Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Denklemler

Bir sayı doğrusu modeli üzerinde çalışan bir yazılım, girilen xx gerçek sayısının 55 noktasına olan uzaklığını hesaplamaktadır. Sistemin ürettiği bu uzaklık değerinin 88 noktasına olan uzaklığı ise 44 birim olarak bulunmuştur.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx doğal sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    26
  3. 27Answer
  4. D
    17
  5. E
    10

Answer

Koşulu sağlayan doğal sayıların toplamı 27'dir.
Bulunan tüm gerçek kökler {−7,1,9,17}\{-7, 1, 9, 17\} olup, bunlar arasından sadece doğal sayı olan 11, 99 ve 1717 değerleri toplanarak 27 sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Sözel ifadeyi mutlak değerli bir denklem olarak yazmak.
xx sayısının 55 noktasına olan uzaklığı ∣x−5∣|x - 5| ile gösterilir. Bu değerin 88 noktasına olan uzaklığı ise ∣∣x−5∣−8∣=4||x - 5| - 8| = 4 denklemiyle ifade edilir.
Soruda verilen sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ilişkilerini cebirsel formüle dökmek için.
2
Dıştaki mutlak değer ifadesini açarak iki farklı durum elde etmek.
∣x−5∣−8=4|x - 5| - 8 = 4 veya ∣x−5∣−8=−4|x - 5| - 8 = -4 eşitlikleri elde edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucunun pozitif bir sayıya eşit olması durumunda, ifadenin içi bu sayının pozitif veya negatif değerine eşit olmalıdır.
3
Birinci durumu (∣x−5∣−8=4|x - 5| - 8 = 4) çözmek.
∣x−5∣=12|x - 5| = 12 olur. Buradan x−5=12⇒x=17x - 5 = 12 \Rightarrow x = 17 ve x−5=−12⇒x=−7x - 5 = -12 \Rightarrow x = -7 kökleri bulunur.
Sırasıyla pozitif ve negatif durumları inceleyerek kökleri elde etmek için.
4
İkinci durumu (∣x−5∣−8=−4|x - 5| - 8 = -4) çözmek.
∣x−5∣=4|x - 5| = 4 olur. Buradan x−5=4⇒x=9x - 5 = 4 \Rightarrow x = 9 ve x−5=−4⇒x=1x - 5 = -4 \Rightarrow x = 1 kökleri bulunur.
Diğer olası durumdan gelecek olan kökleri tespit etmek için.
5
Köklerin sayı kümesi kısıtlamasına göre elenmesi ve toplanması.
Bulunan kökler {−7,1,9,17}\{-7, 1, 9, 17\} kümesidir. Soruda doğal sayı istendiği için −7-7 elenir. Kökler toplamı 1+9+17=271 + 9 + 17 = 27 olarak bulunur.
Bulunan tüm gerçek sayı kökleri arasından yalnızca doğal sayı olanları seçip toplamı bulmak için.

Key Concept

İç içe mutlak değerli denklemlerin adım adım dıştan içe doğru çözülmesi ve elde edilen köklerin soru kökündeki sayı kümesi kısıtlamalarına göre elenmesi.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic