Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
f(x)=(∣a−3∣−25)xf(x) = \left(\frac{|a-3| - 2}{5}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, aa gerçel sayısının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    10
  5. E
    13

Answer

8
Üstel fonksiyonun azalan olması için taban değerinin 0 ile 1 aralığında bulunması zorunludur. Buradan hareketle elde edilen 2<∣a−3∣<72 < |a-3| < 7 eşitsizliğinin gerçel sayılardaki çözüm kümesi (−4,1)∪(5,10)(-4, 1) \cup (5, 10) aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,6,7,8,9}\{-3, -2, -1, 0, 6, 7, 8, 9\} olmak üzere 8 tanedir.

Step-by-Step Solution

1
Üstel fonksiyonun azalan olma koşulunu belirleme
0<∣a−3∣−25<10 < \frac{|a-3| - 2}{5} < 1 eşitsizliği elde edilir.
g(x)=bxg(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir arasında (0<b<10 < b < 1) olması gerekir.
2
Eşitsizliği sadeleştirme
0<∣a−3∣−2<5⇒2<∣a−3∣<70 < |a-3| - 2 < 5 \Rightarrow 2 < |a-3| < 7 eşitsizliği elde edilir.
Eşitsizliğin her tarafı pozitif bir sayı olan 5 ile çarpılır ve ardından her tarafa 2 eklenir.
3
Mutlak değerli eşitsizliği çözme
a∈(−4,1)∪(5,10)a \in (-4, 1) \cup (5, 10) aralığı elde edilir.
2<∣a−3∣<72 < |a-3| < 7 ifadesi iki durumda incelenir:
1) 2<a−3<7⇒5<a<102 < a-3 < 7 \Rightarrow 5 < a < 10
2) −7<a−3<−2⇒−4<a<1-7 < a-3 < -2 \Rightarrow -4 < a < 1
4
Tam sayı değerlerini bulup sayma
Toplam 8 tane tam sayı değeri vardır.
(−4,1)(-4, 1) aralığındaki tam sayılar {−3,−2,−1,0}\{-3, -2, -1, 0\} (4 adet) ve (5,10)(5, 10) aralığındaki tam sayılar {6,7,8,9}\{6, 7, 8, 9\} (4 adet) olmak üzere toplam 4+4=84 + 4 = 8 değer bulunur.

Key Concept

Bir üstel fonksiyonun azalan olabilmesi için tabanının sıfır ile bir açık aralığında bulunması gerekir.
Rate this question

Topics

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

More questions from this topic