Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değerli Denklemler

Dikey bir doğrultuda hareket eden bir insansız hava aracının (İHA) deniz seviyesine göre yüksekliği (metre cinsinden) xx gerçel sayısı ile modellenmiştir. Bu İHA'nın deniz seviyesinin 44 metre üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı ile deniz seviyesinin 22 metre altındaki bir noktaya olan uzaklığının çarpımı, deniz seviyesine olan uzaklığına eşittir. Buna göre, bu koşulu sağlayan İHA'nın bulunabileceği farklı yükseklik değerlerinin toplamı kaç metredir?

Answer: 4 metre

Answer

İHA'nın bulunabileceği farklı yükseklik değerlerinin toplamı 4 metredir.
Verilen sözel ifadeler matematiksel olarak modellendiğinde ∣x−4∣⋅∣x+2∣=∣x∣|x-4| \cdot |x+2| = |x| denklemi elde edilir. Bu denklem ∣x2−2x−8∣=∣x∣|x^2-2x-8|=|x| haline getirildikten sonra iki ayrı gerçel kök üreten ikinci dereceden denkleme ayrılır. Bu denklemlerin diskriminantları pozitif olup toplam 4 farklı gerçel kök bulunur. Vieta formülleri uygulandığında kökler toplamı 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi mutlak değerli denklem biçiminde modelleme
∣x−4∣⋅∣x+2∣=∣x∣|x - 4| \cdot |x + 2| = |x|
Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir. +4+4 noktasına uzaklık ∣x−4∣|x - 4|, −2-2 noktasına uzaklık ∣x−(−2)∣=∣x+2∣|x - (-2)| = |x + 2| ve başlangıç noktasına (deniz seviyesine) uzaklık ∣x∣|x| şeklindedir.
2
Mutlak değer özelliklerini kullanarak denklemi sadeleştirme
∣x2−2x−8∣=∣x∣|x^2 - 2x - 8| = |x|
∣a∣⋅∣b∣=∣a⋅b∣|a| \cdot |b| = |a \cdot b| özelliği kullanılarak sol taraftaki çarpım tek bir mutlak değer içine alınır.
3
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durum halinde çözme
x2−3x−8=0x^2 - 3x - 8 = 0 veya x2−x−8=0x^2 - x - 8 = 0
∣A∣=∣B∣  ⟹  A=B|A| = |B| \implies A = B veya A=−BA = -B eşitliği kullanılarak mutlak değerler kaldırılır.
4
Denklemlerin gerçel köklerinin varlığını kontrol etme ve kökler toplamını bulma
x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 ve x3+x4=1x_3 + x_4 = 1 olup toplam kökler toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olur.
Her iki denklemin diskriminantı sıfırdan büyük olduğundan gerçel kökler mevcuttur. Ortak kök bulunmadığı için köklerin tamamı farklıdır. Vieta formülü yardımıyla kökler ayrı ayrı bulunmadan toplamları hesaplanır.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde uzaklık kavramının modellenmesi, mutlak değer çarpım özelliği ve ∣A∣=∣B∣|A| = |B| tipindeki denklemlerin çözümü.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic