Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Denklemler

Doğrusal bir raylı sistem hattı üzerinde konumları belirlenen iki bakım istasyonundan birincisi −6-6. kilometrede, ikincisi ise 1212. kilometrededir. Bu hat üzerinde bulunan bir bakım aracının her iki istasyona olan uzaklıklarının toplamı 2424 kilometredir.

Buna göre, bu bakım aracının hattaki konumunu temsil eden sayıların alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    −108-108
  2. B
    −72-72
  3. −135-135Answer
  4. D
    108108
  5. E
    135135

Answer

Bakım aracının alabileceği konum değerlerinin çarpımı −135-135 sayısıdır.
Bakım aracının istasyonlara olan uzaklıklarının toplamı ∣x+6∣+∣x−12∣=24|x + 6| + |x - 12| = 24 denklemi ile modellenir. Bu denklem x>12x > 12, −6≤x≤12-6 \le x \le 12 ve x<−6x < -6 aralıklarında incelendiğinde, aracın alabileceği konum değerleri 1515 ve −9-9 olarak bulunur. Bu değerlerin çarpımı −135-135 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
Bakım aracının konumu x olarak belirlenip istasyonlara olan uzaklıklar cinsinden mutlak değerli denklem kurulur.
∣x+6∣+∣x−12∣=24|x + 6| + |x - 12| = 24
Bir noktanın diğer noktalara olan uzaklığı mutlak değerle ifade edilir ve toplamları 24 olarak verilmiştir.
2
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan x=−6x = -6 ve x=12x = 12 kritik noktalarına göre sayı doğrusu üç bölgeye ayrılarak incelenir.
Bölgeler: x<−6x < -6, −6≤x≤12-6 \leq x \leq 12, x>12x > 12
Farklı aralıklarda mutlak değerlerin dışarıya çıkış işaretleri değişiklik gösterir.
3
x>12x > 12 aralığı için mutlak değerler dışarı çıkarılarak denklem çözülür.
(x+6)+(x−12)=24⇒2x−6=24⇒2x=30⇒x=15(x + 6) + (x - 12) = 24 \Rightarrow 2x - 6 = 24 \Rightarrow 2x = 30 \Rightarrow x = 15 (Bu değer 15>1215 > 12 koşulunu sağlar).
Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de pozitif olduğundan aynen dışarı çıkarlar.
4
−6≤x≤12-6 \leq x \leq 12 aralığı için mutlak değerler d��şarı çıkarılarak denklem çözülür.
(x+6)−(x−12)=24⇒18=24(x + 6) - (x - 12) = 24 \Rightarrow 18 = 24 (Çelişki, bu aralıkta çözüm yoktur).
Bu aralıkta ilk ifade pozitif, ikinci ifade negatif olduğundan ikinci ifade işaret değiştirerek çıkar.
5
x<−6x < -6 aralığı için mutlak değerler dışarı çıkarılarak denklem çözülür.
−(x+6)−(x−12)=24⇒−2x+6=24⇒−2x=18⇒x=−9-(x + 6) - (x - 12) = 24 \Rightarrow -2x + 6 = 24 \Rightarrow -2x = 18 \Rightarrow x = -9 (Bu değer −9<−6-9 < -6 koşulunu sağlar).
Bu aralıkta her iki mutlak değerin içi de negatif olduğundan işaret değiştirerek dışarı çıkarlar.
6
Bulunan xx değerlerinin çarpımı hesaplanır.
15×(−9)=−13515 \times (-9) = -135
Soru kökünde aracın konumunu temsil eden değerlerin çarpımı istenmektedir.

Key Concept

Mutlak Değerli Denklemlerin Çözüm Kümesi
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic