Examkin

Question

Difficulty: MediumBasit Harmonik Harekette Enerji Dönüşümleri

Sürtünmesiz bir ortamda küçük açılarla basit harmonik hareket yapan bir basit sarkacın maksimum kinetik enerjisi EE kadardır. Sarkacın boyu ve kütlesi değiştirilmeden salınım genliği iki katına çıkarılıyor. Buna göre, sarkacın denge konumundan yeni genlik değerinin yarısı kadar uzakta olduğu andaki kinetik enerjisi kaç EE olur?

Answer: 3 E

Answer

Sarkacın belirtilen konumdaki kinetik enerjisi 3E3E olur.
Sürtünmesiz ortamda hareket eden basit sarkacın toplam enerjisi genliğin karesiyle orantılı olduğundan, genlik iki katına çıkarıldığında toplam enerji 4E4E olur. Yeni genliğin yarısı kadar olan uzanımda (x=Ax = A) potansiyel enerji EE kadar olacağından, enerjinin korunumu gereği kinetik enerji 4E−E=3E4E - E = 3E olur.

Step-by-Step Solution

1
Sarkacın ilk durumdaki toplam mekanik enerjisini başlangıç genliği AA cinsinden ifade edin.
ET1=E=12mω2A2E_{T1} = E = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2
Sürtünmesiz ortamda sarkaç denge konumundan geçerken potansiyel enerjisi sıfır kabul edilir ve tüm enerjisi kinetik enerjidir. Dolayısıyla maksimum kinetik enerji toplam mekanik enerjiye eşittir.
2
Sarkacın salınım genliği iki katına çıkarıldığında (A2=2AA_2 = 2A) yeni toplam mekanik enerjiyi hesaplayın.
ET2=12mω2(2A)2=4⋅(12mω2A2)=4EE_{T2} = \frac{1}{2}m\omega^2 (2A)^2 = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\right) = 4E
Sarkacın boyu ve yer��ekimi ivmesi değişmediği için açısal frekansı (ω=g/L\omega = \sqrt{g/L}) değişmez. Toplam enerji genliğin karesiyle doğru orantılıdır.
3
Yeni genliğin yarısı kadar uzanımdaki (x=A22=Ax = \frac{A_2}{2} = A) potansiyel enerjiyi hesaplayın.
Ep=12mω2x2=12mω2A2=EE_p = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = E
Basit harmonik harekette herhangi bir anda potansiyel enerji, denge konumundan olan uzanımın karesiyle doğru orantılıdır.
4
Mekanik enerjinin korunumunu kullanarak bu andaki kinetik enerjiyi bulun.
Ek=ET2−Ep=4E−E=3EE_k = E_{T2} - E_p = 4E - E = 3E
Sürtünmesiz ortamda mekanik enerji korunur. Herhangi bir andaki kinetik enerji, toplam mekanik enerjiden o andaki potansiyel enerjinin çıkarılmasıyla bulunur.

Key Concept

Basit harmonik harekette toplam mekanik enerji genliğin karesiyle, potansiyel enerji ise uzanımın karesiyle doğru orantılıdır. Sürtünmesiz sistemlerde toplam mekanik enerji korunur.

Alternative Method

Sistemi bir yay sarkacı modeli gibi düşünerek de çözebiliriz. Basit harmonik hareket yapan tüm sistemlerde enerji dönüşümleri aynı matematiksel formüllere tabidir. Yay sabiti kk olan bir yay sarkacında toplam enerji ET=12kA2E_T = \frac{1}{2}kA^2 ile verilir. Genlik 2A2A yapıldığında toplam enerji 44 katına çıkarak 4E4E olur. x=Ax = A uzanımında yayda depolanan potansiyel enerji Ep=12kA2=EE_p = \frac{1}{2}kA^2 = E olur. Buradan kinetik enerji yine 4E−E=3E4E - E = 3E olarak kolayca bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Basit Harmonik Harekette Enerji Dönüşümleri

More questions from this topic