Examkin

Question

Difficulty: MediumMutlak Değerli Denklemler

Her aa gerçel sayısı için ∣∣x−a∣−2∣=3||x - a| - 2| = 3 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 4 elemanlıdır.

Answer: Answer

Answer

Verilen önerme yanlıştır. Denklemin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 4 elemanlı değil, her a gerçel sayısı için 2 elemanlıdır.
Verilen önerme yanlıştır, çünkü mutlak değerli bir ifade negatif bir sayıya eşit olamaz ve bu durum denklemin kök sayısını azaltarak toplamda sadece 2 kök oluşturur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen denklemi dıştaki mutlak değerden kurtararak iki ayrı eşitlik şeklinde yazın.
∣x−a∣−2=3|x - a| - 2 = 3 veya ∣x−a∣−2=−3|x - a| - 2 = -3 elde edilir.
∣u∣=c|u| = c (burada c≥0c \ge 0) ise u=cu = c veya u=−cu = -c özelliğini uygulamaktır.
2
Elde edilen eşitliklerdeki sabit terimleri sağ tarafa geçirerek mutlak değerli terimleri yalnız bırak��n.
∣x−a∣=5|x - a| = 5 veya ∣x−a∣=−1|x - a| = -1 denklemlerine ulaşılır.
İçteki mutlak değerli ifadelerin eşit olduğu değerleri belirlemektir.
3
Bulunan denklemlerin gerçel sayılardaki çözüm kümelerini ve eleman sayılarını analiz edin.
∣x−a∣=5|x - a| = 5 denkleminin kökleri x=a+5x = a + 5 ve x=a−5x = a - 5 olup 2 elemanlıdır. ∣x−a∣=−1|x - a| = -1 denkleminin ise mutlak değerin negatif olamayacağı kuralı gereği gerçel sayılarda çözümü yoktur (boş kümedir).
Her bir alt denklemin köklerini bulup toplam gerçel kök sayısının 2 olduğunu saptamaktır.

Key Concept

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümünde mutlak değerin tanımı gereği negatif sayılara eşit olamayacağı gerçeği.
Rate this question

Topics

Mutlak Değerli Denklemler

More questions from this topic