Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değerli Denklemler

Bir otoyol üzerindeki iki farklı hız kontrol kamerası, başlangıç noktası kabul edilen bir gişeden sırasıyla 55 km geride (−5-5. km) ve 55 km ileride (55. km) konumlandırılmıştır. Bu otoyolda hareket eden bir aracın gişeye göre konumu xx. km'dir (xx bir tam sayıdır). Aracın bu iki kameraya olan uzaklıklarının toplamı, konumunun karesinin 66 eksiğine eşittir. Buna göre, aracın konumunun alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    -25
  2. B
    -8
  3. C
    64
  4. -16Answer
  5. E
    -9

Answer

Aracın konumunun alabileceği farklı değerlerin çarpımı -16'dır.
Doğru cevap olan değer, −5<x<5-5 < x < 5 aralığında mutlak değerlerin dışarıya toplamda 10 olarak çıkmasıyla kurulan 10=x2−610 = x^2 - 6 denkleminin sağladığı x=4x = 4 ve x=−4x = -4 tam sayılarının çarpımı olan -16'dır.

Step-by-Step Solution

1
Verilen bilgilere göre matematiksel denklemi kurmak.
∣x−(−5)∣+∣x−5∣=x2−6⇒∣x+5∣+∣x−5∣=x2−6|x - (-5)| + |x - 5| = x^2 - 6 \Rightarrow |x + 5| + |x - 5| = x^2 - 6 denklemi elde edilir.
Aracın konumu xx tam sayısı olup, iki kameraya olan uzaklıkları ∣x+5∣|x + 5| ve ∣x−5∣|x - 5| olarak ifade edilir.
2
Denklemi kritik noktalar olan x=−5x = -5 ve x=5x = 5 değerlerine göre aralıklara ayırarak incelemek.
Üç farklı aralık belirlenir: x≥5x \ge 5, −5<x<5-5 < x < 5 ve x≤−5x \le -5.
Mutlak değer içerisindeki ifadelerin işaret değiştirdiği noktalar denklemin çözüm aralıklarını belirler.
3
−5<x<5-5 < x < 5 aralığı için denklemi çözmek.
Bu aralıkta x+5>0x+5 > 0 ve x−5<0x-5 < 0 olduğundan denklem (x+5)−(x−5)=x2−6⇒10=x2−6⇒x2=16⇒x=4(x+5) - (x-5) = x^2 - 6 \Rightarrow 10 = x^2 - 6 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4 veya x=−4x = -4 olarak bulunur. Her iki değer de aralıkta yer alır.
Aralık sınırları dahilindeki gerçek çözümleri tespit etmek.
4
x≥5x \ge 5 ve x≤−5x \le -5 aralıkları için denklemleri çözmek.
x≥5x \ge 5 için 2x=x2−6⇒x2−2x−6=02x = x^2 - 6 \Rightarrow x^2 - 2x - 6 = 0 denkleminin tam sayı kökü yoktur. x≤−5x \le -5 için −2x=x2−6⇒x2+2x−6=0-2x = x^2 - 6 \Rightarrow x^2 + 2x - 6 = 0 denkleminin de tam sayı kökü yoktur.
Diğer aralıklarda olası tam sayı köklerin varlığını kontrol etmek.
5
Bulunan tam sayı değerlerinin çarpımını hesaplamak.
4×(−4)=−164 \times (-4) = -16 olarak hesaplanır.
Soruda istenen nihai çarpım sonucuna ulaşmak.

Key Concept

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalara göre aralıklara ayrılarak çözülmesi ve sayı kümelerinin sınırlandırılması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic