Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff üstel fonksiyonu, her xx ve yy gerçel sayıları için
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x + y) = f(x) \cdot f(y)
eşitliğini sağlamaktadır.
f(x+3)−f(x+2)−12f(x+1)=0f(x + 3) - f(x + 2) - 12f(x + 1) = 0

olduğuna göre, f(52)f\left(\frac{5}{2}\right) değeri kaçtır?

Answer: 32

Answer

İstenen değer 32 olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun tanımı gereği tabanı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır. Verilen fonksiyon denklemi çözüldüğünde tabanın a=4a = 4 olduğu görülür. Buradan f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonu elde edilir ve f(5/2)=45/2=32f(5/2) = 4^{5/2} = 32 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Üstel fonksiyonun genel formunu yazma
f(x)=axf(x) = a^x (a>0a > 0, a≠1a \neq 1)
f(x+y)=f(x)⋅f(y)f(x+y) = f(x) \cdot f(y) bağıntısı ve üstel fonksiyon tanımı gereği fonksiyon f(x)=axf(x) = a^x biçimindedir.
2
Denklemde fonksiyonları yerine koyma
ax+3−ax+2−12ax+1=0a^{x+3} - a^{x+2} - 12a^{x+1} = 0
Verilen fonksiyonel denklemde f(x)=axf(x) = a^x kuralını uygulamak için.
3
Denklemi ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme
a2−a−12=0a^2 - a - 12 = 0
ax+1⋅(a2−a−12)=0a^{x+1} \cdot (a^2 - a - 12) = 0 ifadesinde ax+1>0a^{x+1} > 0 olduğu için bu terim sadeleştirilebilir.
4
Kökleri bulma ve taban şartını uygulama
a=4a = 4
(a−4)(a+3)=0(a-4)(a+3) = 0 denkleminden a=4a = 4 ve a=−3a = -3 gelir. Üstel fonksiyon tabanı pozitif (a>0a > 0) olmalıdır.
5
İstenen fonksiyon değerini hesaplama
f(52)=32f\left(\frac{5}{2}\right) = 32
f(x)=4xf(x) = 4^x fonksiyonunda xx yerine 52\frac{5}{2} yazarak sonucu bulmak için.

Key Concept

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif ve 1'den farklı olma zorunluluğu.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

More questions from this topic