Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki K noktasından eğik ola… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Hava direncinin ihmal edildiği bir ortamda, yatay düzlem üzerindeki K noktasından eğik olarak fırlatılan bir cisim L noktasına düşüyor. Cismin yörüngesinin tepe noktasındaki (maksimum yükseklikteki) hızının büyüklüğü $v$ , yere çarptığı andaki hızının büyüklüğü ise $\sqrt{5}v$ ’dir. Buna göre, cismin menzili olan yatay $x$ uzaklığının, çıkabildiği maksimum yükseklik olan $h_{\text{maks}}$ değerine oranı ( $\frac{x}{h_{\text{maks}}}$ ) kaçtır?

A
1
B
3
2Answer
D
4
E
8

Answer

Cismin menzilinin maksimum yüksekliğine oranı 2'dir.

Cismin tepe noktasında yalnızca yatay hız bileşeni (

v_x = v

) bulunur. Yere çarptığı andaki hızı ise yatay ve düşey hız bileşenlerinin dik bileşkesidir.

\sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5}v

bağıntısından düşey hız bileşeninin büyüklüğü

v_y = 2v

olarak bulunur. Maksimum yükseklik formülü (

h_{\text{maks}} = \frac{v_y^2}{2g}

) ve menzil formülü (

x = v_x \cdot \frac{2v_y}{g}

) kullanılarak oranlandığında sonucun 2 olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

Tepe noktasındaki ve yere çarpma anındaki hız ilişkisini kullanarak düşey hız bileşenini belirlemek.

v_{0y} = 2v

Eğik atış hareketinde yatay hız bileşeni sabittir. Tepe noktasında düşey hız sıfır olduğundan cismin hızı sadece yatay bileşenden oluşur (

v_x = v

). Cismin yere çarpma hız�� yatay ve düşey hız bileşenlerinin vektörel toplamıdır:

v_{\text{yer}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5}v

. Buradan

v^2 + v_y^2 = 5v^2 \Rightarrow v_y = 2v

bulunur.

Maksimum yükseklik (

h_{\text{maks}}

) ve havada kalma süresi (

t_{\text{uçuş}}

) ifadelerini yazmak.

h_{\text{maks}} = \frac{2v^2}{g}

t_{\text{uçuş}} = \frac{4v}{g}

Düşey hız bileşeni

v_{0y} = 2v

olan cismin çıkabileceği maksimum yükseklik

h_{\text{maks}} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{4v^2}{2g} = \frac{2v^2}{g}

olur. Tepe noktasına çıkış süresi

t_{\text{çıkış}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{2v}{g}

olup toplam uçuş süresi bunun iki kat��dır (

t_{\text{uçuş}} = \frac{4v}{g}

Cismin yatayda aldığı yolu (menzil) bulmak ve bu değerin maksimum yüksekliğe oranını hesaplamak.

\frac{x}{h_{\text{maks}}} = 2

Menzil, sabit yatay hız ile toplam uçuş süresinin çarpımıyla bulunur:

x = v_x \cdot t_{\text{uçuş}} = v \cdot \frac{4v}{g} = \frac{4v^2}{g}

. Buradan oran:

\frac{x}{h_{\text{maks}}} = \frac{\frac{4v^2}{g}}{\frac{2v^2}{g}} = 2

elde edilir.

Key Concept

Eğik atış hareketinde yatay hız bileşeninin sabitliği ve düşey doğrultudaki sabit ivmeli hareketin bağımsızlığı.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic