\tan a ve \tan b sayıları, 3x^2 - 5x + 1 = 0 denkleminin kökleridir. Buna göre, \sin^2(a+b… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\tan a

\tan b

sayıları,

3x^2 - 5x + 1 = 0

denkleminin kökleridir.

Buna göre,

\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri

-\frac{13}{29}

olarak bulunur.

Soruda verilen ikinci dereceden denklemden kökler toplamı

\tan a + \tan b = 5/3

ve kökler çarpımı

\tan a \cdot \tan b = 1/3

olarak elde edilir. Buradan toplam formülü kullanılarak

\tan(a+b) = 5/2

bulunur. İstenen ikinci dereceden homojen ifade

\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1

özdeşliğine bölünerek

\tan(a+b)

cinsinden rasyonel bir fonksiyona dönüştürülür ve değer yerine yazıldığında

-\frac{13}{29}

sonucu elde edilir.

Kökler toplamı ve kökler çarpımı ilişkilerini belirleme.

\tan a + \tan b = \frac{5}{3}

\tan a \cdot \tan b = \frac{1}{3}

İkinci dereceden

ax^2 + bx + c = 0

denkleminin kökler toplamı

-b/a

, kökler çarpımı ise

c/a

formülü ile bulunur.

Toplam formülünü kullanarak

\tan(a+b)

değerini hesaplama.

\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b} = \frac{5/3}{1 - 1/3} = \frac{5}{2}

İki açının toplamının tanjant formülü uygulanır.

İstenen ifadeyi

\tan(a+b)

cinsinden ifade etme.

\frac{\sin^2(a+b) - 5\sin(a+b)\cos(a+b) + 3\cos^2(a+b)}{\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b)} = \frac{\tan^2(a+b) - 5\tan(a+b) + 3}{\tan^2(a+b) + 1}

İfadeyi

\sin^2(a+b) + \cos^2(a+b) = 1

ile bölüp, pay ve paydayı

\cos^2(a+b)

ile sadeleştirerek tanjant cinsinden yazabiliriz.

\tan(a+b) = \frac{5}{2}

değerini yerine yazarak sonucu bulma.

\frac{(5/2)^2 - 5(5/2) + 3}{(5/2)^2 + 1} = -\frac{13}{29}

Elde edilen rasyonel ifadedeki değişken yerine bulduğumuz tanjant değeri yazılır ve gerekli işlemler yapılır.

Toplam formülleri ile kök ve katsayı ilişkilerinin bir arada kullanılması ve homojen trigonometrik ifadelerin tanjant cinsinden yazılması.

Question