Examkin

Question

Difficulty: Very hardToplam ve Fark Formülleri

Dik koordinat düzleminde, y=2xy = 2x ve y=3xy = 3x doğrularının y=mxy = mx doğrusu ile yaptığı dar açılar birbirine eşittir. Buna göre, mm’nin alabileceği farklı gerçek sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. 2Answer
  2. B
    1
  3. C
    -1
  4. D
    145\frac{14}{5}
  5. E
    3

Answer

m'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı 2'dir.
Verilen iki doğrunun arasındaki dar açıların eşitliği, doğruların eğimleri farkının çarpımlarına oranının mutlak değerce eşit olmasını gerektirir. Buradan elde edilen mutlak değerli denklem çözüldüğünde m2−2m−1=0m^2 - 2m - 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı −ba=2-\frac{b}{a} = 2 olur.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların eğimleri arasındaki ilişkiyi tanjant fark formülü yardımıyla yazalım.
y=mxy=mx doğrusunun y=2xy=2x ve y=3xy=3x doğruları ile yaptığı dar açılar sırasıyla α\alpha ve β\beta olsun. İki doğru arasındaki dar açının tanjantı tan⁡θ=∣m1−m21+m1m2∣\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| formülüyle hesaplanır. Buradan tan⁡α=∣m−21+2m∣\tan\alpha = \left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| ve tan⁡β=∣3−m1+3m∣\tan\beta = \left|\frac{3 - m}{1 + 3m}\right| elde edilir.
Dar açılar eşit olduğundan bu iki tanjant değeri birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliği sağlayan mutlak değerli denklemi kuralım ve birinci durumu çözelim.
∣m−21+2m∣=∣3−m1+3m∣\left|\frac{m - 2}{1 + 2m}\right| = \left|\frac{3 - m}{1 + 3m}\right| eşitliğinden iki durum ortaya çıkar. İlk durum: m−21+2m=3−m1+3m\frac{m - 2}{1 + 2m} = \frac{3 - m}{1 + 3m} dir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında: (m−2)(1+3m)=(3−m)(1+2m)⇒3m2−5m−2=−2m2+5m+3⇒5m2−10m−5=0⇒m2−2m−1=0(m - 2)(1 + 3m) = (3 - m)(1 + 2m) \Rightarrow 3m^2 - 5m - 2 = -2m^2 + 5m + 3 \Rightarrow 5m^2 - 10m - 5 = 0 \Rightarrow m^2 - 2m - 1 = 0 elde edilir.
Mutlak değerli ifadelerin doğrudan eşit oldu��u durumu incelemek için.
3
İkinci durumu yazalım ve çözelim.
İkinci durum: m−21+2m=−3−m1+3m=m−31+3m\frac{m - 2}{1 + 2m} = -\frac{3 - m}{1 + 3m} = \frac{m - 3}{1 + 3m} dir. İçler dışlar çarpımı yapıldığında: (m−2)(1+3m)=(m−3)(1+2m)⇒3m2−5m−2=2m2−5m−3⇒m2=−1(m - 2)(1 + 3m) = (m - 3)(1 + 2m) \Rightarrow 3m^2 - 5m - 2 = 2m^2 - 5m - 3 \Rightarrow m^2 = -1 elde edilir. Bu denklemin gerçek sayılarda kökü yoktur.
Mutlak değerli ifadelerin ters işaretli eşit olduğu durumu incelemek için.
4
Gerçek sayılardaki mm değerlerinin toplamını bulalım.
Elde ettiğimiz tek geçerli denklem m2−2m−1=0m^2 - 2m - 1 = 0 olup, diskriminantı Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olduğundan iki farklı gerçek kökü vardır. Bu köklerin toplamı, ikinci derece denklem katsayıları ilişkisinden (kökler toplamı formülü −ba-\frac{b}{a}) veya kökleri doğrudan bularak (m=1±2m = 1 \pm \sqrt{2}) hesaplandığında (1+2)+(1−2)=2(1 + \sqrt{2}) + (1 - \sqrt{2}) = 2 olarak bulunur.
mm değerlerinin toplamını bulmak için kökler toplamı özelliğini kullanırız.

Key Concept

İki doğru arasındaki açının tanjantı, toplam-fark formülleri yardımıyla tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{\tan\theta_1 - \tan\theta_2}{1 + \tan\theta_1\tan\theta_2} şeklinde ifade edilir ve yön bağımsızlığı için mutlak değer kullanılır.
Rate this question

Topics

Toplam ve Fark Formülleri

More questions from this topic