Examkin

Question

Difficulty: Very hardKoşullu Olasılık

Hileli bir madeni para havaya atıldığında tura gelme olasılığı 23\frac{2}{3}'tür. Bu para ile oynanan bir oyunda, her tura atışında oyuncu 11 puan kazanmakta, her yazı atışında ise 11 puan kaybetmektedir.

Oyuna 00 puanla başlayan bir oyuncunun puanı +2+2 veya −2-2 olduğunda oyun bitmektedir.

Oyunun en fazla 44 atışta bittiği bilindiğine göre, oyuncunun oyunu +2+2 puanla (kazanarak) bitirmiş olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    1327\frac{13}{27}
  3. 45\frac{4}{5}Answer
  4. D
    5281\frac{52}{81}
  5. E
    1627\frac{16}{27}

Answer

Oyuncunun oyunu kazanarak bitirmiş olma olasılığı 45\frac{4}{5}'tir.
Oyunun en fazla 4 atışta bittiği bilindiğine göre örnek uzayımız bu koşulu sağlayan durumlar ile sınırlanır. Bu durumların toplam olasılığı 6581\frac{65}{81}'dir. Bu durumlardan oyuncunun oyunu +2+2 puanla bitirdiği durumların olasılıkları toplamı ise 5281\frac{52}{81}'dir. İstenen koşullu olasılık bu iki değerin birbirine oranı olup 5265=45\frac{52}{65} = \frac{4}{5} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Oyunun en fazla 4 atışta bitmesini sağlayan tüm olası atış dizilimlerini (yolları) belirleyelim.
Oyunun bitmesi için oyuncunun puanının +2+2 veya −2-2 olması gerekir. Puan değişimi her atışta +1+1 veya −1-1 olduğundan, oyun yalnızca çift numaralı atışlarda (2. veya 4. atışta) bitebilir:
- 2. atışta +2+2 ile biten yol: TTTT
- 2. atışta −2-2 ile biten yol: YYYY
- 4. atışta +2+2 ile biten yollar: TYTTTYTT ve YTTTYTTT (İlk iki atışta oyun bitmemelidir, yani ilk iki atış TTTT veya YYYY olamaz. Bu nedenle TYTY veya YTYT ile başlayıp +2+2 ile biten yollar belirlenir.)
- 4. atışta −2-2 ile biten yollar: TYYYTYYY ve YTYYYTYY
Koşullu olasılık hesaplamasında örnek uzayı doğru şekilde daraltmak için koşulu sağlayan tüm durumları tespit etmemiz gerekir.
2
Belirlenen bu durumların gerçekleşme olasılıklarını tura gelme olasılığı P(T)=23P(T) = \frac{2}{3} ve yazı gelme olasılığı P(Y)=13P(Y) = \frac{1}{3} değerlerini kullanarak hesaplayalım.
- P(TT)=(23)2=49=3681P(TT) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} = \frac{36}{81}
- P(YY)=(13)2=19=981P(YY) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} = \frac{9}{81}
- P(TYTT)=23×13×23×23=881P(TYTT) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}
- P(YTTT)=13×23×23×23=881P(YTTT) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{81}
- P(TYYY)=23×13×13×13=281P(TYYY) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{81}
- P(YTYY)=13×23×13×13=281P(YTYY) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{81}
Her bir bağımsız atış diziliminin olasılığını bulmak için adım adım çarpma kuralı uygulanır.
3
Oyunun en fazla 4 atışta bitme olasılığını (koşul uzayının olasılığını) bu olasılıkları toplayarak bulalım.
P(Oyunun en fazla 4 atıs¸ta bitmesi)=P(TT)+P(YY)+P(TYTT)+P(YTTT)+P(TYYY)+P(YTYY)P(\text{Oyunun en fazla 4 atışta bitmesi}) = P(TT) + P(YY) + P(TYTT) + P(YTTT) + P(TYYY) + P(YTYY)
=3681+981+881+881+281+281=6581= \frac{36}{81} + \frac{9}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} + \frac{2}{81} + \frac{2}{81} = \frac{65}{81}
Koşullu olasılık formülündeki payda değerini (koşul olayının olasılığını) elde etmek için.
4
Oyunun en fazla 4 atışta bittiği durumlardan, oyuncunun oyunu +2+2 puanla (kazanarak) bitirdiği durumların olasılıkları toplamını (kesişim kümesini) hesaplayalım.
Oyunu +2+2 puanla bitiren yollar TTTT, TYTTTYTT ve YTTTYTTT durumlarıdır.
P(Kazanarak bitirme∩En fazla 4 atıs¸ta bitme)=P(TT)+P(TYTT)+P(YTTT)P(\text{Kazanarak bitirme} \cap \text{En fazla 4 atışta bitme}) = P(TT) + P(TYTT) + P(YTTT)
=3681+881+881=5281= \frac{36}{81} + \frac{8}{81} + \frac{8}{81} = \frac{52}{81}
Koşullu olasılık formülündeki pay değerini (istenen olay ile koşul olayının kesişiminin olasılığını) elde etmek için.
5
Koşullu olasılık formülünü uygulayarak nihai olasılık değerine ulaşalım.
P(Kazanarak bitirme∣En fazla 4 atıs¸ta bitme)=P(Kazanarak bitirme∩En fazla 4 atıs¸ta bitme)P(Oyunun en fazla 4 atıs¸ta bitmesi)P(\text{Kazanarak bitirme} \mid \text{En fazla 4 atışta bitme}) = \frac{P(\text{Kazanarak bitirme} \cap \text{En fazla 4 atışta bitme})}{P(\text{Oyunun en fazla 4 atışta bitmesi})}
=52816581=5265=45= \frac{\frac{52}{81}}{\frac{65}{81}} = \frac{52}{65} = \frac{4}{5}
Daraltılmış örnek uzayında istenen olayın oranını bulmak için.

Key Concept

Koşullu olasılık, bir A olayının gerçekleştiği bilindiğinde bir B olayının gerçekleşme olasılığıdır ve P(B∣A)=P(B∩A)P(A)P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} formülü ile hesaplanır. Bu soruda örnek uzay, oyunun en fazla 4 atışta bittiği durumlarla sınırlandırılmıştır.
Rate this question

Topics

Koşullu Olasılık

More questions from this topic