Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Değer Bulma
Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu, her nn pozitif tam sayısı için
f(n)={n−3,n tek isef(n2)+1,n c¸ift isef(n) = \begin{cases} n - 3, & n \text{ tek ise} \\ f\left(\frac{n}{2}\right) + 1, & n \text{ çift ise} \end{cases}
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, f(a)=5f(a) = 5 eşitliğini sağlayan iki basamaklı aa doğal sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    136
  2. 150Answer
  3. C
    238
  4. D
    278
  5. E
    24

Answer

İki basamaklı a doğal sayılarının toplamı 150'dir.
Fonksiyon tanımına göre pozitif bir a sayısı a = 2^k * m (m tek sayı) olarak yazıldığında, f(a) = m - 3 + k eşitliği sağlanır. f(a) = 5 olması için m + k = 8 olmalıdır. m tek sayı ve k >= 0 koşulunu sağlayan iki basamaklı a değerleri 14, 40 ve 96'dır. Bu sayıların toplamı 150 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Fonksiyonun kuralını a=2k⋅ma = 2^k \cdot m (mm tek sayı ve k≥0k \ge 0 tam sayı) genel gösterimi için ifade etmek.
f(a)=(m−3)+kf(a) = (m - 3) + k genel formülü elde edilir.
Çift sayılar için her 2'ye bölme işleminde fonksiyona 1 eklendiğinden, kk adet bölme işlemi sonunda tek sayı olan mm değerine ulaşılır.
2
f(a)=5f(a) = 5 eşitliğini genel formüle uygulamak ve mm ile kk arasındaki ilişkiyi bulmak.
(m−3)+k=5  ⟹  m+k=8(m - 3) + k = 5 \implies m + k = 8 denklemi elde edilir.
İstenen fonksiyon değerine ulaşmak için mm ve kk değişkenlerinin alabileceği değerlerin sınırlarını belirlemek gerekir.
3
mm değerinin tek sayı ve k≥0k \ge 0 tam sayı olması koşullarını kullanarak olası (m,k)(m, k) ikililerini ve bunlara karşılık gelen aa değerlerini belirlemek.
m=1  ⟹  k=7  ⟹  a=128m=1 \implies k=7 \implies a=128, m=3  ⟹  k=5  ⟹  a=96m=3 \implies k=5 \implies a=96, m=5  ⟹  k=3  ⟹  a=40m=5 \implies k=3 \implies a=40 ve m=7  ⟹  k=1  ⟹  a=14m=7 \implies k=1 \implies a=14 değerleri bulunur.
mm pozitif tek tam sayı olmak zorundadır, bu yüzden mm değeri sadece 1, 3, 5 ve 7 değerlerini alabilir.
4
Bulunan aa değerlerinden iki basamaklı olanları seçip toplamak.
İki basamaklı sayılar 14, 40 ve 96 olup, toplamları 14+40+96=15014 + 40 + 96 = 150 olarak hesaplanır.
Soru kökündeki 'iki basamaklı' koşulu gereği 128 değeri elenir ve kalan uygun değerler toplanır.

Key Concept

Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Parçalı/İndirgemeli Fonksiyonlar
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Değer Bulma

More questions from this topic