Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Değer Bulma
Tanım kümesi gerçel sayılar olan ff fonksiyonu,
f(x)={3x+11,x<−12−x,x≥−1f(x) = \begin{cases} 3x + 11, & x < -1 \\ 2 - x, & x \ge -1 \end{cases}
kuralı ile veriliyor.
Buna göre, f(f(a))=5f(f(a)) = 5 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    00
  2. B
    −2-2
  3. −13-\frac{1}{3}Answer
  4. D
    −3-3
  5. E
    13\frac{1}{3}

Answer

Eşitliği sağlayan ger��el sayıların toplamı −13-\frac{1}{3} değeridir.
Bileşke fonksiyon yapısında f(f(a))=5f(f(a)) = 5 eşitliğini çözmek için öncelikle f(a)=yf(a) = y denilerek dıştaki fonksiyon için f(y)=5f(y) = 5 denklemi çözülür. Parçalı fonksiyonun dalları incelendiğinde, y<−1y < -1 için 3y+11=5⇒y=−23y + 11 = 5 \Rightarrow y = -2 değeri aralık şartını sağladığından geçerlidir. y≥−1y \ge -1 için 2−y=5⇒y=−32 - y = 5 \Rightarrow y = -3 değeri ise aralık şartını sağlamadığından elenir. Dolayısıyla yalnızca f(a)=−2f(a) = -2 eşitliği çözülür. Buradan a<−1a < -1 için a=−13/3a = -13/3 ve a≥−1a \ge -1 için a=4a = 4 değerleri elde edilir. Bu iki gerçel sayının toplamı ise −1/3-1/3 olur.

Step-by-Step Solution

1
Bileşke fonksiyon eşitliğini çözmek amacıyla dıştaki fonksiyonu ele alarak f(a)=yf(a) = y dönüşümü yapmak.
f(y)=5f(y) = 5 denklemi elde edilir.
İç içe geçmiş fonksiyon yapısını basitleştirmek ve adım adım çözüm üretmek.
2
f(y)=5f(y) = 5 denklemini fonksiyonun her iki parçası için ayrı ayrı çözmek ve bulduğumuz yy değerlerinin tanımlı aralık şartlarını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
y<−1y < -1 dalı için: 3y+11=5⇒3y=−6⇒y=−23y + 11 = 5 \Rightarrow 3y = -6 \Rightarrow y = -2 bulunur. −2<−1-2 < -1 şartı sağlandığı için bu değer kabul edilir. y≥−1y \ge -1 dalı için: 2−y=5⇒y=−32 - y = 5 \Rightarrow y = -3 bulunur. Ancak −3≥−1-3 \ge -1 şartı sağlanmadığı için bu değer elenir.
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda elde edilen değerlerin ilgili parçanın tanım aralığına uygun olması zorunludur.
3
Kabul edilen tek değer olan f(a)=−2f(a) = -2 denklemini, fonksiyonun kurallarına göre yine iki durum için ayrı ayrı çözmek.
a<−1a < -1 dalı için: 3a+11=−2⇒3a=−13⇒a=−1333a + 11 = -2 \Rightarrow 3a = -13 \Rightarrow a = -\frac{13}{3} bulunur. Bu değer şartı sağlar. a≥−1a \ge -1 dalı için: 2−a=−2⇒a=42 - a = -2 \Rightarrow a = 4 bulunur. Bu değer de şartı sağlar.
f(a)=−2f(a) = -2 eşitliğini sağlayan aa gerçel sayılarını bulmak.
4
Bulunan geçerli aa değerlerini toplamak.
−133+4=−13-\frac{13}{3} + 4 = -\frac{1}{3} elde edilir.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak.

Key Concept

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda iç içe (bileşke) değer bulma ve aralık kontrolü yapılması
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Değer Bulma

More questions from this topic