Examkin

Question

Difficulty: MediumToplam ve Fark Formülleri
Tanımlı olduğu xx değerleri için
cos⁡(x−45∘)−sin⁡(x−45∘)cos⁡(x−45∘)+sin⁡(x−45∘)\frac{\cos(x - 45^\circ) - \sin(x - 45^\circ)}{\cos(x - 45^\circ) + \sin(x - 45^\circ)}
ifadesinin en sade eşiti nedir?

Answer: \cot(x) / cot(x) / \cot x / cot x / cotx

Answer

İfadenin en sade eşiti cot⁡(x)\cot(x) olarak bulunur.
Toplam ve fark formülleri yardımıyla pay kısmındaki ifade 2cos⁡(x)\sqrt{2}\cos(x) ve payda kısmındaki ifade 2sin⁡(x)\sqrt{2}\sin(x) şeklinde sadeleşir. Bu iki değer birbirine oranlandığında cos⁡(x)sin⁡(x)=cot⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüsün fark formülü cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b ve sinüsün fark formülü sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b ifadelerini kullanarak pay ve paydadaki terimleri açalım.
cos⁡(x−45∘)=cos⁡xcos⁡45∘+sin⁡xsin⁡45∘\cos(x - 45^\circ) = \cos x \cos 45^\circ + \sin x \sin 45^\circ ve sin⁡(x−45∘)=sin⁡xcos⁡45∘−cos⁡xsin⁡45∘\sin(x - 45^\circ) = \sin x \cos 45^\circ - \cos x \sin 45^\circ elde edilir.
Toplam ve fark formüllerini uygulamak için.
2
cos⁡45∘=sin⁡45∘=22\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} değerlerini yerlerine yazarak ifadeleri düzenleyelim.
cos⁡(x−45∘)=22(cos⁡x+sin⁡x)\cos(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x) ve sin⁡(x−45∘)=22(sin⁡x−cos⁡x)\sin(x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x - \cos x) olur.
45∘45^\circ açısının bilinen trigonometrik değerlerini kullanmak için.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri ana kesirde yerlerine koyup sadeleştirelim.
Pay: 22[(cos⁡x+sin⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)]=2cos⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) - (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\cos x
Payda: 22[(cos⁡x+sin⁡x)+(sin⁡x−cos⁡x)]=2sin⁡x\frac{\sqrt{2}}{2} [(\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x)] = \sqrt{2}\sin x bulunur.
Kesirli ifadenin pay ve paydasını ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmek için.
4
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak en sade biçime ulaşalım.
2cos⁡x2sin⁡x=cos⁡xsin⁡x=cot⁡x\frac{\sqrt{2}\cos x}{\sqrt{2}\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x elde edilir.
Kosinüsün sinüse oranı kotanjant fonksiyonunu tanımlar.

Key Concept

Sinüs ve kosinüs fark formüllerini kullanarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi.

Alternative Method

İfadeyi daha hızlı çözmek için x−45∘=θx - 45^\circ = \theta dönüşümü yapılabilir. Bu durumda kesir cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ\frac{\cos\theta - \sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta} halini alır. Pay ve payda cos⁡θ\cos\theta ile bölünürse, 1−tan⁡θ1+tan⁡θ\frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} elde edilir. tan⁡45∘=1\tan 45^\circ = 1 olduğundan bu ifade tan⁡45∘−tan⁡θ1+tan⁡45∘tan⁡θ=tan⁡(45∘−θ)\frac{\tan 45^\circ - \tan\theta}{1 + \tan 45^\circ \tan\theta} = \tan(45^\circ - \theta) fark formülüne eşittir. θ=x−45∘\theta = x - 45^\circ yerine yazıldığında tan⁡(45∘−(x−45∘))=tan⁡(90∘−x)=cot⁡x\tan(45^\circ - (x - 45^\circ)) = \tan(90^\circ - x) = \cot x elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Toplam ve Fark Formülleri

More questions from this topic