Sürtünmesiz bir ortamda, düşey kesiti verilen düşey düzlemde küçük açılarla K-N noktaları … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmesiz bir ortamda, düşey kesiti verilen düşey düzlemde küçük açılarla $K-N$ noktaları arasında basit harmonik hareket yapan bir basit sarkacın küresi denge konumu olan $O$ noktasından $v$ büyüklüğündeki hızla geçmektedir. Küre $L$ noktasından geçerken kinetik enerjisi $E_k$ , potansiyel enerjisi ise $E_p$ olmaktadır.

$L$ noktasında $E_p = 3E_k$ olduğuna göre;

I. Kürenin $L$ noktasındaki hızının büyüklüğü $\frac{v}{2}$ 'dir.
II. Küre $O$ noktasından $L$ noktasına doğru hareket ederken ivme ve hız vektörleri aynı yönlüdür.
III. $L$ noktası, sarkaç ipinin düşeyle yaptığı açının, maksimum açının tam yarısı ( $\frac{\theta_{\text{maks}}}{2}$ ) olduğu konumdur.

ifadelerinden hangileri doğrudur? (Denge konumunda potansiyel enerji sıfır kabul edilmektedir.)

Yalnız IAnswer
B
Yalnız II
C
I ve II
D
I ve III
E
II ve III

Answer

Yalnız I ifadesini içeren seçenek doğrudur.

Denge konumunda potansiyel enerji sıfır olduğundan toplam enerji maksimum kinetik enerjiye (

E

) eşittir. L noktasında potansiyel enerji kinetik enerjinin 3 katı (

E_p = 3E_k

) olduğuna göre, mekanik enerjinin korunumundan

E = E_k + E_p = 4E_k

olur. Buradan L noktasındaki kinetik enerji toplam enerjinin dörtte biri (

E_k = E/4

) bulunur. Kinetik enerji hızın karesiyle orantılı olduğundan, bu noktadaki hız denge konumundaki hızın yarısı yani

v/2

olur. Cisim denge konumundan uzaklaşırken yavaşladığı için ivme vektörü denge konumuna doğru, hız vektörü ise hareket yönündedir; dolayısıyla zıt yönlüdürler. Küçük açılarda potansiyel enerji açının karesiyle orantılı olduğundan, potansiyel enerjinin

3/4

olduğu konumdaki açı maksimum açının

\frac{\sqrt{3}}{2}

katıdır, yarısı değildir. Sonuç olarak yalnızca birinci ifade doğrudur.

Step-by-Step Solution

Mekanik enerjinin korunumu yasasını kullanarak L noktasındaki kinetik enerjiyi belirleme.

Denge konumundaki (O noktası) potansiyel enerji sıfır kabul edildiğinden, sistemin toplam mekanik enerjisi maksimum kinetik enerjiye eşittir:

E_{\text{toplam}} = E_{\text{k,maks}} = \frac{1}{2}mv^2

. L noktasında

E_p = 3E_k

olduğu verilmiştir. Mekanik enerjinin korunumundan;

E_{\text{toplam}} = E_k + E_p \Rightarrow E_{\text{toplam}} = E_k + 3E_k = 4E_k

olur. Buradan L noktasındaki kinetik enerji, toplam enerjinin dörtte biri olarak bulunur:

E_k = \frac{E_{\text{toplam}}}{4} = \frac{1}{8}mv^2

Sürtünmesiz ortamda toplam mekanik enerji korunur ve hareketin her anında kinetik ile potansiyel enerjilerin toplamına eşittir.

L noktasındaki hız büyüklüğünü (

v_L

) hesaplama ve I. öncülü değerlendirme.

E_k = \frac{1}{2}mv_L^2 = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}mv^2\right)

eşitliğinden

v_L^2 = \frac{v^2}{4} \Rightarrow v_L = \frac{v}{2}

elde edilir. Bu nedenle I. öncül doğrudur.

Kinetik enerji hızın karesiyle doğru orantılıdır.

O noktasından L noktasına gidiş sürecinde ivme ve hız vektörlerinin yönlerini belirleme ve II. öncülü değerlendirme.

Cisim O noktasından L noktasına doğru hareket ederken denge konumundan uzaklaşmaktadır. Denge konumundan uzaklaşan cisim yavaşlayan hareket yapar. Yavaşlayan harekette hız vektörü (hareket yönü olan O'dan L'ye doğru) ile geri çağırıcı kuvvet ve ivme vektörü (her zaman denge konumu olan O noktasına doğru) zıt yönlüdür. Dolayısıyla II. öncül yanlıştır.

Basit harmonik harekette geri çağırıcı ivme her zaman denge konumuna yönelik olup, yavaşlayan harekette hız ile zıt işaretlidir.

Küçük açılarda açısal uzanım ile potansiyel enerji ilişkisini analiz etme ve III. öncülü değerlendirme.

Basit sarkacın küçük açılardaki salınımında potansiyel enerji, düşeyle yapılan açının karesiyle orantılıdır:

E_p(\theta) = E_{\text{maks}} \sin^2(\theta) \approx E_{\text{maks}} \left(\frac{\theta}{\theta_{\text{maks}}}\right)^2

. L noktasında potansiyel enerji toplam enerjinin

\frac{3}{4}

'ü olduğuna göre;

E_p = \frac{3}{4}E_{\text{maks}} \Rightarrow \left(\frac{\theta_L}{\theta_{\text{maks}}}\right)^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow \theta_L = \frac{\sqrt{3}}{2}\theta_{\text{maks}}

bulunur. Bu değer maksimum açının yarısı olan

0,5\theta_{\text{maks}}

değerine eşit değildir. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Basit harmonik harekette potansiyel enerjinin konumun (veya açının) karesiyle değiştiğini doğrulamak.

Key Concept

Basit harmonik harekette mekanik enerjinin korunumu, hızın konuma bağlı karesel ilişkisi ve geri çağırıcı ivmenin yönü.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic