Examkin

Question

Difficulty: Very hardMutlak Değerli Denklemler

Bir sayı doğrusu üzerinde yer alan AA, BB ve CC teslimat noktalarının koordinatları sırasıyla aa, bb ve cc gerçek sayılarıdır. Bu noktaların koordinatları arasında a<b<ca < b < c sıralaması bulunmakta ve BB noktası, AA ile CC noktalarının tam ortasında yer almaktadır.

Bu sayı doğrusu üzerinde konumlandırılacak bir xx kontrol noktasının AA ve CC noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, BB noktasına olan uzaklığının 33 katına eşittir.

Bu koşulu sağlayan yalnızca iki farklı xx gerçek sayısı bulunmakta ve bu sayıların toplamı 1616 olmaktadır.

Buna göre, BB noktasının koordinatı olan bb değeri kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. 8Answer
  4. D
    12
  5. E
    16

Answer

B noktasının koordinatı olan b değeri 8'dir.
B noktası, A ve C noktalarının orta noktası olduğundan, A ve C noktalarına olan uzaklıklar toplamı B noktasına göre simetriktir. u=x−bu = x - b dönüşümü yapıldığında elde edilen ∣u+d∣+∣u−d∣=3∣u∣|u + d| + |u - d| = 3|u| denkleminin çözümleri u=±2d3u = \pm \frac{2d}{3} olur. Buradan xx değerleri b−2d3b - \frac{2d}{3} ve b+2d3b + \frac{2d}{3} olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 2b2b olup 2b=162b = 16 eşitliğinden b=8b = 8 elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
B noktasının, A ve C noktalarının tam ortasında olmasını matematiksel olarak ifade etmek.
∣b−a∣=∣c−b∣=d>0|b - a| = |c - b| = d > 0 olsun. Buradan a=b−da = b - d ve c=b+dc = b + d yazılabilir.
Sayı doğrusunda simetriyi kullanarak değişken sayısını azaltmak ve denklemi sadeleştirmek.
2
Soruda verilen uzaklık ilişkisini mutlak değerli denklem olarak yazıp yeni değişkene göre düzenlemek.
∣x−a∣+∣x−c∣=3∣x−b∣|x - a| + |x - c| = 3|x - b| denkleminde a=b−da = b-d ve c=b+dc = b+d yazılırsa: ∣x−(b−d)∣+∣x−(b+d)∣=3∣x−b∣|x - (b - d)| + |x - (b + d)| = 3|x - b| elde edilir. Burada u=x−bu = x - b değişken değiştirmesi yapılırsa denklem ∣u+d∣+∣u−d∣=3∣u∣|u + d| + |u - d| = 3|u| hâline gelir.
Denklemi b noktasına göre simetrik hâle getirerek çözümü kolaylaştırmak.
3
∣u+d∣+∣u−d∣=3∣u∣|u + d| + |u - d| = 3|u| denkleminin çözüm kümesini u değerleri için bulmak.
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar −d-d, 00 ve dd'dir. Kritik noktalara göre aralık incelemesi yapıldığında, u≥du \ge d ve u<−du < -d için çözüm gelmezken, 0≤u<d0 \le u < d için u=2d3u = \frac{2d}{3} ve −d≤u<0-d \le u < 0 için u=−2d3u = -\frac{2d}{3} çözümleri elde edilir.
Mutlak değerlerin işaret incelemesini yaparak tüm olası kökleri tespit etmek.
4
Bulunan u çözümlerini x değişkenine geri dönüştürerek x değerlerinin toplamını eşitlemek.
x1=b+2d3x_1 = b + \frac{2d}{3} ve x2=b−2d3x_2 = b - \frac{2d}{3} olur. Bu iki değerin toplamı x1+x2=2bx_1 + x_2 = 2b olur. Soruda kökler toplamı 16 verildiğinden, 2b=16  ⟹  b=82b = 16 \implies b = 8 olarak bulunur.
Köklerin toplamı bilgisini kullanarak b parametresini hesaplamak.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalarına göre aralık incelemesi yapılarak çözülmesi ve simetrik değişken değiştirme yöntemiyle basitleştirilmesi.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic