Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Denklemler

Bir hassas sıcaklık ölçer cihazı, bulunduğu ortamın gerçek sıcaklığı olan TT değeri ile kendi ekranında gösterdiği sıcaklık değeri olan xx arasındaki farkı ölçmektedir. Bu cihazda, gerçek sıcaklık ile gösterilen sıcaklık değeri arasındaki farkın mutlak değerinin, gösterilen sıcaklık değerinin 22 katının 3∘C3^\circ\text{C} eksiğine eşit olduğu bilinmektedir.

Ortamın gerçek sıcaklığı 24∘C24^\circ\text{C} olduğuna göre, cihazın ekranında görünebilecek farklı sıcaklık değerlerinin toplamı kaç ∘C^\circ\text{C}'dir?

  1. 9Answer
  2. B
    -12
  3. C
    30
  4. D
    -21
  5. E
    15

Answer

Cihazın ekranında görünebilecek farklı sıcaklık değerlerinin toplamı 9'dur.
Denklemin çözümünden elde edilen aday köklerden yalnızca 9 değeri tanımlı olma koşulunu (x≥1,5x \geq 1,5) sağlar. Diğer aday kök olan -21 değeri, eşitliğin sağ tarafını negatif yaptığı için elenir. Dolayısıyla, ekran üzerinde görünebilecek tek değer 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel bir denkleme dönüştürün.
∣24−x∣=2x−3|24 - x| = 2x - 3 denklemi elde edilir.
Gerçek sıcaklık ile gösterilen sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri ∣24−x∣|24 - x| olup, bu değer gösterilen sıcakl��ğın 2 katının 3 eksiği olan 2x−32x - 3 ifadesine eşittir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin mutlak değer tanımı gereği negatif olamayacağı koşulunu belirleyin.
2x−3≥0  ⟹  x≥1,52x - 3 \geq 0 \implies x \geq 1,5 olmalıdır.
Bir mutlak değerli ifadenin sonucu negatif bir sayıya eşit olamaz.
3
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durumda inceleyerek çözün.
Birinci durum: 24−x=2x−3  ⟹  3x=27  ⟹  x=924 - x = 2x - 3 \implies 3x = 27 \implies x = 9. İkinci durum: 24−x=−(2x−3)  ⟹  24−x=−2x+3  ⟹  x=−2124 - x = -(2x - 3) \implies 24 - x = -2x + 3 \implies x = -21.
Mutlak değerin içi ya sağdaki ifadeye ya da onun ters işaretlisine eşittir.
4
Elde edilen köklerin tanımlı olma koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=9x = 9 değeri x≥1,5x \geq 1,5 koşulunu sağlarken, x=−21x = -21 değeri bu koşulu sağlamaz ve elenir.
x=−21x = -21 için 2x−3=2(−21)−3=−45<02x - 3 = 2(-21) - 3 = -45 < 0 olmaktadır ve mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamaz.
5
Koşulu sağlayan farklı sıcaklık değerlerinin toplamını bulun.
Toplam değer 9 olarak bulunur.
Tek geçerli kök x=9x = 9 olduğu için toplam da 9'dur.

Key Concept

Mutlak değerli bir denklemin çözüm kümesi bulunurken, mutlak değerin eşit olduğu ifadenin negatif olamayacağı koşulu göz önünde bulundurulmalıdır.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic