Fonksiyonlar ve Uygulamaları Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Page 6

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.

Her

x

gerçek sayısı için,

f(x) - 3f(-x) = 4x^3 - 8x

eşitliği sağlanmaktadır.

$g(x) = f(x - 2) + 4$ biçiminde tanımlanan $g$ fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi $A(a, b)$ noktasıdır.

Buna göre, $f(a) + g(b)$ toplamının değeri kaçtır?

4

8

12

60

-12

Show answer & explanation

Answer: 12

Answer

12

f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. f(-x) = -f(x) yazılıp denklem çözüldüğünde f(x) = x^3 - 2x elde edilir. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun simetri merkezi, f fonksiyonunun simetri merkezi olan (0, 0) noktasının 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle (2, 4) olarak bulunur. Buradan a = 2 ve b = 4 elde edilir. f(2) = 4 ve g(4) = f(2) + 4 = 8 değerlerinin toplamı 12 olur.

Step-by-Step Solution

1

f fonksiyonunun tek/çift olma durumunun belirlenmesi

f fonksiyonunun grafiği orijine göre simetrik olduğundan f bir tek fonksiyondur. Dolayısıyla her x gerçek sayısı için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanır.

Orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.

2

f(x) fonksiyonunun kuralının elde edilmesi

f(-x) = -f(x) ifadesi verilen denklemde yerine yazıldığında f(x) - 3(-f(x)) = 4x^3 - 8x elde edilir. Buradan 4f(x) = 4x^3 - 8x ve f(x) = x^3 - 2x olarak bulunur.

Verilen fonksiyonel denklemde tek fonksiyon tanımı kullanılarak bilinmeyen fonksiyonun kuralı elde edilir.

3

g fonksiyonunun simetri merkezinin belirlenmesi

f fonksiyonunun simetri merkezi orijin yani (0, 0) noktasıdır. g(x) = f(x - 2) + 4 fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun 2 birim sağa ve 4 birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiği için g'nin simetri merkezi A(2, 4) olur. Buradan a = 2 ve b = 4 bulunur.

Bir fonksiyonun grafiği ötelendiğinde simetri merkezi de aynı miktarda ötelenir.

4

f(a) ve g(b) değerlerinin hesaplanması ve toplamın bulunması

a = 2 için f(2) = 2^3 - 2(2) = 4 olur. b = 4 için g(4) = f(4 - 2) + 4 = f(2) + 4 = 4 + 4 = 8 olur. Buradan f(a) + g(b) = 4 + 8 = 12 elde edilir.

Bulunan simetri merkezi koordinatları fonksiyon kurallarında yerine yazılarak istenen toplam hesaplanır.

Key Concept

Tek fonksiyonların simetri özellikleri ve öteleme dönüşümleri altındaki simetri merkezlerinin değişimi.

Estimated Time:3m 0s

Question 102Question →

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2x + 7$ parabolü ile $y = 4x + c$ doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, bu parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın apsisi kaçtır?

-3

-1

1

3

4

Show answer & explanation

Answer: 3

Answer

Parabol ile doğrunun teğet olduğu noktanın apsisi 3'tür.

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

x^2 - 2x + 7 = 4x + c

denklemi düzenlendiğinde

x^2 - 6x + (7-c) = 0

elde edilir. Bu denklemin çift katlı kökü, teğet noktasının apsisidir ve

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Parabol ve doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek ortak çözüm denklemini oluşturun.

x^2 - 2x + 7 = 4x + c \Rightarrow x^2 - 6x + (7-c) = 0

Kesişim veya teğetlik noktalarını bulmak için iki fonksiyonun ortak çözümü yapılmalıdır.

2

Teğet olma koşulunu (diskriminantın sıfıra eşit olması) kullanarak ortak çözüm denkleminin çift katlı kökünü hesaplayın.

Çift katlı kök (teğet noktasının apsisi)

x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3

olarak bulunur.

İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı sıfır olduğunda, denklemin tek (çift katlı) kökü vardır ve bu kök

-\frac{b}{2a}

formülüyle bulunur.

Key Concept

Parabol ile doğrunun teğet olması durumunda ortak denklemin tek kökünün (çift katlı kök) bulunması

Question 103Question →

k

bir gerçel sayı olmak üzere,

[k, k+3]

kapalı aralığında tanımlı

f(x) = x^2 - 4x + 5

fonksiyonunun alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark

15

’tir.

Buna göre, $k$ sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

-9

-6

-2

3

6

Show answer & explanation

Answer: -6

Answer

En büyük değer ile en küçük değer arasındaki farkın 15 olması koşulunu sağlayan farklı k değerlerinin çarpımı -6'dır.

Doğru yanıt olan değer, parabolün tepe noktası olan x = 2 apsisli noktanın sağında ve solunda kalan aralıkların her ikisinin de incelenmesiyle elde edilir. k = 3 durumunda fonksiyon [3, 6] aralığında artandır ve fark 15 olur. k = -2 durumunda ise fonksiyon [-2, 1] aralığında azalandır ve fark yine 15 olur. Bu iki değerin çarpımı -6 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasını bulma

r = 2

f(x) = x^2 - 4x + 5 parabolünün tepe noktasının apsisi r = -b / (2a) = -(-4) / (2 * 1) = 2 olarak bulunur. a = 1 > 0 olduğundan kollar yukarı doğrudur ve fonksiyon x = 2'de minimum değerini alır.

2

k parametresine bağlı aralık durumlarını belirleme

Üç farklı durum: k >= 2 (artan), k+3 <= 2 (azalan) ve -1 < k < 2 (tepe noktası aralık içinde)

[k, k+3] aralığının tepe noktası olan 2'ye göre konumunu inceleyerek en büyük ve en küçük değerlerin hangi noktalarda oluştuğunu belirlemek gerekir.

3

Aralığın tepe noktasının sağında kalması durumunu (k >= 2) inceleme

k = 3

k >= 2 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima artandır. En küçük değer f(k), en büyük değer f(k+3) olur. Fark: f(k+3) - f(k) = (k+3)^2 - 4(k+3) + 5 - (k^2 - 4k + 5) = 6k - 3 olur. 6k - 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = 3 elde edilir. Bu değer k >= 2 koşulunu sağlar.

4

Aralığın tepe noktasının solunda kalması durumunu (k <= -1) inceleme

k = -2

k+3 <= 2 yani k <= -1 ise f(x) fonksiyonu [k, k+3] aralığında daima azalandır. En büyük değer f(k), en küçük değer f(k+3) olur. Fark: f(k) - f(k+3) = -(6k - 3) = -6k + 3 olur. -6k + 3 = 15 denklemi çözüldüğünde k = -2 elde edilir. Bu değer k <= -1 koşulunu sağlar.

5

Tepe noktasının aralık içinde olması durumunu (-1 < k < 2) inceleme

Reel kök bulunamaz

Bu durumda en küçük değer tepe noktasında oluşur: f(2) = 1. En büyük değer ise sınırlarda oluşur. Tepe noktasına uzak olan sınıra göre maksimum değer f(k) veya f(k+3) olur. (k-2)^2 = 15 veya (k+1)^2 = 15 denklemlerinden gelen kökler aralık sınırlarını sağlamaz.

6

Bulunan k değerlerinin çarpımını hesaplama

3 * (-2) = -6

Koşulları sağlayan k değerleri 3 ve -2'dir. Bu değerlerin çarpımı sorulmuştur.

Key Concept

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktasının aralığa göre konumu incelenmelidir. Eğer tepe noktası aralığın dışındaysa fonksiyon o aralıkta monotondur (artan veya azalan); içindeyse en büyük ya da en küçük değer tepe noktasında oluşur.

Question 104Question →

Analitik düzlemde, $y = 2x^2 - ax + 3$ parabolü ile $y = 2x + 1$ doğrusu birbirine teğettir. Buna göre, $a$ gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 2

Answer

Doğru cevap 2'dir.

Parabol ile doğrunun teğet olması, ortak kesim noktası denkleminin diskriminantının sıfır olması demektir. İki denklemi birbirine eşitlediğimizde elde ettiğimiz

2x^2 - (a+2)x + 2 = 0

denkleminin diskriminantı

\Delta = (a+2)^2 - 16 = 0

olmalıdır. Buradan

(a+2)^2 = 16

olup,

a+2 = 4 \implies a = 2

veya

a+2 = -4 \implies a = -6

bulunur. Pozitif değer istendiği için doğru cevap 2'dir.

Step-by-Step Solution

1

Parabol ve doğrunun ortak denklemini oluşturmak

2x^2 - (a+2)x + 2 = 0

denklemi elde edilir.

Parabol ve doğrunun kesişim ya da teğetlik noktalarını bulabilmek için denklemlerinin ortak çözülmesi gerekir.

2

Teğetlik şartını uygulamak

\Delta = [-(a+2)]^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

eşitliğinden

(a+2)^2 = 16

elde edilir.

Bir doğru ile parabolün teğet olması, ortak denklemlerinin çift katlı köke sahip olması yani diskriminantının sıfıra eşit olması anlamına gelir.

3

a

parametresinin alabileceği değerleri hesaplamak

a = 2

veya

a = -6

bulunur.

Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4 olduğundan

a+2

ifadesi bu sayılara eşitlenerek çözüme gidilir.

4

Koşula uygun değeri belirlemek

a = 2

olarak seçilir.

Soruda

a

sayısının alabileceği pozitif değer istendiği için negatif olan -6 elenir.

Key Concept

Parabol ile doğrunun birbirine teğet olması durumunda ortak denklemin diskriminantının sıfıra eşit olması

Question 105Question →

Dik koordinat düzleminde, başlangıçta $(0, 20)$ noktasında bulunan $A$ hareketlisi $y$ -ekseni boyunca negatif yönde saniyede $3$ birim sabit hızla, $(-10, 0)$ noktasında bulunan $B$ hareketlisi ise $x$ -ekseni boyunca pozitif yönde saniyede $4$ birim sabit hızla aynı anda harekete başlamıştır.

Buna göre, hareketleri boyunca bu iki hareketli arasındaki mesafe en az kaç birim olur?

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

İki hareketli arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir.

İki hareketli arasındaki mesafenin karesini veren fonksiyon

f(t) = 25t^2 - 200t + 500

şeklindedir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi

t = 4

olup, bu değer yerine yazıldığında mesafe en az

\sqrt{f(4)} = 10

birim olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

Hareketlilerin

t

saniye sonraki konumlarını koordinat olarak ifade etme

A

hareketlisinin konumu

A(0, 20 - 3t)

,

B

hareketlisinin konumu

B(-10 + 4t, 0)

olur.

Hareketliler sabit hızla hareket ettiklerinden geçen süre ile hızlarının çarpımı aldıkları yolu verir.

2

İki hareketli arasındaki mesafeyi

t

değişkenine bağlı olarak formüle etme

d(t) = \sqrt{(-10 + 4t - 0)^2 + (0 - (20 - 3t))^2} = \sqrt{(-10 + 4t)^2 + (20 - 3t)^2}

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

şeklindedir.

3

Mesafe fonksiyonunun içindeki ifadeyi düzenleyerek ikinci dereceden fonksiyonu elde etme

f(t) = 16t^2 - 80t + 100 + 9t^2 - 120t + 400 = 25t^2 - 200t + 500

elde edilir.

En küçük değeri bulabilmek için ifadeyi

at^2 + bt + c

biçiminde bir parabol denklemine dönüştürmek gerekir.

4

Parabolün en küçük değerini aldığı tepe noktasının süresini (

t

) bulma

t = r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-200}{2 \times 25} = 4

saniye bulunur.

Kolları yukarı doğru olan bir parabol en küçük değerini tepe noktasında (

r, k

) alır.

5

Bulunan

t = 4

değerini mesafe formülünde yerine yazarak en küçük mesafeyi hesaplama

d(4) = \sqrt{25(4)^2 - 200(4) + 500} = \sqrt{100} = 10

birim.

En küçük uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsis değeri mesafe fonksiyonunda yerine yazılır.

Key Concept

İkinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) tepe noktasında en küçük veya en büyük değerini alması uygulamaları.

Question 106Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 4x + 7$ parabolünün grafiği $a$ birim sağa ve $b$ birim aşağı ötelendiğinde $g(x) = x^2 - 10x + 22$ parabolünün grafiği elde ediliyor.

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

3

5

9

-3

15

Show answer & explanation

Answer: 9

Answer

Dokuz

Verilen parabollerin tepe noktaları sırasıyla

T_1(2, 3)

ve

T_2(5, -3)

olarak bulunur. Apsisteki değişim

2 \rightarrow 5

olduğundan grafik

3

birim sağa ötelenmiştir (

a = 3

). Ordinattaki değişim

3 \rightarrow -3

olduğundan grafik

6

birim aşağı ötelenmiştir (

b = 6

). Bu durumda

a + b = 9

olur.

Step-by-Step Solution

1

f(x) = x^2 - 4x + 7

parabolünün tepe noktasını bulma

f(x) = (x - 2)^2 + 3

biçiminde yazılarak tepe noktası

T_1(2, 3)

olarak elde edilir.

Öteleme hareketini takip edebilmek için başlangıç fonksiyonunun tepe noktasını belirlemeliyiz.

2

g(x) = x^2 - 10x + 22

parabolünün tepe noktasını bulma

g(x) = (x - 5)^2 - 3

biçiminde yazılarak tepe noktası

T_2(5, -3)

olarak elde edilir.

Öteleme sonrasındaki fonksiyonun tepe noktasını bularak iki nokta arasındaki yer değiştirmeyi belirlemeliyiz.

3

Öteleme miktarlarını ve toplamı hesaplama

Apsis

2

'den

5

'e çıktığı için

a = 3

birim sağa öteleme yapılmıştır. Ordinat

3

'ten

-3

'e indiği için

b = 6

birim aşağı öteleme yapılmıştır. Buradan

a + b = 3 + 6 = 9

bulunur.

Sağa öteleme miktarı olan

a

ile aşağı öteleme miktarı olan

b

'yi tespit edip toplamlarını bulmak.

Key Concept

Parabol grafiklerinde yatay öteleme

f(x-a)

ve dikey öteleme

f(x)+b

dönüşümleri tepe noktasının koordinatları üzerinden incelenebilir.

Question 107Question →

Dik koordinat düzleminde, $[-3, 2]$ kapalı aralığında tanımlı bir $f$ fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Bu grafik, $A(-3, 0)$ , $B(0, 3)$ ve $C(2, 0)$ noktalarını ardışık olarak birleştiren iki doğru parçasından oluşmaktadır.

g(x) = 3 - f(|x|)

h(x) = f(1-x)

biçiminde tanımlanan $g$ ve $h$ fonksiyonlarının grafiklerinin kesişim noktalarının tüm koordinatlarının (apsis ve ordinatlarının) toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{13}{4}

\frac{15}{4}

\frac{17}{4}

\frac{19}{4}

\frac{21}{4}

Show answer & explanation

Answer: $\frac{17}{4}$

Answer

Kesişim noktalarının koordinatları toplamı olan 17/4 ifadesidir.

Doğru seçenekte belirtilen değer, g(x) = 1.5|x| ve h(x) = f(1-x) fonksiyonlarının kurallarının doğru aralıklarda yazılması ve ortak tanım kümesi olan [-1, 2] aralığındaki kesişim noktalarının apsis ve ordinat değerlerinin toplanmasıyla elde edilir. Bu noktalar (-1/2, 3/4) ve (8/5, 12/5) olup toplamları 17/4'tür.

Step-by-Step Solution

1

g(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme

g(x) = 3 - f(|x|) fonksiyonunda, f fonksiyonunun tanım kümesi [-3, 2] olduğundan, |x| ifadesi [0, 2] aralığında olmalıdır. Buradan g(x) fonksiyonunun tanım kümesi [-2, 2] olarak bulunur. x >= 0 için g(x) = 3 - f(x) = 3 - (3 - 1.5x) = 1.5x ve x < 0 için g(x) = 3 - f(-x) = 1.5|x| elde edilir. Yani, g(x) = 1.5|x| biçimindedir.

Kesişim noktalarını bulabilmek için öncelikle g(x) fonksiyonunun cebirsel ifadesini ve tanımlı olduğu aralığı bulmamız gerekir.

2

h(x) fonksiyonunun kuralını ve tanım kümesini belirleme

h(x) = f(1-x) fonksiyonunda, f'in tanım kümesi [-3, 2] olduğundan -3 <= 1-x <= 2 eşitsizliğinden h fonksiyonunun tanım kümesi [-1, 4] olarak bulunur. 1-x >= 0 yani x <= 1 için h(x) = -1.5(1-x) + 3 = 1.5x + 1.5 olur. 1-x < 0 yani x > 1 için h(x) = (1-x) + 3 = -x + 4 olur.

h(x) fonksiyonunun farklı aralıklardaki doğrusal denklemlerini elde etmek kesişim denklemlerini kurmamızı sağlar.

3

Ortak tanım kümesindeki kesişim noktalarını hesaplama

g ve h fonksiyonlarının ortak tanım kümesi [-2, 2] ile [-1, 4] aralıklarının kesişimi olan [-1, 2] aralığıdır. Bu aralıkta kesişimleri incelersek: 1) [-1, 0] aralığında: -1.5x = 1.5x + 1.5 => 3x = -1.5 => x = -0.5 olur. Buradan y = g(-0.5) = 0.75 elde edilir. İlk nokta P_1(-0.5, 0.75) olur. 2) [0, 1] aralığında: 1.5x = 1.5x + 1.5 => 0 = 1.5 (��özüm yoktur). 3) [1, 2] aralığında: 1.5x = -x + 4 => 2.5x = 4 => x = 1.6 olur. Buradan y = g(1.6) = 2.4 elde edilir. İkinci nokta P_2(1.6, 2.4) olur.

İki grafiğin kesiştiği noktaların apsis ve ordinat değerlerini bulmak için fonksiyon kuralları ortak çözülür.

4

Koordinatlar toplamını hesaplama

Bulunan noktaların koordinatları toplamı: (-0.5) + 0.75 + 1.6 + 2.4 = 0.25 + 4 = 4.25 = 17/4 bulunur.

Soru kökünde istenen nihai toplam değerine ulaşmak için tüm bileşenler toplanır.

Key Concept

Bir fonksiyonun mutlak değer dönüşümü y = f(|x|), y eksenine göre yansıması y = f(-x) ve yatay/dikey ötelemelerin bileşkesi altında grafiklerin analizi.

Question 108Question →

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı $f$ ve $g$ fonksiyonları için aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* $f$ fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde $K(2, 3)$ noktasına göre simetriktir.
* $g$ fonksiyonunun grafiği koordinat düzleminde $x = 1$ doğrusuna göre simetriktir.
* Her $x$ gerçek sayısı için $f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5$ eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, $g(f(3))$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 18

Answer

İstenen g(f(3)) ifadesinin değeri 18 olarak bulunur.

Verilen simetri kurallarına göre

f(x) + f(4-x) = 6

ve

g(x-1) = g(3-x)

eşitlikleri yazılır. Ana denklemde

x

yerine

4-x

yazılıp iki denklem taraf tarafa çıkarıldığında

f(x) = 2x - 1

elde edilir. Bu kural ana denklemde yerine yazıldığında

g(3-x) = x^2 - 4x + 6

bulunur. İstenen

g(f(3))

değerinde

f(3) = 5

olup,

g(5)

değerini hesaplamak için

x = -2

yazıldığında sonuç 18 olur.

Step-by-Step Solution

1

Fonksiyonların simetri özelliklerini matematiksel eşitlikler olarak ifade etmek.

f(x) + f(4-x) = 6

ve

g(x-1) = g(3-x)

eşitliklerini elde etmek.

f

fonksiyonunun grafiği

K(2,3)

noktasına göre simetrik olduğundan her

x

için

f(2-x) + f(2+x) = 2 \cdot 3 = 6

olur. Burada

2-x

yerine

x

yazılırsa

f(x) + f(4-x) = 6

elde edilir.

g

fonksiyonunun grafiği

x=1

doğrusuna göre simetrik olduğundan her

x

için

g(1-x) = g(1+x)

olur. Burada

1-x

yerine

x-1

yazılırsa

g(x-1) = g(2-(x-1)) = g(3-x)

elde edilir.

2

Verilen ana denklemde

x

yerine

4-x

yazarak yeni bir denklem elde etmek.

f(4-x) + g(x-1) = x^2 - 6x + 13

denklemini bulmak.

f(x) + f(4-x) = 6

ilişkisini kullanabilmek amacıyla ana denklemde değişken değiştirme yapılır.

x

yerine

4-x

yazıldığında

(4-x)^2 - 2(4-x) + 5 = x^2 - 8x + 16 - 8 + 2x + 5 = x^2 - 6x + 13

bulunur.

3

g

fonksiyonunun simetri özelliğini kullanarak denklemi düzenlemek ve

f(x)

fonksiyonunu bulmak.

f(x) = 2x - 1

fonksiyonunu bulmak.

g(x-1) = g(3-x)

simetrisi kullanılarak ikinci denklem

f(4-x) + g(3-x) = x^2 - 6x + 13

haline getirilir. Bu denklem ilk denklem olan

f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5

ifadesinden çıkarıldığında

f(x) - f(4-x) = 4x - 8

elde edilir. Bu eşitlik

f(x) + f(4-x) = 6

ile taraf tarafa toplanarak

2f(x) = 4x - 2 \implies f(x) = 2x - 1

bulunur.

4

f(x)

fonksiyonunu yerine yazarak

g(3-x)

ifadesini elde etmek ve istenen değeri hesaplamak.

g(f(3)) = 18

değerini elde etmek.

f(x) + g(3-x) = x^2 - 2x + 5

denkleminde

f(x) = 2x - 1

yazılırsa

g(3-x) = x^2 - 4x + 6

olur. İstenen değer

g(f(3))

olup öncelikle

f(3) = 2(3) - 1 = 5

hesaplanır.

g(5)

değerini bulmak için

3-x=5 \implies x=-2

yazılarak

g(5) = (-2)^2 - 4(-2) + 6 = 18

bulunur.

Key Concept

Noktaya ve doğruya göre simetri dönüşümlerinin fonksiyon denklemleri üzerindeki cebirsel etkileri.

Question 109Question →

Grafiği

y

-eksenine göre simetrik olan

f

fonksiyonu her

x

gerçek sayısı için

f(x) + 3f(-x) = 2x^2 + 8

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(2)$ değeri kaçtır?

-8

3

4

8

16

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir.

Grafiği

y

-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda her

x

gerçek sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır. Bu özellik verilen

f(x) + 3f(-x) = 2x^2 + 8

denkleminde yerine yazılırsa

4f(x) = 2x^2 + 8

elde edilir. Buradan

f(x) = \frac{x^2}{2} + 2

bulunur.

x = 2

yazılarak

f(2) = \frac{2^2}{2} + 2 = 4

sonucuna ulaşılır. Dolayısıyla doğru yanıt 4 değerini içeren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1

Grafiğin

y

-eksenine göre simetrik olmasından yararlanarak

f(-x)

ifadesinin eşitini belirleyin.

f(-x) = f(x)

y

-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve bu fonksiyonlarda her

x

gerçek sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır.

2

Verilen denklemde

f(-x)

yerine

f(x)

yazarak denklemi tek bir bilinmeyenli fonksiyon terimine dönüştürün.

f(x) + 3f(x) = 2x^2 + 8 \Rightarrow 4f(x) = 2x^2 + 8

Denklemi çözülebilir kılmak için

f(-x)

terimini

f(x)

cinsinden yazıp benzer terimleri toplarız.

3

f(x)

ifadesini yalnız bırakın ve

x = 2

değerini yerine yazarak

f(2)

'yi hesaplayın.

f(x) = \frac{2x^2 + 8}{4} = \frac{x^2}{2} + 2 \Rightarrow f(2) = \frac{2^2}{2} + 2 = 2 + 2 = 4

İstenen

f(2)

değerini elde etmek için fonksiyonda

x

değişkeninin yerine

2

yazılır.

Key Concept

Grafiği y-eksenine göre simetrik olan fonksiyonlarda f(-x) = f(x) olması

Estimated Time:1m 0s

Question 110Question →

Dik koordinat düzleminde, $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiği 3 birim sola ve 2 birim yukarı ötelendiğinde $y = g(x)$ fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

f(x) = x^2 - 2x + 5

olduğuna göre, $g(x)$ fonksiyonunun grafiğinin $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

6

7

8

10

22

Show answer & explanation

Answer: 10

Answer

10

Grafiğin 3 birim sola ötelenmesi x yerine x+3 yazılması anlamına gelir. 2 birim yukarı ötelenmesi ise fonksiyona 2 eklenmesini gerektirir. Bu durumda yeni fonksiyon

g(x) = f(x+3) + 2

olur.

y

eksenini kestiği noktanın ordinatını bulmak için

x=0

yazıldığında

g(0) = f(3) + 2

elde edilir.

f(3) = 8

olduğundan doğru yanıt 10 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1

Öteleme kurallarını kullanarak g(x) fonksiyonunu f(x) cinsinden ifade etme

g(x) = f(x + 3) + 2

Bir fonksiyonun grafiği a birim sola ötelendiğinde x yerine x+a yazılır, b birim yukarı ötelendiğinde ise fonksiyona b eklenir.

2

g(x) fonksiyonunun y eksenini kestiği noktanın ordinatını veren g(0) ifadesini oluşturma

g(0) = f(3) + 2

Grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda x yerine 0 yazılır.

3

f(3) değerini hesaplayıp g(0) ifadesinde yerine yazarak sonucu bulma

f(3) = 3^2 - 2(3) + 5 = 8 \implies g(0) = 8 + 2 = 10

Verilen f(x) kuralında x yerine 3 yazılarak f(3) değeri hesaplanır ve ardından dikey öteleme miktarı eklenir.

Key Concept

Fonksiyonlarda yatay öteleme f(x+a) ve dikey öteleme f(x)+b kurallarının uygulanması.

Question 111Question →

f: [4, 7] \rightarrow \mathbb{R}

olmak üzere,

f(x) = -x^2 + 6x + 10

fonksiyonunun tanımlı olduğu aralıktaki en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır?

13

21

22

-14

28

Show answer & explanation

Answer: 21

Answer

En büyük ve en küçük değerlerin toplamı 21'dir.

Doğru cevap olan 21 değeri, fonksiyonun tepe noktasının apsisi olan 3'ün tanım aralığının solunda kaldığı ve

a = -1 < 0

olduğu için fonksiyonun

[4, 7]

aralığında tamamen azalan olmasından kaynaklanır. Böylece en büyük değer sol uçta

f(4) = 18

, en küçük değer ise sağ uçta

f(7) = 3

olarak bulunur ve toplamları 21 olur.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplama

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3

Parabolün yönünü ve artan/azalan olduğu aralıkları belirlemek için tepe noktasının apsisi bulunur.

2

Tepe noktasının verilen

[4, 7]

tanım aralığında olup olmadığını kontrol etme ve fonksiyonun bu aralıktaki karakterini belirleme

3 \notin [4, 7]

ve

a = -1 < 0

olduğundan, parabolün kolları aşağı doğrudur. Dolayısıyla fonksiyon

x > 3

için azalandır. Bu durumda

[4, 7]

aralığındaki fonksiyon tamamen azalandır.

Tanım kümesi sınırlandırılmış fonksiyonlarda en büyük ve en küçük değerler uç noktalarda veya aralığa düşen tepe noktasında oluşur.

3

Aralığın uç noktalarındaki fonksiyon değerlerini hesaplama

En büyük değer sol uçta:

f(4) = -(4)^2 + 6(4) + 10 = -16 + 24 + 10 = 18

.
En küçük değer sağ uçta:

f(7) = -(7)^2 + 6(7) + 10 = -49 + 42 + 10 = 3

.

Azalan bir fonksiyonda en küçük girdi en büyük çıktıyı, en büyük girdi ise en küçük çıktıyı verir.

4

Elde edilen en büyük ve en küçük değerleri toplama

18 + 3 = 21

Soruda istenen en büyük ve en küçük değerlerin toplamını bulmak amacıyla toplama işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Sınırlandırılmış bir aralıkta tanımlı ikinci dereceden bir fonksiyonun (parabolün) en büyük ve en küçük değerlerini bulurken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığının kontrol edilmesi.

Question 112Question →

Bir güneş enerjisi santralinde üretilen elektrik gücü (megavat cinsinden), günün $10.00$ ile $16.00$ saatleri arasında (bu saatler dahil) geçen süre $t$ (saat) olmak üzere,

P(t) = -t^2 + 18t - 30

fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, bu santralde belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark kaç megavattır?

Show answer & explanation

Answer: 48

Answer

Belirtilen saat aralığında üretilen maksimum elektrik gücü ile minimum elektrik gücü arasındaki fark 48 megavattır.

Fonksiyonun tepe noktası

t = 9

olup

[10, 16]

aralığının dışındadır.

t^2

teriminin katsayısı negatif olduğu için parabol kolları aşağı bakar ve

t > 9

için fonksiyon azalandır. Dolayısıyla,

[10, 16]

aralığındaki maksimum değer sol uçta (

t = 10

için

50

), minimum değer ise sağ uçta (

t = 16

için

2

) elde edilir. Bu iki değer arasındaki fark

50 - 2 = 48

olur.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasının apsisini (

r

) hesaplayın.

r = 9

İkinci dereceden fonksiyonlarda en büyük veya en küçük değer genellikle tepe noktasında oluştuğundan öncelikle tepe noktasının konumu belirlenir.

2

Tepe noktasının verilen

[10, 16]

kapalı aralığında yer alıp almadığını kontrol edin.

9 \notin [10, 16]

olduğundan, fonksiyon bu aralıkta tepe noktasında ekstremum değer alamaz.

a < 0

olduğu için fonksiyon bu aral��kta daima azalandır.

Sınırlandırılmış aralıklarda en büyük ve en küçük değerler araştırılırken tepe noktasının aralık içinde olup olmadığı kritik bir adımd��r.

3

Aralığın uç noktaları olan

t = 10

ve

t = 16

için fonksiyon değerlerini hesaplayarak maksimum ve minimum değerleri belirleyin.

P(10) = 50

(Maksimum) ve

P(16) = 2

(Minimum)

Daima azalan bir fonksiyon sınırlı bir aralıkta en büyük değerini sol uçta, en küçük değerini ise sağ uçta alır.

4

Maksimum güç ile minimum güç değerleri arasındaki farkı hesaplayın.

50 - 2 = 48

Soruda istenen maksimum ve minimum değerler arasındaki farkı bulmak için büyük değerden küçük değer çıkarılır.

Key Concept

Tanım kümesi

[a, b]

gibi kapalı bir aralıkla sınırlandırılmış ikinci dereceden bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri bulunurken, parabolün tepe noktasının (

r

) bu aralıkta olup olmadığı kontrol edilir. Eğer

r \notin [a, b]

ise fonksiyon bu aralıkta monotondur (daima artan veya daima azalan) ve ekstremum değerlerini sadece aralığın uç noktalarında (

f(a)

ve

f(b)

değerlerinde) alabilir.

Question 113Question →

Dik koordinat düzleminde tanımlı $f(x) = x^2 - 4x + 3$ fonksiyonu veriliyor.

g(x) = f(|x|)

h(x) = -g(x-1) + 2

olduğuna göre, $h(x) = 0$ denklemini sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı kaçtır?

-4

0

2

4

8

Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Denklemi sağlayan tüm gerçel sayıların toplamı 4'tür.

Doğru cevap olan 4 değeri, h(x) = 0 denkleminin tüm gerçel köklerinin bulunup toplanmasıyla elde edilir. h(x) fonksiyonu x = 1 doğrusuna göre simetrik olduğundan, tüm kökler bu doğruya göre simetrik çiftler oluşturur ve toplamları 4 olur.

Step-by-Step Solution

1

g(x) fonksiyonunu oluşturma

g(x) = f(|x|) = |x|^2 - 4|x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3

fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyon y eksenine (

x = 0

doğrusuna) göre simetriktir.

h(x) fonksiyonunun tanımındaki g(x) bileşenini belirlemek için.

2

h(x) = 0 denklemini kurma ve sadeleştirme

-g(x-1) + 2 = 0 \implies g(x-1) = 2

denklemi elde edilir.

h(x)'in sıfıra eşit olduğu noktaları bulmak için.

3

g(x-1) = 2 denklemini çözme

(|x-1| - 2)^2 - 1 = 2 \implies (|x-1| - 2)^2 = 3

olur. Buradan

|x-1| - 2 = \sqrt{3}

veya

|x-1| - 2 = -\sqrt{3}

elde edilir.

Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için.

4

Kökleri tek tek hesaplama veya simetriyi kullanma

Birinci durumdan:

|x-1| = 2 + \sqrt{3} \implies x_1 = 3 + \sqrt{3}

ve

x_2 = -1 - \sqrt{3}

. İkinci durumdan:

|x-1| = 2 - \sqrt{3} \implies x_3 = 3 - \sqrt{3}

ve

x_4 = -1 + \sqrt{3}

. Tüm köklerin toplamı:

(3 + \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3}) + (3 - \sqrt{3}) + (-1 + \sqrt{3}) = 4

bulunur.

Denklemin tüm gerçel köklerinin toplamına ulaşmak için.

Key Concept

Fonksiyonlarda yansıma ve öteleme dönüşümlerinin simetri eksenine etkisi

Alternative Method

Denklemin köklerinin simetri ekseni olan

x = 1

doğrusuna göre simetrik olmasından faydalanılabilir.

g(x) = f(|x|)

fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan

x = 0

doğrusuna göre simetriktir.

h(x) = -g(x-1) + 2

fonksiyonu ise bu grafiğin 1 birim sağa ötelenmesiyle elde edildiği için simetri ekseni

x = 1

doğrusu olur.

h(x) = 0

denkleminin 4 farklı gerçel kökü olduğu belirlendikten sonra, kökler

x = 1

doğrusuna göre simetrik çiftler halinde olacağından, toplamları

2 \times 2 = 4

olarak doğrudan bulunur.

Estimated Time:2m 30s

Question 114Question →

Dik koordinat düzleminde,

a

ve

b

gerçel sayılar olmak üzere,

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a + 1

g(x) = -x^2 + 2bx - b^2 - b + 5

parabolleri veriliyor.

$f(x)$ parabolünün tepe noktası $T_1$ , $g(x)$ parabolünün tepe noktası $T_2$ 'dir.

$T_1$ ve $T_2$ noktaları $y = x - 1$ doğrusuna göre simetrik olduğuna göre, $a \cdot b$ çarpımı kaçtır?

4

6

8

10

12

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

8 değeri doğrudur.

Doğru cevap olan 8 değeri,

f(x)

parabolünün tepe noktası

T_1(a, a+1)

ve

g(x)

parabolünün tepe noktası

T_2(b, 5-b)

olarak bulunduktan sonra, bu noktaların

y = x - 1

doğrusuna göre simetriklik şartları (

b = 4

ve

a = 2

) uygulanarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1

f(x)

ve

g(x)

fonksiyonlarının tepe noktalarının koordinatlarını parametrelere bağlı olarak bulalım.

f(x) = (x-a)^2 + a + 1 \implies T_1(a, a+1)

g(x) = -(x-b)^2 - b + 5 \implies T_2(b, 5-b)

Parabollerin tepe noktalarını belirlemek, simetri kurallarını uygulamak için gereklidir.

2

T_1

ve

T_2

noktalarının orta noktası olan

M

noktasının koordinatlarını bulalım ve

y = x - 1

doğrusunun üzerinde olduğunu kullanalım.

M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a-b+6}{2}\right)

noktası doğru denklemini sağlar:

\frac{a-b+6}{2} = \frac{a+b}{2} - 1 \implies a-b+6 = a+b-2 \implies 2b = 8 \implies b = 4

İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğru parçasının orta noktasının simetri doğrusu üzerinde olmasını gerektirir.

3

T_1 T_2

doğru parçasının eğimini bularak simetri doğrusunun eğimiyle ilişkisini kuralım.

y = x - 1

doğrusunun eğimi

1

olduğundan, ona dik olan

T_1 T_2

doğrusunun eğimi

-1

olmalıdır:

m_{T_1 T_2} = \frac{(5-b) - (a+1)}{b-a} = \frac{4-a-b}{b-a} = -1 \implies 4-a-b = -b+a \implies 2a = 4 \implies a = 2

İki noktanın bir doğruya göre simetrik olması, bu noktaları birleştiren doğrunun simetri doğrusuna dik olmasını gerektirir.

4

Bulunan

a

ve

b

değerlerini çarparak sonucu elde edelim.

a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8

Soruda istenen

a \cdot b

değerine ulaşmak için.

Key Concept

Parabolün tepe noktası koordinatları ile iki noktanın bir doğruya göre simetrik olma koşullarının (orta noktanın doğru üzerinde olması ve eğimler çarpımının -1 olması) birlikte uygulanması.

Estimated Time:2m 30s

Question 115Question →

Dik koordinat düzleminde, $f(x) = x^2 - 2x - 15$ fonksiyonunun grafiği $a$ birim sağa ve $b$ birim yukarı ötelendiğinde $g(x)$ fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

$y = g(x)$ parabolünün tepe noktası $y = -3x$ doğrusu üzerinde olup, bu parabol $y$ eksenini $(0, 4)$ noktasında kesmektedir.

$a$ ve $b$ pozitif gerçek sayılar olduğuna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

9

12

7

15

21

Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

Doğru cevap 7 değeridir.

Doğru seçenekte verilen 7 değeri; tepe noktasının koordinatları ötelenip verilen doğru denkleminde yerine yazıldığında ve y-eksenini kesim noktası koşuluyla birleştirildiğinde elde edilen a = 3 ve b = 4 pozitif değerlerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1

f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.

f(x) = x^2 - 2x - 15

parabolünün tepe noktasının apsisi

r = -\frac{-2}{2} = 1

ve ordinatı

k = f(1) = 1^2 - 2(1) - 15 = -16

olur. Tepe noktası

T_f(1, -16)

olarak bulunur.

Öteleme dönüşümünü uygulamak için orijinal parabolün tepe noktasını belirlememiz gerekir.

2

g(x) fonksiyonunun tepe noktasını öteleme miktarlarına bağlı olarak ifade edelim.

Grafik

a

birim sağa ve

b

birim yukarı ötelendiğinden, yeni tepe noktası

T_g(1+a, -16+b)

olur.

Yatayda sağa öteleme apsisi artırırken, dikeyde yukarı öteleme ordinatı artırır.

3

Yeni tepe noktasının doğru üzerindeki konumunu kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım.

T_g

noktası

y = -3x

doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları denklemi sağlar:

-16+b = -3(1+a) \Rightarrow b = 13 - 3a

elde edilir.

Bir noktan��n bir doğru üzerinde olması, koordinatlarının doğrunun denklemini sağlamasını gerektirir.

4

g(x) fonksiyonunun y-eksenini kestiği nokta bilgisini kullanarak denklemi kuralım.

g(x) = f(x-a) + b = (x-a)^2 - 2(x-a) - 15 + b

şeklindedir. Parabol y-eksenini

(0,4)

noktasında kestiği için

g(0) = 4

olur:

a^2 + 2a - 15 + b = 4 \Rightarrow a^2 + 2a + b = 19

.

y-eksenini kesim noktasını bulmak için x = 0 yazılır.

5

Elde edilen iki denklemi ortak çözerek a ve b değerlerini hesaplayalım.

b = 13 - 3a

ifadesini

a^2 + 2a + b = 19

denkleminde yerine yazarsak:

a^2 + 2a + 13 - 3a = 19 \Rightarrow a^2 - a - 6 = 0 \Rightarrow (a-3)(a+2) = 0

olur.

a

pozitif bir gerçek sayı olduğundan

a = 3

'tür. Buradan

b = 13 - 3(3) = 4

bulunur.

İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözmek için.

6

İstenen a + b toplamını bulalım.

a + b = 3 + 4 = 7

olarak bulunur.

Soruda bizden a ve b değerlerinin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde tanım kümesindeki değişkenlerden öteleme miktarı çıkarılır (f(x-a)), yukarı ötelendiğinde ise fonksiyonun değerine öteleme miktarı eklenir (f(x)+b).

Estimated Time:2m 0s

Question 116Question →

Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan bir

f

fonksiyonu, her

x

gerçel sayısı için

f(-x) + 3f(x) = 4x^3 - 2x

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 1

Answer

İstenen f(1) değeri 1 olarak bulunur.

Grafiği orijine göre simetrik olan

f

fonksiyonu bir tek fonksiyondur. Tek fonksiyonların tanımı gereği her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

eşitliği sağlanır. Verilen denklemde

x = 1

yazıldığında

f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikte tek fonksiyon özelliğinden ötürü

f(-1)

yerine

-f(1)

yazıldığında

-f(1) + 3f(1) = 2

elde edilir. Buradan

2f(1) = 2

ve

f(1) = 1

bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonun simetri özelliğini belirleyin.

f(-x) = -f(x)

Koordinat düzleminde grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.

2

Verilen denklemde

x = 1

yazarak bir eşitlik elde edin.

f(-1) + 3f(1) = 4(1)^3 - 2(1) = 2

f(1)

değerine ulaşabilmek için bilinmeyenleri içeren sayısal bir denklem kurmamız gerekir.

3

f(-1) = -f(1)

eşitliğini kullanarak denklemdeki bilinmeyen sayısını bire indirin ve denklemi çözün.

-f(1) + 3f(1) = 2 \implies 2f(1) = 2 \implies f(1) = 1

Tek fonksiyon kuralını uygulayarak tek bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde eder ve çözüme ulaşırız.

Key Concept

Grafiği orijine göre simetrik olan tek fonksiyonlarda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = -f(x)

özelliğinin sağlanması.

Question 117Question →

Bir kenarı düz bir nehir kıyısı boyunca uzanan dikdörtgen biçimindeki bir bahçe, nehre dik olan iki iç bölme çiti yardımıyla üç eş dikdörtgensel bölgeye ayrılacaktır. Bahçenin nehir kıyısındaki kenarında çit kullanılmayacaktır. Bahçenin dış sınırları (nehir kıyısı hariç) ve içindeki iki bölme için toplam $160$ metre çit kullanıldığına göre, bu bahçenin toplam alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

Show answer & explanation

Answer: 1600

Answer

Bahçenin alabileceği en büyük alan 1600 metrekaredir.

Bahçenin alanı

A(x) = x(160 - 4x) = -4x^2 + 160x

parabolü ile modellenir. Bu parabol en büyük değerini tepe noktasının ordinatında alır. Tepe noktasının koordinatları

(20, 1600)

olduğundan maksimum alan 1600 metrekaredir.

Step-by-Step Solution

1

Nehre dik olan çit parçalarının sayısını belirleme

Nehre dik toplam

4

çit parçası vardır ve her birinin uzunluğu

x

metredir. Toplam uzunlukları

4x

olur.

Bahçenin iki yan sınırı ve içini bölen iki çit de nehre diktir.

2

Nehre paralel olan kenarı

x

cinsinden ifade etme

Nehre paralel kenar

y = 160 - 4x

olarak bulunur.

Toplam kullanılan çit uzunluğu

160

metredir.

3

Alan fonksiyonunu oluşturma

Alan fonksiyonu

A(x) = -4x^2 + 160x

biçiminde ikinci dereceden bir fonksiyondur.

Dikdörtgenin alanı, dik komşu iki kenarın çarpımıdır.

4

Fonksiyonun en büyük değerini almasını sağlayan

x

değerini bulma

Tepe noktasının apsisi

r = 20

olarak bulunur.

Kolları aşağı doğru olan parabolün en büyük değeri tepe noktasındadır.

5

Maksimum alan değerini hesaplama

En büyük alan

A(20) = 1600

metrekaredir.

Bulunan tepe noktası apsisi alan fonksiyonunda yerine yazılır.

Key Concept

Parabolün tepe noktası ordinatı (

k = f(r)

) yardımıyla en büyük değerinin bulunması.

Question 118Question →

Dik koordinat düzleminde, bir köprünün kemerini temsil eden $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x$ parabolü ve bu kemerin tepe noktası ile orijini birleştiren lineer bir destek kirişi (doğru parçası) modellenmiştir. Bu köprüye, kemer ile destek kirişi arasına $y$ -eksenine paralel olacak şekilde düşey destek kolonları yerleştirilecektir.

Buna göre, yerleştirilecek düşey destek kolonunun uzunluğu en fazla olduğunda, bu kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı kaç birimdir?

2\sqrt{5}

2\sqrt{2}

3\sqrt{5}

\sqrt{5}

4\sqrt{5}

Show answer & explanation

Answer: $2\sqrt{5}$

Answer

Kolonun uzunluğunun en fazla olduğu durumda, kolonun destek kirişi ��zerindeki ucunun parabolün tepe noktasına olan uzaklığı

2\sqrt{5}

birimdir.

Düşey destek kolonunun uzunluğu parabol ile doğru arasındaki fark olan

g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x

fonksiyonu ile ifade edilir. Bu fonksiyonun maksimum değeri

x = 2

noktasında gerçekleşir. Kolonun destek kirişi (

y = 2x

) üzerindeki ucu bu apsis değerinde

(2, 4)

noktasıdır. Bu noktanın parabolün tepe noktası olan

T(4, 8)

noktasına olan uzaklığı ise

\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = 2\sqrt{5}

birimdir.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulma.

Tepe noktası

T(4, 8)

olarak bulunur.

f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x

parabolünde tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1/2)} = 4

ve ordinatı

k = f(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) = 8

olur.

2

Orijin

(0,0)

ile tepe noktası

T(4,8)

arasından geçen doğrunun denklemini bulma.

Doğru denklemi

y = 2x

olarak bulunur.

Orijinden geçen doğruların genel denklemi

y = mx

şeklindedir. Eğimi

m = \frac{8 - 0}{4 - 0} = 2

olduğundan denklem

y = 2x

olur.

3

Düşey destek kolonunun uzunluğunu veren fonksiyonu tanımlama.

Kolon uzunluğu fonksiyonu

g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x

olarak elde edilir.

0 \le x \le 4

aralığında parabol doğrunun üst kısmında yer aldığından, düşey kolonun uzunluğu parabolün ordinatı ile doğrunun ordinatı arasındaki farka eşittir:

g(x) = f(x) - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 2x

.

4

Düşey kolonun uzunluğunu maksimum yapan apsis değerini bulma.

Maksimum kolon uzunluğu

x = 2

apsisinde elde edilir.

g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x

ikinci dereceden fonksiyonunun (parabolünün) kolları aşağı doğru olup en büyük değerini tepe noktasında alır. Tepe noktasının apsisi

r_g = -\frac{2}{2 \cdot (-1/2)} = 2

olur.

5

Maksimum uzunluktaki kolonun destek kirişi üzerindeki ucunun koordinatlarını belirleme.

Uç noktanın koordinatları

(2, 4)

olur.

Destek kirişi

y = 2x

doğrusu üzerinde olduğundan,

x = 2

için y değeri

2 \cdot 2 = 4

olarak bulunur.

6

Destek kirişi üzerindeki ucun tepe noktasına olan uzaklığını hesaplama.

Uzaklık

2\sqrt{5}

birim olarak hesaplanır.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden,

(2, 4)

noktasının

T(4, 8)

noktasına uzaklığı

\sqrt{(4-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

birimdir.

Key Concept

İkinci dereceden fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini tepe noktası (

r, k

) yardımıyla bulma ve koordinat geometrisi uygulamaları.

Estimated Time:2m 30s

Question 119Question →

Her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliğini sağlayan

f

fonksiyonu

f(x) = (a - 2)x^3 + (a + 1)x^2 + (b - 3)x + b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, $f(1)$ değeri kaçtır?

3

6

0

-4

9

Show answer & explanation

Answer: 6

Answer

6 değeri doğru cevaptır.

Verilen fonksiyon her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliğini sağladığından bir çift fonksiyondur. Bu durumda tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Dolayısıyla

x^3

teriminin katsayısı olan

a-2 = 0

ve

x

teriminin katsayısı olan

b-3 = 0

eşitliklerinden

a = 2

ve

b = 3

bulunur. Bu değerler fonksiyonda yerine yazıldığında

f(x) = 3x^2 + 3

elde edilir. Son olarak

f(1) = 3(1)^2 + 3 = 6

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1

Tek dereceli terimlerin belirlenmesi ve katsayılarının sıfıra eşitlenmesi

a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2

ve

b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3

elde edilir.

Her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitli��i, fonksiyonun çift fonksiyon olduğunu gösterir. Çift fonksiyonların kurallarında tek dereceli terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır.

2

Bulunan değerlerin fonksiyon kuralında yerine yazılması

f(x) = 3x^2 + 3

fonksiyonu elde edilir.

a = 2

ve

b = 3

değerleri

f(x)

ifadesinde yerine yazılarak fonksiyon sadeleştirilir.

3

f(1)

değerinin hesaplanması

f(1) = 3(1)^2 + 3 = 6

bulunur.

İstenen fonksiyon değerini bulmak için fonksiyonda

x

yerine

1

yazılır.

Key Concept

Çift fonksiyonlarda tek dereceli terimlerin katsayılarının sıfır olması ve fonksiyon değerinin hesaplanması.

Question 120Question →

Dik koordinat düzleminde,

f(x) = x^2 - 2x - 8

fonksiyonunun grafiği olan parabolün koordinat eksenlerini kestiği noktalar

A

,

B

ve

C

(

C

noktası

y

-ekseni üzerindedir) olarak adlandırılıyor. Köşeleri bu

A

,

B

ve

C

noktaları olan

ABC

üçgeninin diklik merkezi

H

noktası olduğuna göre,

H

noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

-8

-6

-2

-1

1

Show answer & explanation

Answer: -1

Answer

Diklik merkezinin koordinatları toplamı -1'dir.

Parabolün eksenleri kestiği noktalar A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8) olarak bulunur. AB kenarı x-ekseni üzerinde olduğu için C köşesinden çizilen yükseklik y-eksenidir. Dolayısıyla diklik merkezi y-ekseni üzerinde, yani apsisi 0 olan bir H(0, y) noktasıdır. BC doğrusunun eğimi 2 olduğundan, A köşesinden inen yüksekliğin eğimi -1/2'dir. A(-2, 0) noktasından geçen ve eğimi -1/2 olan doğrunun denklemi y = -1/2(x+2) olup, bu doğrunun y-eksenini kestiği nokta H(0, -1) olur. Koordinatları toplamı ise -1'dir.

Step-by-Step Solution

1

Parabolün eksenleri kestiği noktaları belirleme

A(-2, 0), B(4, 0) ve C(0, -8)

x-eksenini kestiği noktaları bulmak için y = 0 yazılarak x^2 - 2x - 8 = 0 denkleminin kökleri x = -2 ve x = 4 bulunur. y-eksenini kestiği noktayı bulmak için x = 0 yazılarak y = -8 bulunur.

2

Diklik merkezinin apsisini bulma

H noktasının apsisi x = 0'dır.

A ve B noktaları x-ekseni üzerinde olduğundan, ABC üçgeninin AB kenarı x-ekseni üzerindedir. C(0, -8) noktasından AB kenarına inen yükseklik y-ekseni üzerindedir. Diklik merkezi yüksekliklerin kesim noktası olduğundan y-ekseni üzerinde olmalıdır, bu yüzden apsisi 0'dır.

3

A noktasından BC kenarına inen yüksekliğin denklemini bulma ve ordinatı belirleme

Yüksekliğin denklemi y = -1/2(x + 2) ve H noktasının ordinatı y = -1'dir.

B(4, 0) ve C(0, -8) noktalarından geçen BC doğrusunun eğimi m_BC = (0 - (-8)) / (4 - 0) = 2'dir. A(-2, 0) noktasından inen yükseklik BC doğrusuna dik olduğundan eğimi m = -1/2'dir. Bu yüksekliğin denklemi y - 0 = -1/2(x - (-2)) olur. H noktasının apsisi 0 olduğundan denklemde x = 0 yazılarak ordinat y = -1 bulunur.

4

Koordinatlar toplamını hesaplama

0 + (-1) = -1

Bulunan H(0, -1) noktasının koordinatları toplanır.

Key Concept

Parabolün eksenleri kestiği noktaların koordinatlarını bulma ve koordinat düzleminde diklik merkezi özelliklerini uygulama.

Estimated Time:2m 30s

Fonksiyonlar ve Uygulamaları

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution