Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değerli Denklemler

Bir kimya laboratuvarındaki hassas bir reaksiyon kabının sıcaklığı (xx °C), hedeflenen TT tam sayı sıcaklık değerine göre kontrol edilmektedir. Sıcaklık kontrol ünitesi,

∣∣x−T∣−4∣=1||x - T| - 4| = 1

denklemini sağlayan xx sınır sıcaklık değerlerinde uyarı vermektedir.

Bu kontrol ünitesinin uyarı verdiği farklı xx sıcaklık değerlerinden yalnızca 1 tanesi negatif tam sayı olduğuna göre, hedeflenen TT sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -5
  2. B
    0
  3. C
    4
  4. 7Answer
  5. E
    9

Answer

Hedeflenen sıcaklık de��eri olan TT tam sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı 7'dir.
Verilen denklemin çözümü yapıldığında dört farklı kök olan T−5T-5, T−3T-3, T+3T+3 ve T+5T+5 elde edilir. Bu köklerin büyüklük sıralaması T−5<T−3<T+3<T+5T-5 < T-3 < T+3 < T+5 şeklindedir. Bu köklerden yalnızca birinin negatif tam sayı olması istendiğinden, en küçük kök negatif (T−5<0T-5 < 0) ve diğer tüm kökler sıfır ya da pozitif (T−3≥0T-3 \ge 0) olmalıdır. Buradan elde edilen 3≤T<53 \le T < 5 eşitsizliğini sağlayan TT tam sayıları 3 ve 4'tür. Bu değerlerin toplamı ise 7 olur.

Step-by-Step Solution

1
Mutlak değerli denklemin dıştaki mutlak değerini açarak iki farklı durum elde etmek.
∣x−T∣−4=1|x - T| - 4 = 1 veya ∣x−T∣−4=−1|x - T| - 4 = -1 denklemleri bulunur.
∣A∣=B|A| = B biçimindeki denklemlerin çözümünde A=BA = B veya A=−BA = -B durumlar�� incelenir.
2
Elde edilen her iki denklemdeki iç mutlak değerli ifadeleri yalnız bırakmak.
∣x−T∣=5|x - T| = 5 ve ∣x−T∣=3|x - T| = 3 denklemleri elde edilir.
İkinci seviye mutlak değer çözümü için mutlak değerli terimler yalnız bırakılmalıdır.
3
Mutlak değerli denklemleri çözerek xx değerlerini TT cinsinden bulmak.
x=T+5x = T + 5, x=T−5x = T - 5, x=T+3x = T + 3, x=T−3x = T - 3 kökleri bulunur.
Her iki denklemin pozitif sayıya eşit olması nedeniyle toplam 4 farklı gerçek kök oluşur.
4
Kökleri küçükten büyüğe sıralayıp negatiflik koşulunu uygulamak.
T−5<T−3<T+3<T+5T - 5 < T - 3 < T + 3 < T + 5 sıralamasında yalnızca T−5<0T - 5 < 0 ve T−3≥0T - 3 \ge 0 olmalıdır.
Köklerden yalnızca birinin negatif tam sayı olması için en küçük kökün negatif, diğerlerinin ise sıfır veya pozitif olması gerekir.
5
Elde edilen eşitsizlik sistemini çözüp TT tam sayı değerlerini toplamak.
3≤T<53 \le T < 5 aralığından T∈{3,4}T \in \{3, 4\} elde edilir. Toplamları 3+4=73 + 4 = 7 olur.
Eşitsizlikleri sağlayan TT tam sayı değerlerini bulup toplamak hedeflenen sonuca ulaştırır.

Key Concept

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümü ve elde edilen köklerin sayı kümeleri sınırlarına göre incelenmesi.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic