Examkin

Question

Difficulty: HardBinom Açılımı
aa bir gerçel sayı ve nn bir pozitif çift tam sayı olmak üzere,
(x2−ax)n\left(x^2 - \frac{a}{x}\right)^n
ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı 11 ve sabit terim 240240'tır.

Buna göre, bu açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı kaçtır?

Answer: -160

Answer

Açılımdaki x3x^3 lü terimin katsayısı −160-160 olur.
Katsayılar toplamı bağıntısı kullanılarak a=2a = 2 değeri saptanır. Ardından sabit terimin 240240 olması koşulundan n=6n = 6 ve r=4r = 4 değerlerine ulaşılır. Son adımda x3x^3 lü terimi veren r=3r = 3 değeri genel terim formülünde yerine yazılarak aranan katsayı −160-160 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Katsayılar toplamı formülünü uygulamak ve aa değerini belirlemek.
a=2a = 2 (çünkü a=0a = 0 durumunda sabit terim sıfır olurdu).
Katsayılar toplamı için x=1x = 1 yazılarak (1−a)n=1(1-a)^n = 1 eşitliği elde edilir. nn çift olduğundan 1−a=±11-a = \pm 1 denklemi çözülür.
2
Genel terim formülünü yazarak değişkenin kuvvetini düzenlemek.
Genel terim: (nr)(−2)rx2n−3r\binom{n}{r} (-2)^r x^{2n - 3r} olarak bulunur.
Binom açılımının genel terim formülü uygulanarak üslü ifadeler sadeleştirilir.
3
Sabit terim bilgisini kullanarak nn ve rr değerlerini bulmak.
n=6n = 6 ve r=4r = 4 olarak elde edilir.
Sabit terim için 2n−3r=02n - 3r = 0 olmalıdır. nn çift olduğundan 66'nın katı olması gerektiği tespit edilir ve deneme yoluyla n=6n=6 için sabit terimin 240240 olduğu doğrulanır.
4
x3x^3 lü terimin katsayısını hesaplamak.
Katsayı −160-160 olarak hesaplanır.
2n−3r=32n - 3r = 3 eşitliğinde n=6n=6 yazıldığında r=3r=3 bulunur. Genel terimde r=3r=3 konularak katsayı değeri elde edilir.

Key Concept

Binom Açılımında Katsayılar Toplamı, Sabit Terim ve Belirli bir Terimin Katsayısını Bulma
Rate this question

Topics

Binom Açılımı

More questions from this topic