Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Denklemler

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 11 noktasına olan uzaklığı, −5-5 noktasına olan uzaklığının yarısına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. A
    -2/3
  2. B
    14/3
  3. 6Answer
  4. D
    28/3
  5. E
    7

Answer

6
Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir. Buna göre xx sayısının 11 noktasına olan uzaklığı ∣x−1∣|x - 1|, −5-5 noktasına olan uzaklığı ise ∣x−(−5)∣=∣x+5∣|x - (-5)| = |x + 5| olur. Verilen koşuldan 2∣x−1∣=∣x+5∣2|x - 1| = |x + 5| denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=7x = 7 ve x=−1x = -1 kökleri bulunur. Bu köklerin toplamı ise 6 olur.

Step-by-Step Solution

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ifadelerini mutlak değer sembolleri kullanarak yazma.
xx gerçek sayısının 11 noktasına olan uzaklığı ∣x−1∣|x - 1| ve −5-5 noktasına olan uzaklığı ∣x−(−5)∣=∣x+5∣|x - (-5)| = |x + 5| şeklinde yazılır.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değerine eşittir.
2
Verilen oran ilişkisine göre mutlak değerli denklemi kurma.
∣x−1∣=∣x+5∣2|x - 1| = \frac{|x + 5|}{2} yani 2∣x−1∣=∣x+5∣2|x - 1| = |x + 5| denklemi elde edilir.
Birinci uzaklık ikincinin yarısına eşit olduğundan bu eşitlik kurulur.
3
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözme.
1. Durum: 2(x−1)=x+5⇒2x−2=x+5⇒x=72(x - 1) = x + 5 \Rightarrow 2x - 2 = x + 5 \Rightarrow x = 7
2. Durum: 2(x−1)=−(x+5)⇒2x−2=−x−5⇒3x=−3⇒x=−12(x - 1) = -(x + 5) \Rightarrow 2x - 2 = -x - 5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1
∣a∣=∣b∣|a| = |b| ise a=ba = b veya a=−ba = -b olmalıdır.
4
Elde edilen xx değerlerini toplama.
7+(−1)=67 + (-1) = 6
Soruda bu koşulu sağlayan tüm xx değerlerinin toplamı istendiği için bulunan kökler toplanır.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerde uzaklık kavramının cebirsel ifadesi ve mutlak değer dışına çıkarma kuralları.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde 1'e olan uzaklığın, -5'e olan uzaklığın yarısı olması geometrik olarak da incelenebilir. 1 ve -5 noktaları arasındaki uzaklık 6 birimdir. Aradığımız x noktası bu iki noktanın arasında veya dışında olabilir. İçerideki nokta için oran 1'e 2 olmalıdır; bu durumda x = -1 noktası 1'e 2 birim, -5'e 4 birim uzaklıktadır. Dışarıdaki nokta için x = 7 noktası 1'e 6 birim, -5'e 12 birim uzaklıktadır. Bu iki değerin toplamı 7 + (-1) = 6 olarak bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic