Examkin

Question

Difficulty: MediumToplam ve Fark Formülleri
xx bir dar açı olmak üzere,
cos⁡(x−60∘)=2sin⁡(x−30∘)\cos(x - 60^\circ) = 2\sin(x - 30^\circ)
denklemini sağlayan xx açısı kaç derecedir?

Answer: 60 derece

Answer

Denklemi sağlayan dar açı 60 derecedir.
Verilen denklemde kosinüs ve sinüs fark formülleri uygulanıp benzer terimler gruplandırıldığında tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3} eşitliği elde edilir. Bu eşitliği sağlayan dar açı 60 derecedir.

Step-by-Step Solution

1
Sol taraftaki terimi kosinüs fark formülü yardımıyla açmak.
cos⁡(x−60∘)=12cos⁡x+32sin⁡x\cos(x - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Kosinüs fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡60∘=1/2\cos 60^\circ = 1/2, sin⁡60∘=3/2\sin 60^\circ = \sqrt{3}/2) yerine yazılmıştır.
2
Sağ taraftaki terimi sinüs fark formülü yardımıyla açmak.
sin⁡(x−30∘)=32sin⁡x−12cos⁡x\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x
Sinüs fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b şeklindedir ve bilinen özel açı değerleri (cos⁡30∘=3/2\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2, sin⁡30∘=1/2\sin 30^\circ = 1/2) yerine yazılmıştır.
3
Elde edilen açılımları denklemde yerine koyup denklemi düzenlemek.
32cos⁡x=32sin⁡x\frac{3}{2}\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
Açılımlar denklemde yerine yazılıp benzer terimler bir araya toplandığında denklem sadeleşir.
4
tan⁡x\tan x değerini hesaplamak.
tan⁡x=3\tan x = \sqrt{3}
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanımından yararlanarak sadeleşen denklemin her iki tarafı düzenlenir.
5
Dar açı tanımına uygun çözümü belirlemek.
x=60∘x = 60^\circ
0∘<x<90∘0^\circ < x < 90^\circ aralığında tanjantı 3\sqrt{3} olan tek açı 60∘60^\circ derecedir.

Key Concept

Toplam ve fark formülleri kullanılarak trigonometrik denklemlerin çözülmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Toplam ve Fark Formülleri

More questions from this topic