Examkin

Question

Difficulty: Very hardÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
f:R→R+f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ olmak üzere, f(x)=(a2−4a−5a2−9)xf(x) = \left(\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9}\right)^x fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyondur. Buna göre, bu koşulu sağlayan en küçük iki farklı aa tam sayısının toplamının 6 olduğu ifadesi doğru mudur?

Answer: Answer

Answer

Verilen ifade doğrudur, çünkü azalan üstel fonksiyon şartlarını sağlayan en küçük iki farklı aa tam sayısı 0 ve 6'dır ve toplamları 6'dır.
Üstel fonksiyonun azalan olması için tabanının sıfır ile bir aralığında bulunması gerekir. Eşitsizlik sisteminin çözümünden elde edilen ortak aralıkta yer alan en küçük iki tam sayının toplamı doğrudan ifadeyle eşleşmektedir.

Step-by-Step Solution

1
Üstel fonksiyonun tanım k��mesi ve azalan olma koşullarını belirleyin.
Bir g(x)=bxg(x) = b^x fonksiyonunun gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olabilmesi için tabanının 0<b<10 < b < 1 koşulunu sağlaması gerekir. Buradan, 0<a2−4a−5a2−9<10 < \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} < 1 eşitsizlik sistemi elde edilir.
Üstel fonksiyonların tanımı gereği taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır; azalan olması için ise taban 1'den küçük olmalıdır.
2
Tabanın sıfırdan büyük olması koşulunu (H(a)>0H(a) > 0) çözün.
a2−4a−5a2−9>0  ⟹  (a−5)(a+1)(a−3)(a+3)>0\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} > 0 \implies \frac{(a-5)(a+1)}{(a-3)(a+3)} > 0 eşitsizliğinin kökleri a=−3,−1,3,5a = -3, -1, 3, 5 olup işaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−∞,−3)∪(−1,3)∪(5,∞)(-\infty, -3) \cup (-1, 3) \cup (5, \infty) olarak bulunur.
Üstel fonksiyon tanımı gereği taban daima sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Tabanın 1'den küçük olması koşulunu (H(a)<1H(a) < 1) çözün.
a2−4a−5a2−9<1  ⟹  a2−4a−5−(a2−9)a2−9<0  ⟹  4(1−a)(a−3)(a+3)<0\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9} < 1 \implies \frac{a^2 - 4a - 5 - (a^2 - 9)}{a^2 - 9} < 0 \implies \frac{4(1-a)}{(a-3)(a+3)} < 0 eşitsizliğinin kökleri a=−3,1,3a = -3, 1, 3 olup işaret tablosu incelendiğinde çözüm kümesi (−3,1)∪(3,∞)(-3, 1) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Üstel fonksiyonun azalan karakterde olması için taban değerinin 1'den küçük olması gerekir.
4
Elde edilen iki çözüm kümesinin kesişimini bulun ve bu aralıktaki en küçük iki farklı tam sayıyı belirleyin.
Kesişim kümesi I=((−∞,−3)∪(−1,3)∪(5,∞))∩((−3,1)∪(3,∞))=(−1,1)∪(5,∞)I = \Big( (-\infty, -3) \cup (-1, 3) \cup (5, \infty) \Big) \cap \Big( (-3, 1) \cup (3, \infty) \Big) = (-1, 1) \cup (5, \infty) olur. Bu aralıktaki en küçük iki farklı tam sayı a=0a = 0 ve a=6a = 6'dır. Toplamları ise 0+6=60 + 6 = 6 bulunur. Dolayısıyla verilen ifade doğrudur.
Her iki eşitsizliğin de aynı anda sağlanması gerektiğinden ortak çözüm kümesi alınmalıdır.

Key Concept

Üstel fonksiyonun tanım kümesi sınırları (b>0b > 0, b≠1b \neq 1) ile azalanlık koşulunun (0<b<10 < b < 1) eşitsizlik sistemleri yardımıyla incelenmesi.
Rate this question

Topics

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

More questions from this topic