\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6 ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6

ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?

Sabit terim 15'tir.

Genel terim formülü düzenlendiğinde

x^{12-3r}

ifadesi elde edilir. Sabit terim için

12-3r=0

eşitliğinden

r=4

bulunur. Bu değer katsayı formülünde yerine yazıldığında kombinasyon hesabı ve işaret belirleme kuralları ile 15 sonucu elde edilir.

Binom açılımının genel terim formülünü oluşturma

\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \left(-\frac{1}{x}\right)^r

Açılımdaki herhangi bir terimi bulmak için genel terim formülü yazıl��r.

Değişkenlerin kuvvetlerini düzenleme

\binom{6}{r} (-1)^r x^{12-3r}

x

'in toplam üssünü belirlemek için üslü sayı kuralları uygulanır.

Sabit terim için değişkenin kuvvetini sıfıra eşitleme

12 - 3r = 0 \implies r = 4

Sabit terimde

x

değişkeninin bulunmaması gerekir, yani üssü 0 olmalıdır.

Bulunan r değerini yerine yazarak katsayıyı hesaplama

\binom{6}{4} (-1)^4 = 15 \cdot 1 = 15

Belirlenen terim sırasına göre katsayı hesabı tamamlanır.

Binom açılımında sabit terim bulma

(ax^p + \frac{b}{x^q})^n

açılımında sabit terimi bulurken

r = n \cdot \frac{p}{p+q}

kısayolu kullanılabilir. Bu soruda

p=2

q=1

n=6

olduğundan

r = 6 \cdot \frac{2}{2+1} = 4

elde edilir. Bu değer doğrudan genel terimdeki

r

yerine yazılır.

Estimated Time:1m 30s

Question