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.
2
Elde edilen doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.
u=58u = \frac{5}{8} ve v=18v = \frac{1}{8} bulunur.
Bilinmeyen trigonometrik çarpımların sayısal değerlerini tespit etmek için.
3
Sinüsün fark formülü olan sin⁡(x−y)=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡y\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y ifadesinde bulunan değerler yerine yazılır.
sin⁡(x−y)=58−18=48=12\sin(x-y) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} elde edilir.
İstenen x−yx-y açısına ulaşmak için gerekli olan sinüs değerini hesaplamak için.
4
xx ve yy dar açılar olduğundan −90∘<x−y<90∘-90^\circ < x-y < 90^\circ aralığı göz önüne alınarak x−yx-y değeri belirlenir.
x−y=30∘x-y = 30^\circ bulunur.
Açı sınırlandırmalarını kullanarak sinüs değeri 12\frac{1}{2} olan uygun açıyı bulmak için.

Key Concept

İki açının farkının sinüs açılımı formülü: sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b.
Question 4Question →
tan⁡70∘−tan⁡10∘−3tan⁡70∘tan⁡10∘\frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3}}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 3\sqrt{3}

Answer

3\sqrt{3}
İfadeyi sadeleştirmek için 70∘−10∘=60∘70^\circ - 10^\circ = 60^\circ ilişkisi kullanılarak iki açının farkının tanjant formülü uygulanır. tan⁡(70∘−10∘)=tan⁡70∘−tan⁡10∘1+tan⁡70∘tan⁡10∘\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ} eşitliğinde tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3} yazılarak içler dışlar çarpımı yapıldığında tan⁡70∘−tan⁡10∘−3=3tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3} \tan 70^\circ \tan 10^\circ elde edilir. Bu değer pay kısmındaki ifadenin yerine yazıldığında pay ve paydadaki tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ \tan 10^\circ terimleri sadeleşir ve sonuç karekök üç olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
70∘−10∘=60∘70^\circ - 10^\circ = 60^\circ eşitliğini fark ederek iki açının farkının tanjant formülünü yazmak.
tan⁡(70∘−10∘)=tan⁡70∘−tan⁡10∘1+tan⁡70∘tan⁡10∘\tan(70^\circ - 10^\circ) = \frac{\tan 70^\circ - \tan 10^\circ}{1 + \tan 70^\circ \tan 10^\circ}
Verilen ifadedeki tan⁡70∘\tan 70^\circ ve tan⁡10∘\tan 10^\circ terimleri arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için fark formülü kullanılır.
2
tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3} değerini formülde yerine koyup içler dışlar çarpımı yapmak.
3+3tan⁡70∘tan⁡10∘=tan⁡70∘−tan⁡10∘\sqrt{3} + \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ = \tan 70^\circ - \tan 10^\circ
Bilinen bir açının tanjant değerini kullanarak denklem oluşturulur.
3
Elde edilen eşitliği düzenleyerek sorudaki pay kısmına benzetmek.
tan⁡70∘−tan⁡10∘−3=3tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ - \tan 10^\circ - \sqrt{3} = \sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ
Pay kısmındaki ifadenin yerine tan⁡70∘tan⁡10∘\tan 70^\circ \tan 10^\circ cinsinden eşiti yazılmak istenir.
4
Bulunan bu eşiti orijinal kesirli ifadede pay kısmına yazıp sadeleştirme işlemini tamamlamak.
3tan⁡70∘tan⁡10∘tan⁡70∘tan⁡10∘=3\frac{\sqrt{3}\tan 70^\circ \tan 10^\circ}{\tan 70^\circ \tan 10^\circ} = \sqrt{3}
Ortak terimler sadeleştirilerek ifadenin en sade sayısal değeri bulunur.

Key Concept

İki açının farkının tanjant formülü: tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡Atan⁡B\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}
Question 5Question →

Tanımlı olduğu her xx gerçek sayısı için,

sin⁡(x−π6)+cos⁡(x−π3)cos⁡(x−π6)−sin⁡(x−π3) \frac{\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)}

ifadesinin en sade eşiti nedir?

Show answer & explanation

Answer: tan(x); \tan(x); tan x; \tan x; tanx; \tanx

Answer

İfadenin en sade eşiti tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadedeki tüm terimler toplam ve fark formülleri kullanılarak açılıp toplandığında pay kısmı 3sin⁡x\sqrt{3}\sin x, payda kısmı ise 3cos⁡x\sqrt{3}\cos x olarak sadeleşir. Bu iki ifadenin oranı ise tan⁡x\tan x sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
sin⁡(x−π/6)=sin⁡xcos⁡(π/6)−cos⁡xsin⁡(π/6)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - \pi/6) = \sin x \cos(\pi/6) - \cos x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x ve cos⁡(x−π/3)=cos⁡xcos⁡(π/3)+sin⁡xsin⁡(π/3)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - \pi/3) = \cos x \cos(\pi/3) + \sin x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x elde edilir.
Payı basitle��tirmek için sin⁡(a−b)\sin(a-b) ve cos⁡(a−b)\cos(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
2
Pay kısmındaki bu iki açılımı toplayarak payı sadeleştirin.
(32sin⁡x−12cos⁡x)+(12cos⁡x+32sin⁡x)=3sin⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right) + \left(\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right) = \sqrt{3}\sin x bulunur.
−12cos⁡x-\frac{1}{2}\cos x ve 12cos⁡x\frac{1}{2}\cos x terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Payda kısmındaki terimleri toplam ve fark formülleriyle açın.
cos⁡(x−π/6)=cos⁡xcos⁡(π/6)+sin⁡xsin⁡(π/6)=32cos⁡x+12sin⁡x\cos(x - \pi/6) = \cos x \cos(\pi/6) + \sin x \sin(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x ve sin⁡(x−π/3)=sin⁡xcos⁡(π/3)−cos⁡xsin⁡(π/3)=12sin⁡x−32cos⁡x\sin(x - \pi/3) = \sin x \cos(\pi/3) - \cos x \sin(\pi/3) = \frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x elde edilir.
Paydayı basitleştirmek için cos⁡(a−b)\cos(a-b) ve sin⁡(a−b)\sin(a-b) fark formüllerini uygulamak gerekir.
4
Payda kısmındaki çıkarma işlemini gerçekleştirerek paydayı sadeleştirin.
(32cos⁡x+12sin⁡x)−(12sin⁡x−32cos⁡x)=3cos⁡x\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) - \left(\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = \sqrt{3}\cos x bulunur.
Çıkarma işlemi dağıtıldığında 12sin⁡x\frac{1}{2}\sin x terimleri birbirini götürür ve kosinüslü terimler toplanır.
5
Elde edilen sadeleşmiş pay ve payda değerlerini oranlayın.
3sin⁡x3cos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sqrt{3}\sin x}{\sqrt{3}\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x elde edilir.
Katsayılar sadeleşir ve temel trigonometrik özdeşliklerden sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x bağıntısı kullanılır.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının fark formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 6Question →
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(x−60∘)=2sin⁡(x−30∘)\cos(x - 60^\circ) = 2\sin(x - 30^\circ)
denklemini sağlayan xx açısı kaç derecedir?
Show answer & explanation

Answer: 60

Answer

Denklemi sağlayan dar açı 60 derecedir.
Verilen denklemde kosinüs ve sinüs fark formülleri uygulanıp benzer terimler gruplandırıldığında tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3} eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan dar açı 60 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Sol taraftaki terimi kosinüs fark formülü yardımıyla açmak.
cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Kosinüs fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡60∘=1/2\cos 60^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2) yerine yazılmıştır.
2
Sağ taraftaki terimi sinüs fark formülü yardımıyla açmak.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x
Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡30∘=3/2\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2) yerine yazılmıştır.
3
Elde edilen açılımları denklemde yerine koyup denklemi düzenlemek.
32cos⁡x=32sin⁡x\frac{3}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Açılımlar denklemde yerine yazılıp benzer terimler bir araya toplandığında denklem sadeleşir.
4
tan⁡x\tan x değerini hesaplamak.
tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımından yararlanarak sadeleşen denklemin her iki tarafı düzenlenir.
5
Dar açı tanımına uygun çözümü belirlemek.
x=60∘x = 60^\circ
0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.

Key Concept

Toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin çözülmesi.
Estimated Time:2m 0s
Question 7Question →
α=arctan⁡(12)+arctan⁡(18)+arctan⁡(118)+arctan⁡(132)\alpha = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{8}\right) + \arctan\left(\frac{1}{18}\right) + \arctan\left(\frac{1}{32}\right)

olduğuna göre, tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 99

Answer

Doğru cevap 9 değerini veren seçenektir.
Teleskopik toplam yöntemiyle α=arctan⁡(9)−π4\alpha = \arctan(9) - \frac{\pi}{4} olarak sadeleşir. Bu eşitlikten α+π4=arctan⁡(9)\alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan(9) yazılır. Her iki tarafın tanjantı alındığında tan⁡(α+π4)=9\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 9 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Her bir terimin genel biçimini belirlemek için terimleri analiz edelim.
Terimler n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 için arctan⁡(12n2)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) formundadır.
Toplamdaki terimlerin düzenini ve teleskopik (ardışık sadeleşen) bir yapıya dönüştürülüp dönüştürülemeyeceğini anlamak için.
2
arctan⁡(12n2)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) ifadesini toplam-fark formüllerini kullanabileceğimiz bir biçimde yeniden yazalım.
arctan⁡(12n2)=arctan⁡(24n2)=arctan⁡((2n+1)−(2n−1)1+(2n−1)(2n+1))\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \arctan\left(\frac{2}{4n^2}\right) = \arctan\left(\frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n-1)(2n+1)}\right) elde edilir.
Tanjant fark formülü olan tan⁡(x−y)=tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} özdeşliğini ters trigonometrik fonksiyonlara uygulayabilmek için.
3
Elde ettiğimiz ifadeye arctan fark formülünü uygulayalım.
arctan⁡(12n2)=arctan⁡(2n+1)−arctan⁡(2n−1)\arctan\left(\frac{1}{2n^2}\right) = \arctan(2n+1) - \arctan(2n-1) olur.
Toplamı teleskopik bir seriye dönüştürerek terimlerin birbirini götürmesini sağlamak için.
4
n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerlerini yazarak terimleri toplayalım.
α=(arctan⁡(3)−arctan⁡(1))+(arctan⁡(5)−arctan⁡(3))+(arctan⁡(7)−arctan⁡(5))+(arctan⁡(9)−arctan⁡(7))=arctan⁡(9)−arctan⁡(1)\alpha = (\arctan(3) - \arctan(1)) + (\arctan(5) - \arctan(3)) + (\arctan(7) - \arctan(5)) + (\arctan(9) - \arctan(7)) = \arctan(9) - \arctan(1) elde edilir.
Teleskopik toplam sayesinde aradaki terimleri sadeleştirmek için.
5
arctan⁡(1)=π4\arctan(1) = \frac{\pi}{4} değerini yerine yazarak α\alpha açısını düzenleyelim ve tan⁡(α+π4)\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) değerini bulalım.
α=arctan⁡(9)−π4  ⟹  α+π4=arctan⁡(9)\alpha = \arctan(9) - \frac{\pi}{4} \implies \alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan(9) olur. Buradan tan⁡(α+π4)=tan⁡(arctan⁡(9))=9\tan\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = \tan(\arctan(9)) = 9 bulunur.
İstenen ifadenin nihai değerini hesaplamak için.

Key Concept

Tanjant toplam ve fark formülleri yardımıyla ters tanjant (arctan) ifadelerinin fark biçiminde yazılması ve teleskopik toplam yöntemiyle sadeleştirilmesi.
Question 8Question →
Tanımlı xx ve yy gerçel sayıları için,
cot⁡y−cot⁡x=3\cot y - \cot x = 3
tan⁡(x−y)=2\tan(x - y) = 2
olduğuna göre, tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımının değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımının değeri 22'dir.
Kotanjant farkından yola çıkılarak elde edilen tan⁡x−tan⁡y=3tan⁡xtan⁡y\tan x - \tan y = 3\tan x\tan y ifadesi, tan⁡(x−y)\tan(x-y) fark formülünde yerine konulduğunda aranan tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y terimine bağlı birinci dereceden bir denklem elde edilmektedir. Bu denklem çözüldüğünde çarpımın değeri doğrudan 22 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Kotanjant terimlerini tanjant cinsinden ifade ederek payda eşitleme yapın.
tan⁡x−tan⁡y=3⋅tan⁡x⋅tan⁡y\tan x - \tan y = 3 \cdot \tan x \cdot \tan y bağıntısı elde edilir.
Toplam-fark formülü tanjant üzerinden tanımlı olduğu için tüm terimleri tanjant cinsine dönüştürmek kolaylık sağlar.
2
Tanjant fark formülünü uygulayarak tan⁡(x−y)=2\tan(x - y) = 2 eşitliğini yazın.
tan⁡x−tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2 eşitliği elde edilir.
Fark açısının tanjant değerini kullanmak amacıyla formül açılımı yapılır.
3
İlk adımdaki tan⁡x−tan⁡y\tan x - \tan y ifadesini fark formülündeki pay kısmına yerleştirin.
3⋅tan⁡x⋅tan⁡y1+tan⁡x⋅tan⁡y=2\frac{3 \cdot \tan x \cdot \tan y}{1 + \tan x \cdot \tan y} = 2 denklemi elde edilir.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tek bir değişken grubu üzerinden işlem yapabilmek için yerine koyma yöntemi kullanılır.
4
Denklemde içler dışlar çarpımı yapıp tan⁡x⋅tan⁡y\tan x \cdot \tan y çarpımını yalnız bırakın.
tan⁡x⋅tan⁡y=2\tan x \cdot \tan y = 2 olarak bulunur.
Rasyonel denklemin çözülmesiyle doğrudan hedeflenen çarpım değerine ulaşılır.

Key Concept

Tanjant fark formülü ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel sadeleştirmelerle birlikte kullanılması.
Question 9Question →
Analitik düzlemde,
d1:3x−4y+12=0d_1: 3x - 4y + 12 = 0
d2:5x+12y−20=0d_2: 5x + 12y - 20 = 0
doğruları veriliyor.

Buna göre, bu iki doğru arasında kalan dar açının kosinüsü kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 3365\frac{33}{65}

Answer

Doğruların eğimlerinden tanjant fark formülü yardımıyla aralarındaki dar açının tanjantı 56/33 bulunur. Buradan dik üçgen çizilerek dar açının kosinüsü 33/65 olarak hesaplanır.
Doğru cevap olan 33/65 değeri, doğruların eğimlerinden (3/4 ve -5/12) hareketle tanjant fark formülü kullanılarak aralarındaki dar açının tanjantının 56/33 olarak bulunması ve bu değerin bir dik üçgene aktarılarak kosinüsünün hesaplanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların denklemlerinden eğimlerini belirleyin.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=34m_1 = \frac{3}{4} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−512m_2 = -\frac{5}{12} olarak bulunur.
İki doğru arasındaki açıyı bulmak için bu doğruların eğimlerini kullanacağız.
2
İki doğru arasındaki dar açıyı θ\theta kabul ederek, eğimler yardımıyla tan⁡θ\tan\theta değerini hesaplayın.
tan⁡θ=∣m1−m21+m1⋅m2∣=∣34−(−512)1+34⋅(−512)∣=∣912+5121−1548∣=∣14123348∣=76⋅1611=5633\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| = \left| \frac{\frac{3}{4} - \left(-\frac{5}{12}\right)}{1 + \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{5}{12}\right)} \right| = \left| \frac{\frac{9}{12} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} \right| = \left| \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} \right| = \frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = \frac{56}{33} elde edilir.
İki doğru arasındaki açının tanjant formülü tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| şeklindedir.
3
Tanjant değeri bilinen dar açının kosinüs değerini dik üçgen çizerek hesaplayın.
Bir dik üçgende karşı dik kenar 5656, komşu dik kenar 3333 birim olarak alınırsa, hipotenüs uzunluğu: 332+562=1089+3136=4225=65\sqrt{33^2 + 56^2} = \sqrt{1089 + 3136} = \sqrt{4225} = 65 birim olur. Buradan dar açının kosinüsü: cos⁡θ=Koms¸uHipotenu¨s=3365\cos\theta = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{33}{65} olarak bulunur.
Tanjant değerinden kosinüs değerine geçiş yapmak için dik üçgen bağıntıları kullanılır.

Key Concept

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve toplam-fark formülleri yardımıyla trigonometrik oranların hesaplanması.
Estimated Time:2m 30s
Question 10Question →
Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,
tan⁡(x+y)=3\tan(x+y) = 3
cot⁡(x−y)=2\cot(x-y) = 2
olduğuna göre, tan⁡(2y)\tan(2y) ifadesinin de��eri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İfadenin değeri 1'dir.
Verilen cot(x-y) = 2 ifadesinden tan(x-y) = 1/2 elde edilir. 2y açısı (x+y) - (x-y) şeklinde yazılıp tanjant fark formülü uygulandığında sonucun 1 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Verilen kotanjant değerini tanjant değerine dönüştürün.
tan⁡(x−y)=12\tan(x-y) = \frac{1}{2}
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları arasında tan⁡θ⋅cot⁡θ=1\tan\theta \cdot \cot\theta = 1 ilişkisi vardır.
2
2y2y açısını, toplamı veya farkı 2y2y olan bilinen açılar cinsinden ifade edin.
2y=(x+y)−(x−y)2y = (x+y) - (x-y)
x+yx+y ve x−yx-y açılarının farkı alındığında xx değişkenleri birbirini götürür ve geriye 2y2y kalır.
3
Tanjant fark formülünü uygulayın.
tan⁡(2y)=tan⁡((x+y)−(x−y))=tan⁡(x+y)−tan⁡(x−y)1+tan⁡(x+y)⋅tan⁡(x−y)\tan(2y) = \tan((x+y) - (x-y)) = \frac{\tan(x+y) - \tan(x-y)}{1 + \tan(x+y) \cdot \tan(x-y)}
Tanjant fark formülü: tan⁡(A−B)=tan⁡A−tan⁡B1+tan⁡A⋅tan⁡B\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B} şeklindedir.
4
Bulunan değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplayın.
tan⁡(2y)=3−1/21+3⋅1/2=5/25/2=1\tan(2y) = \frac{3 - 1/2}{1 + 3 \cdot 1/2} = \frac{5/2}{5/2} = 1
Değerler yerine yazıldıktan sonra gerekli rasyonel işlemler ve sadeleştirmeler yapılır.

Key Concept

Tanjant fark formülü ve tanjant-kotanjant ilişkisi
Estimated Time:2m 0s
Question 11Question →
Bir ABCABC üçgeninin iç açıları AA, BB ve CC olmak üzere,
tan⁡A=2\tan A = 2
tan⁡B=3\tan B = 3
olduğuna göre, CC açısının ölçüsü kaç derecedir?
Show answer & explanation

Answer: 4545

Answer

4545 derece
Üçgenin iç açılarının toplamı kuralına göre C=180∘−(A+B)C = 180^\circ - (A+B) olur. İndirgeme formülü kullanıldığında tan⁡C=−tan⁡(A+B)\tan C = -\tan(A+B) elde edilir. Tanjant toplam formülünden tan⁡(A+B)=−1\tan(A+B) = -1 hesaplanır. Buradan tan⁡C=1\tan C = 1 bulunur ve üçgenin iç açısı olma koşulunu sağlayan tek değer 4545 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
ABCABC üçgeninin iç açılarının toplamı bağıntısını yazın.
A+B+C=180∘  ⟹  C=180∘−(A+B)A + B + C = 180^\circ \implies C = 180^\circ - (A+B)
Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180180 derecedir.
2
CC açısının tanjantını A+BA+B cinsinden ifade edin.
tan⁡C=tan⁡(180∘−(A+B))=−tan⁡(A+B)\tan C = \tan(180^\circ - (A+B)) = -\tan(A+B)
İkinci bölgedeki bir açının tanjantı negatif değer alır.
3
Tanjant toplam formülünü kullanarak tan⁡(A+B)\tan(A+B) değerini hesaplayın.
tan⁡(A+B)=tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡A⋅tan⁡B=2+31−2⋅3=5−5=−1\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1
İki açının toplamının tanjantı, açıların tanjantları toplamının, çarpımlarının bir eksiğine bölümüdür.
4
tan⁡C\tan C değerini bulun ve CC açısını belirleyin.
tan⁡C=−(−1)=1  ⟹  C=45∘\tan C = -(-1) = 1 \implies C = 45^\circ
Üçgenin bir iç açısı olan CC açısı 0∘0^\circ ile 180∘180^\circ arasında olmalıdır. Bu aralıkta tanjantı 11 olan açı 4545 derecedir.

Key Concept

İki açının toplamının tanjantı formülü ve üçgen içi açı ilişkileri
Question 12Question →

tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} ve cot⁡y=3\cot y = 3 olduğuna göre, tan⁡(x+y)\tan(x+y) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

1
Verilen cot⁡y=3\cot y = 3 değerinden tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3} elde edilir. Tanjant toplam formülü olan tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} ifadesinde tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} ve tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3} değerleri yerine yazıldığında pay 56\frac{5}{6}, payda ise 1−16=561 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} olur. Bu iki değerin birbirine oranı 1 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
cot⁡y=3\cot y = 3 eşitliğini kullanarak tan⁡y\tan y değerini bulunuz.
tan⁡y=13\tan y = \frac{1}{3}
Aynı açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
2
Tanjant toplam formülünü uygulayarak tan⁡(x+y)\tan(x+y) değerini hesaplayınız.
tan⁡(x+y)=1\tan(x+y) = 1
tan⁡(x+y)=tan⁡x+tan⁡y1−tan⁡x⋅tan⁡y\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \cdot \tan y} formülünde bilinen değerler yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.

Key Concept

İki açının toplamının tanjantı, bu açıların tanjantları cinsinden tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} formülüyle hesaplanır.

Alternative Method

Açılar için dik koordinat sisteminde veya dik üçgende uygun kenar uzunlukları seçilerek geometrik modelleme yapılabilir, ancak formül kullanımı en hızlı ve güvenli yoldur.
Estimated Time:1m 0s
Question 13Question →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡(3x)cos⁡(π2−x)+sin⁡(3x)sin⁡(π2−x)cos⁡(5x)cos⁡(π−x)−sin⁡(5x)cos⁡(π2−x)\frac{\cos(3x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(3x)\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\cos(5x)\cos(\pi - x) - \sin(5x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Show answer & explanation

Answer: -tan(4x); -\tan(4x); -tan4x; -\tan4x; tan(-4x); \tan(-4x); -tan(4*x); -\tan(4*x)

Answer

İfadenin en sade şekli −tan⁡(4x)-\tan(4x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı kosinüs fark formülünden sin⁡(4x)\sin(4x) değerine, paydası ise indirgemeler yapıldıktan sonra −cos⁡(4x)-\cos(4x) değerine eşittir. Bu iki ifade oranlandığında −tan⁡(4x)-\tan(4x) sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi toplam-fark formüllerini kullanarak sadeleştirin.
Pay kısmı: cos⁡(3x−(π2−x))=cos⁡(4x−π2)=sin⁡(4x)\cos\left(3x - \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(4x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(4x) olur.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) formülü uygulanmıştır. Ardından cos⁡(θ−π2)=sin⁡(θ)\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\theta) dönüşümü yapılmıştır.
2
Payda kısmındaki terimleri indirgeme formüllerini kullanarak dönüştürün.
cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x) ve cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x) değerleri yerlerine yazıldığında payda: −cos⁡(5x)cos⁡(x)−sin⁡(5x)sin⁡(x)-\cos(5x)\cos(x) - \sin(5x)\sin(x) olur.
Paydadaki açıları xx cinsinden ifade etmek için trigonometrik indirgeme kuralları uygulanmıştır.
3
Dönüştürülen payda ifadesini kosinüs fark formülünü kullanarak sadeleştirin.
Payda kısmı: −[cos⁡(5x)cos⁡(x)+sin⁡(5x)sin⁡(x)]=−cos⁡(5x−x)=−cos⁡(4x)-[\cos(5x)\cos(x) + \sin(5x)\sin(x)] = -\cos(5x - x) = -\cos(4x) olur.
Paydadaki eksi parantezine alınan ifade kosinüsün fark formülü olan cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B yapısına uygundur.
4
Elde edilen pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçimi bulun.
sin⁡(4x)−cos⁡(4x)=−tan⁡(4x)\frac{\sin(4x)}{-\cos(4x)} = -\tan(4x) elde edilir.
tan⁡(θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} tanımı kullanılmıştır.

Key Concept

Kosinüs toplam ve fark formülleri ile temel trigonometrik indirgeme kuralları.
Question 14Question →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere,

sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

30⋅(tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b)30 \cdot \left( \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} \right)

ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 20

Answer

İfadenin doğru değeri 20'dir.
Verilen özdeşlikler kullanılarak sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)=sin⁡2a−sin⁡2b=1/5\sin(a+b)\sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b = 1/5 ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)=cos⁡2a−sin⁡2b=3/10\cos(a+b)\cos(a-b) = \cos^2 a - \sin^2 b = 3/10 bulunur. Bu iki değer oranlandığında tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)=tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=2/3\tan(a+b)\tan(a-b) = \frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = 2/3 elde edilir. Bu oranın 30 katı 20'ye eşittir.

Step-by-Step Solution

1
İstenen ifade olan tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} kısmını sinüs ve kosinüs bileşenlerine ayıralım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2bcos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b}{\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b} elde edilir.
Tanjant fonksiyonu tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımı kullanılarak ortak paydada yazılmıştır.
2
Pay ve paydadaki ifadeleri iki kare farkı ve toplam-fark formülleri yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
Pay: sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=(sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b)(sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b)=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = (\sin a \cos b - \cos a \sin b)(\sin a \cos b + \cos a \sin b) = \sin(a-b)\sin(a+b). Payda: cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=(cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b)(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = (\cos a \cos b - \sin a \sin b)(\cos a \cos b + \sin a \sin b) = \cos(a-b)\cos(a+b).
Sinüs ve kosinüs toplam ve fark formülleri sırasıyla sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b ve cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b şeklindedir.
3
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)\sin(a-b)\sin(a+b) ve cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)\cos(a-b)\cos(a+b) ifadelerini verilen sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ve cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b değerleriyle ilişkilendirelim.
sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)=sin⁡2acos⁡2b−cos⁡2asin⁡2b=sin⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−sin⁡2a)sin⁡2b=sin⁡2a−sin⁡2b=15\sin(a-b)\sin(a+b) = \sin^2 a \cos^2 b - \cos^2 a \sin^2 b = \sin^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\sin^2 a)\sin^2 b = \sin^2 a - \sin^2 b = \frac{1}{5}
cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=cos⁡2acos⁡2b−sin⁡2asin⁡2b=cos⁡2a(1−sin⁡2b)−(1−cos⁡2a)sin⁡2b=cos⁡2a−sin⁡2b=310\cos(a-b)\cos(a+b) = \cos^2 a \cos^2 b - \sin^2 a \sin^2 b = \cos^2 a(1-\sin^2 b) - (1-\cos^2 a)\sin^2 b = \cos^2 a - \sin^2 b = \frac{3}{10}
Özdeşliklerin sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 kullanılarak sadeleştirilmesiyle verilen denklem sistemine doğrudan ulaşılır.
4
Elde ettiğimiz değerleri oranlayarak istenen çarpımı hesaplayalım.
tan⁡2a−tan⁡2b1−tan⁡2atan⁡2b=sin⁡(a−b)sin⁡(a+b)cos⁡(a−b)cos⁡(a+b)=1/53/10=23\frac{\tan^2 a - \tan^2 b}{1 - \tan^2 a \tan^2 b} = \frac{\sin(a-b)\sin(a+b)}{\cos(a-b)\cos(a+b)} = \frac{1/5}{3/10} = \frac{2}{3}
30⋅23=2030 \cdot \frac{2}{3} = 20
İstenen ifadenin değeri, elde ettiğimiz oranın 30 katıdır.

Key Concept

Toplam ve fark formülleri kullanılarak tan⁡(a+b)tan⁡(a−b)\tan(a+b)\tan(a-b) çarpımının sin⁡(a+b)sin⁡(a−b)\sin(a+b)\sin(a-b) ve cos⁡(a+b)cos⁡(a−b)\cos(a+b)\cos(a-b) oranına eşit olduğunun gösterilmesi ve bu ifadelerin sin⁡2a−sin⁡2b\sin^2 a - \sin^2 b ile cos⁡2a−sin⁡2b\cos^2 a - \sin^2 b biçiminde sadeleştirilmesi.
Question 15Question →
cos⁡(70∘)cos⁡(10∘)+sin⁡(70∘)sin⁡(10∘)\cos(70^\circ)\cos(10^\circ) + \sin(70^\circ)\sin(10^\circ) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Show answer & explanation

Answer: 12\frac{1}{2}

Answer

Bir bölü iki
Verilen ifade kosinüs fark formülünün doğrudan bir uygulamasıdır. Formüle göre, cos⁡(70∘)cos⁡(10∘)+sin⁡(70∘)sin⁡(10∘)=cos⁡(70∘−10∘)=cos⁡(60∘)\cos(70^\circ)\cos(10^\circ) + \sin(70^\circ)\sin(10^\circ) = \cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos(60^\circ) olur. cos⁡(60∘)\cos(60^\circ) değeri ise bir bölü ikiye eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin yapısını inceleyerek uygun trigonometrik formülü belirlemek.
İfade cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) bi��imindedir. Bu yapı kosinüsün fark formülü olan cos⁡(a−b)\cos(a-b) ifadesinin açılımıdır.
Çarpım durumundaki kosinüs ve sinüs terimlerinin toplamı kosinüs fark formülüne işaret eder.
2
Açı değerlerini formülde yerine koyarak ifadeyi sadeleştirmek.
a=70∘a = 70^\circ ve b=10∘b = 10^\circ değerleri için ifade cos⁡(70∘−10∘)=cos⁡(60∘)\cos(70^\circ - 10^\circ) = \cos(60^\circ) şeklini alır.
Toplam-fark formülü yardımıyla iki ayrı açının trigonometrik çarpımları tek bir açının trigonometrik değerine dönüştürülür.
3
Elde edilen standart açının kosinüs değerini hesaplamak.
cos⁡(60∘)=12\cos(60^\circ) = \frac{1}{2} sonucuna ulaşılır.
60∘60^\circ açısının kosinüs değeri trigonometride bilinen temel bir değerdir.

Key Concept

Kosinüs fark formülü
Question 16Question →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
2(sin⁡(3x)cos⁡3x+cos⁡(3x)sin⁡3x)3(cos⁡4x−sin⁡4x)\frac{2\left(\sin(3x)\cos^3 x + \cos(3x)\sin^3 x\right)}{3\left(\cos^4 x - \sin^4 x\right)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?
Show answer & explanation

Answer: sin(2x); \sin(2x); sin2x; \sin2x; sin(2*x); \sin(2*x)

Answer

sin⁡(2x)\sin(2x)
Verilen ifade toplam-fark ve iki kat açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde pay kısmı 3sin⁡(2x)cos⁡(2x)3\sin(2x)\cos(2x) değerine, payda kısmı ise iki kare farkı açılımından 3cos⁡(2x)3\cos(2x) değerine eşit olur. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡(2x)\sin(2x) sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeyi düzenlemek için cos⁡3x=cos⁡x⋅cos⁡2x\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x ve sin⁡3x=sin⁡x⋅sin⁡2x\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x özdeşliklerini yazalım.
Pay: 2(sin⁡(3x)cos⁡x⋅cos⁡2x+cos⁡(3x)sin⁡x⋅sin⁡2x)2\left(\sin(3x)\cos x \cdot \cos^2 x + \cos(3x)\sin x \cdot \sin^2 x\right)
İfadeyi toplam-fark ve yarım açı formüllerini uygulayabileceğimiz bir formata dönüştürmek.
2
cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2} ve sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2\sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2} yarım açı formüllerini paydaki ifadede yerine yazalım.
Pay: 2(sin⁡(3x)cos⁡x(1+cos⁡(2x)2)+cos⁡(3x)sin⁡x(1−cos⁡(2x)2))2\left(\sin(3x)\cos x \left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right) + \cos(3x)\sin x \left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)\right)
Dereceleri düşürerek toplam-fark formüllerini uygulayacak terimler elde etmek.
3
Dışarıdaki 22 katsayısını dağıtarak paydadaki 22 değerlerini sadeleştirelim ve ifadeyi açalım.
Pay: (sin⁡(3x)cos⁡x+cos⁡(3x)sin⁡x)+cos⁡(2x)(sin⁡(3x)cos⁡x−cos⁡(3x)sin⁡x)\left(\sin(3x)\cos x + \cos(3x)\sin x\right) + \cos(2x)\left(\sin(3x)\cos x - \cos(3x)\sin x\right)
İfadeyi gruplandırarak toplam ve fark formüllerine uygun hale getirmek.
4
Sinüs toplam ve fark formüllerini (sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b) uygulayalım.
Pay: sin⁡(3x+x)+cos⁡(2x)sin⁡(3x−x)=sin⁡(4x)+sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(3x+x) + \cos(2x)\sin(3x-x) = \sin(4x) + \sin(2x)\cos(2x)
Trigonometrik toplam ve fark formüllerini kullanarak açıları sadeleştirmek.
5
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine iki kat açı formülünü (sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)) uygulayalım ve payı toplayalım.
Pay: 2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+sin⁡(2x)cos⁡(2x)=3sin⁡(2x)cos⁡(2x)2\sin(2x)\cos(2x) + \sin(2x)\cos(2x) = 3\sin(2x)\cos(2x)
Pay kısmını tek bir çarpım ifadesi halinde yazmak.
6
Paydadaki 3(cos⁡4x−sin⁡4x)3(\cos^4 x - \sin^4 x) ifadesini iki kare farkı yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.
Payda: 3(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)3(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)
Paydadaki yüksek dereceli terimleri sadeleştirmek.
7
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ve cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) iki kat açı özdeşliklerini paydada yerine yazalım.
Payda: 3cos⁡(2x)3\cos(2x)
Paydayı en sade biçimine getirmek.
8
Bulduğumuz pay ifadesini payda ifadesine oranlayarak sadeleştirmeyi tamamlayalım.
Oran: 3sin⁡(2x)cos⁡(2x)3cos⁡(2x)=sin⁡(2x)\frac{3\sin(2x)\cos(2x)}{3\cos(2x)} = \sin(2x)
En sade sonucu elde etmek.

Key Concept

Toplam-fark formülleri, iki kat açı formülleri ve çarpanlara ayırma özdeşliklerinin bir arada kullanılarak karmaşık trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternative Method

Alternatif olarak, pay kısmında yer alan sin⁡(3x)\sin(3x) ve cos⁡(3x)\cos(3x) ifadeleri için sırasıyla sin⁡(3x)=3sin⁡x−4sin⁡3x\sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x ve cos⁡(3x)=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos(3x) = 4\cos^3 x - 3\cos x üç kat açı açılımları doğrudan yerine yazılabilir. Bu durumda pay:
2((3sin⁡x−4sin⁡3x)cos⁡3x+(4cos⁡3x−3cos⁡x)sin⁡3x)2\left((3\sin x - 4\sin^3 x)\cos^3 x + (4\cos^3 x - 3\cos x)\sin^3 x\right)
=2(3sin⁡xcos⁡3x−4sin⁡3xcos⁡3x+4cos⁡3xsin⁡3x−3sin⁡3xcos⁡x)= 2\left(3\sin x\cos^3 x - 4\sin^3 x\cos^3 x + 4\cos^3 x\sin^3 x - 3\sin^3 x\cos x\right)
=6sin⁡xcos⁡3x−6sin⁡3xcos⁡x= 6\sin x\cos^3 x - 6\sin^3 x\cos x
=6sin⁡xcos⁡x(cos⁡2x−sin⁡2x)= 6\sin x\cos x(\cos^2 x - \sin^2 x)
=3sin⁡(2x)cos⁡(2x)= 3\sin(2x)\cos(2x)
olarak çok daha hızlı bir şekilde sadeleşir. Payda ise 3cos⁡(2x)3\cos(2x) olduğundan oran doğrudan sin⁡(2x)\sin(2x) bulunur.
Estimated Time:3m 0s
Question 17Question →
Tanımlı olduğu xx değerleri için,
cos⁡(3x)⋅cos⁡(2x)+sin⁡(3x)⋅sin⁡(2x)sin⁡(3x)⋅cos⁡(2x)−cos⁡(3x)⋅sin⁡(2x)\frac{\cos(3x) \cdot \cos(2x) + \sin(3x) \cdot \sin(2x)}{\sin(3x) \cdot \cos(2x) - \cos(3x) \cdot \sin(2x)}
ifadesinin en sade şekli nedir?
Show answer & explanation

Answer: \cot(x); cot(x); cot x; \cot x

Answer

İfadenin en sade şekli cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin payı cos⁡(3x)cos⁡(2x)+sin⁡(3x)sin⁡(2x)\cos(3x)\cos(2x) + \sin(3x)\sin(2x) kosinüsün fark formülü açılımıdır ve cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x-2x) = \cos(x) değerine eşittir. Paydası ise sin⁡(3x)cos⁡(2x)−cos⁡(3x)sin⁡(2x)\sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) sinüsün fark formülü açılımıdır ve sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x-2x) = \sin(x) değerine eşittir. Bu iki ifadenin birbirine oranı cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} olup kotanjant tanımı gereği cot⁡(x)\cot(x) ifadesini verir.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki ifadeye kosinüs fark formülünü uygulayınız.
cos⁡(3x−2x)=cos⁡(x)\cos(3x - 2x) = \cos(x) elde edilir.
cos⁡(A)cos⁡(B)+sin⁡(A)sin⁡(B)=cos⁡(A−B)\cos(A)\cos(B) + \sin(A)\sin(B) = \cos(A-B) toplam-fark özdeşliği kullanılır.
2
Payda kısmındaki ifadeye sinüs fark formülünü uygulayınız.
sin⁡(3x−2x)=sin⁡(x)\sin(3x - 2x) = \sin(x) elde edilir.
sin⁡(A)cos⁡(B)−cos⁡(A)sin⁡(B)=sin⁡(A−B)\sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B) = \sin(A-B) toplam-fark özdeşliği kullan��lır.
3
Elde edilen pay ve payda ifadelerini birbirine oranlayarak sadeleştiriniz.
cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.
Kosinüs fonksiyonunun sinüs fonksiyonuna oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Key Concept

Toplam ve Fark Formülleri
Question 18Question →
tan⁡a\tan a ve tan⁡b\tan b sayıları,
3x2−5x+1=03x^2 - 5x + 1 = 0
denkleminin kökleridir.
Buna göre,
sin⁡2(a+b)−5sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)+3cos⁡2(a+b)\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)
ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −1329-\frac{13}{29}

Answer

İfadenin değeri −1329-\frac{13}{29} olarak bulunur.
Soruda verilen ikinci dereceden denklemden kökler toplamı tan⁡a+tan⁡b=5/3\tan a + \tan b = 5/3 ve kökler çarpımı tan⁡a⋅tan⁡b=1/3\tan a \cdot \tan b = 1/3 olarak elde edilir. Buradan toplam formülü kullanılarak tan⁡(a+b)=5/2\tan(a+b) = 5/2 bulunur. İstenen ikinci dereceden homojen ifade sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=1\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1 özdeşliğine bölünerek tan⁡(a+b)\tan(a+b) cinsinden rasyonel bir fonksiyona dönüştürülür ve değer yerine yazıldığında −1329-\frac{13}{29} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini belirleme.
tan⁡a+tan⁡b=53\tan a + \tan b = \frac{5}{3} ve tan⁡a⋅tan⁡b=13\tan a \cdot \tan b = \frac{1}{3}
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminin kökler toplamı −b/a-b/a, kökler çarpımı ise c/ac/a formülü ile bulunur.
2
Toplam formülünü kullanarak tan⁡(a+b)\tan(a+b) değerini hesaplama.
tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡a⋅tan⁡b=5/31−1/3=52\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{5/3}{1 - 1/3} = \frac{5}{2}
İki açının toplamının tanjant formülü uygulanır.
3
İstenen ifadeyi tan⁡(a+b)\tan(a+b) cinsinden ifade etme.
sin⁡2(a+b)−5sin⁡(a+b)cos⁡(a+b)+3cos⁡2(a+b)sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=tan⁡2(a+b)−5tan⁡(a+b)+3tan⁡2(a+b)+1\frac{\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)}{\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b)} = \frac{\tan^2(a+b) - 5\tan(a+b) + 3}{\tan^2(a+b) + 1}
İfadeyi sin⁡2(a+b)+cos⁡2(a+b)=1\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1 ile bölüp, pay ve paydayı cos⁡2(a+b)\cos^2(a+b) ile sadeleştirerek tanjant cinsinden yazabiliriz.
4
tan⁡(a+b)=52\tan(a+b) = \frac{5}{2} değerini yerine yazarak sonucu bulma.
(5/2)2−5(5/2)+3(5/2)2+1=−1329\frac{(5/2)^2 - 5(5/2) + 3}{(5/2)^2 + 1} = -\frac{13}{29}
Elde edilen rasyonel ifadedeki değişken yerine bulduğumuz tanjant değeri yazılır ve gerekli işlemler yapılır.

Key Concept

Toplam formülleri ile kök ve katsayı ilişkilerinin bir arada kullanılması ve homojen trigonometrik ifadelerin tanjant cinsinden yazılması.
Question 19Question →
tan⁡(55∘)−tan⁡(10∘)1+tan⁡(55∘)⋅tan⁡(10∘)\frac{\tan(55^\circ) - \tan(10^\circ)}{1 + \tan(55^\circ) \cdot \tan(10^\circ)}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Show answer & explanation

Answer: 11

Answer

11 değeri doğru cevaptır.
Verilen ifade tanjant fark formülünün açılımıdır. Formül uygulandığında tan⁡(55∘−10∘)=tan⁡(45∘)\tan(55^\circ - 10^\circ) = \tan(45^\circ) elde edilir. 4545 derecelik açının tanjantı 11 olduğundan doğru cevap 11 olur.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant fark formülünü yazalım.
tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α⋅tan⁡β\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta}
Soruda verilen ifadenin yapısı iki açının farkının tanjantı formülü ile aynıdır.
2
İfadede α=55∘\alpha = 55^\circ ve β=10∘\beta = 10^\circ değerlerini yerleştirelim.
tan⁡(55∘)−tan⁡(10∘)1+tan⁡(55∘)⋅tan⁡(10∘)=tan⁡(55∘−10∘)\frac{\tan(55^\circ) - \tan(10^\circ)}{1 + \tan(55^\circ) \cdot \tan(10^\circ)} = \tan(55^\circ - 10^\circ)
Formülü sadeleştirilmiş biçimde yazarak işlemi kolaylaştırmak.
3
Açıların farkını alalım.
tan⁡(45∘)\tan(45^\circ)
55∘−10∘=45∘55^\circ - 10^\circ = 45^\circ olduğundan dolayı.
4
Trigonometrik değeri hesaplayalım.
11
45∘45^\circ açısının tanjant değeri 11 olduğu için.

Key Concept

Tanjant fark formülü
Estimated Time:1m 0s
Question 20Question →

Bir ABCABC dar açılı üçgeninde tan⁡(A^)\tan(\widehat{A}), tan⁡(B^)\tan(\widehat{B}) ve tan⁡(C^)\tan(\widehat{C}) değerleri sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır. Buna göre, cot⁡(C^−A^)\cot(\widehat{C} - \widehat{A}) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Ardışık pozitif tam sayı tanjant değerlerine sahip dar açılı üçgenin açıları için tan⁡A=1\tan A = 1, tan⁡B=2\tan B = 2 ve tan⁡C=3\tan C = 3 bulunur. Buradan fark formülüyle hesaplanan tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 değerinin çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.
Üçgenin iç açılarının toplamı 180∘180^\circ olduğundan tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C bağıntısı sağlanır. Bu bağıntıyı sağlayan ardışık pozitif tam sayılar 1,2,31, 2, 3 olarak belirlenir. Buradan fark formülü yardımıyla tan⁡(C−A)=1/2\tan(C-A) = 1/2 hesaplanır ve çarpmaya göre tersi alınarak cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Üçgenin iç açılarının tanjantları arasındaki bağıntıyı kurma
tan⁡A+tan⁡B+tan⁡C=tan⁡A⋅tan⁡B⋅tan⁡C\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C
A+B+C=πA+B+C = \pi olduğundan tan⁡(A+B)=−tan⁡C\tan(A+B) = -\tan C eşitliği açıldığında bu temel özdeşlik elde edilir.
2
Ardışık pozitif tam sayı kabulüyle denklem oluşturma
3(x+1)=x(x+1)(x+2)3(x+1) = x(x+1)(x+2)
tan⁡A=x\tan A = x, tan⁡B=x+1\tan B = x+1 ve tan⁡C=x+2\tan C = x+2 değerleri toplam ve çarpım bağıntısında yerine yazılır.
3
Denklemi çözerek tanjant değerlerini belirleme
tan⁡A=1\tan A = 1 ve tan⁡C=3\tan C = 3
x+1x+1 terimleri sadeleştirildiğinde x2+2x−3=0x^2+2x-3=0 elde edilir; pozitif kök x=1x=1 olup sırasıyla tanjant değerleri 1,2,31, 2, 3 bulunur.
4
Tanjant fark formülünü uygulama
tan⁡(C−A)=12\tan(C-A) = \frac{1}{2}
tan⁡(C−A)=tan⁡C−tan⁡A1+tan⁡C⋅tan⁡A=3−11+3⋅1\tan(C-A) = \frac{\tan C - \tan A}{1 + \tan C \cdot \tan A} = \frac{3-1}{1+3 \cdot 1} formülüyle fark açısının tanjantı hesaplanır.
5
Kotanjant değerine geçiş yapma
cot⁡(C−A)=2\cot(C-A) = 2
cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} ilişkisi kullanılarak tanjant değerinin çarpmaya göre tersi alınır.

Key Concept

Üçgenin iç açılarının trigonometrik oranları arasındaki ilişkiler ve toplam-fark formülleri
Page 1 / 4Next