f(x) = (a^2 - |a| - 1)^x ve g(x) = (9 - a^2)^x fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde tanı… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = (a^2 - |a| - 1)^x

g(x) = (9 - a^2)^x

fonksiyonları gerçel sayılar kümesinde tanımlı birer üstel fonksiyondur.

$f$ azalan bir fonksiyon, $g$ ise artan bir fonksiyon olduğuna göre, $a$ parametresinin alabileceği tüm gerçel sayı değerlerinin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)$ Answer
B
$\left(-2\sqrt{2}, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\sqrt{2}\right)$
C
\left(-2, -1\right) \cup \left(1, 2\right)
D
$\left(-2\sqrt{2}, -2\right) \cup \left(2, 2\sqrt{2}\right)$
E
$\left(-\frac{1+\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

Answer

a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

Hem f fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 0 < a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğinden gelen (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığı, hem de g fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olma koşulu olan 9 - a^2 > 1 eşitsizliğinden gelen |a| < 2\sqrt{2} aralığı kesiştirildiğinde, aranan en geniş aralık (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olarak bulunur. Bu eşitsizlik çözüldüğünde iki parçalı birleşim kümesi elde edilir.

Step-by-Step Solution

f(x) fonksiyonunun azalan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme.

0 < a^2 - |a| - 1 < 1

Üstel fonksiyonların tabanı pozitif ve 1'den farklı olmalıdır. Ayrıca fonksiyonun azalan olması için taban 0 ile 1 arasında yer almalıdır.

a^2 - |a| - 1 > 0 eşitsizliğini çözme.

|a| > \frac{1+\sqrt{5}}{2}

a^2 = |a|^2 yazılıp |a| = t >= 0 dönüşümü yapıldığında t^2 - t - 1 > 0 elde edilir. Bu ifadenin kökleri (1 - \sqrt{5})/2 ve (1 + \sqrt{5})/2'dir. t >= 0 olduğundan pozitif kökten büyük olan kısım yani t > (1 + \sqrt{5})/2 alınir.

a^2 - |a| - 1 < 1 eşitsizliğini çözme.

|a| < 2

|a|^2 - |a| - 2 < 0 ifadesi (|a| - 2)(|a| + 1) < 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır. |a| + 1 her zaman pozitif olduğundan |a| - 2 < 0 yani |a| < 2 olmalıdır. İki eşitsizlik birleştirildiğinde (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 elde edilir.

g(x) fonksiyonunun artan bir üstel fonksiyon olması için taban koşulunu belirleme ve çözme.

|a| < 2\sqrt{2}

g(x) fonksiyonunun artan olması için tabanının 1'den büyük olması gerekir. Buradan 9 - a^2 > 1 => a^2 < 8 => |a| < 2\sqrt{2} bulunur.

Elde edilen koşulların kesişimini alarak çözüm kümesini bulma.

a \in \left(-2, -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 2\right)

(1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 aralığındaki tüm a değerleri, 2 < 2\sqrt{2} olduğundan |a| < 2\sqrt{2} şartını da sağlar. Dolayısıyla ortak çözüm kümesi (1+\sqrt{5})/2 < |a| < 2 olur. Bu da mutlak değer tanımından dolayı iki parçalı birleşim kümesi olarak yazılır.

Key Concept

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özellikleri (tabanın pozitif ve 1'den farklı olması), artanlık (tabanın 1'den büyük olması) ve azalanlık (tabanın 0 ile 1 arasında olması) durumlarının analitik olarak incelenmesi.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic