Examkin

Question

Difficulty: MediumToplam ve Fark Formülleri
Dar açılı bir ABCABC üçgeninde,
sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
olduğuna göre, cos⁡C\cos C değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    −53-\frac{\sqrt{5}}{3}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 53\frac{\sqrt{5}}{3}Answer
  4. D
    −23-\frac{2}{3}
  5. E
    59\frac{5}{9}

Answer

Kök 5 bölü 3
Sinüs toplam formülüne göre sol taraf sin⁡(A+B)\sin(A+B) ifadesine eşittir. Üçgenin iç açılar toplamı 180∘180^\circ olduğundan sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3} olur. Üçgen dar açılı olduğu için cos⁡C\cos C pozitif olmalıdır. Buradan cos⁡C=1−sin⁡2C=53\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \frac{\sqrt{5}}{3} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen trigonometrik ifadeye sinüs toplam formülünü uygulayarak sadeleştirin.
sin⁡(A+B)=sin⁡A⋅cos⁡B+cos⁡A⋅sin⁡B=23\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B = \frac{2}{3}
Toplam formüllerinden yararlanarak ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyon altında birleştirmek için.
2
Üçgenin iç açılar toplamı özelliğini kullanarak A+BA+B açısını CC açısı cinsinden ifade edin.
A+B+C=180∘⇒A+B=180∘−CA + B + C = 180^\circ \Rightarrow A + B = 180^\circ - C
sin⁡(A+B)=sin⁡(180∘−C)=sin⁡C=23\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C = \frac{2}{3}
��stenen cos⁡C\cos C değerine geçiş yapabilmek amacıyla açı indirgemesi uygulamak için.
3
Üçgenin dar açılı olması bilgisini kullanarak cos⁡C\cos C değerini hesaplayın.
sin⁡2C+cos⁡2C=1⇒cos⁡2C=1−(23)2=59\sin^2 C + \cos^2 C = 1 \Rightarrow \cos^2 C = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{5}{9}
Üçgen dar açılı olduğundan C<90∘C < 90^\circ ve dolayısıyla cos⁡C>0\cos C > 0 olmalıdır.
cos⁡C=53\cos C = \frac{\sqrt{5}}{3}
Temel trigonometrik kimliği kullanarak açının bölgesine göre doğru işaretli kosinüs değerini bulmak için.

Key Concept

Sinüs toplam formülü ve üçgende açı indirgemesi
Rate this question

Topics

Toplam ve Fark Formülleri

More questions from this topic