Examkin

Question

Difficulty: HardFonksiyonlarda Değer Bulma

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir ff fonksiyonu,

f(x)={x2−1,x<22x+a,x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & x < 2 \\ 2x + a, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(3))=15f(f(3)) = 15

eşitliğini sağlayan aa gerçek sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    -11
  2. -9Answer
  3. C
    -7
  4. D
    -1
  5. E
    1

Answer

Koşulu sağlayan a gerçek sayılarının toplamı -9'dur.
Doğru cevap olan seçenekteki değer (-9), f(3) = 6 + a girdisinin parçalı fonksiyondaki sınır koşullarına göre iki ayrı durumda incelenmesiyle bulunur. Birinci durumda a < -4 koşulu altında a = -10 elde edilir. İkinci durumda a >= -4 koşulu altında a = 1 elde edilir. Bu değerlerin toplamı -9'dur.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak f(3) değerini bulmak için parçalı fonksiyonun tanım kümesi aralıkları incelenir.
3 sayısı 2'den büyük veya eşit olduğundan ikinci dal (2x + a) kullanılır. Buradan f(3) = 2(3) + a = 6 + a elde edilir.
Parçalı fonksiyonda girdinin aralığına uygun olan fonksiyon dalının seçilmesi gerekir.
2
Bulunan f(3) değeri f(f(3)) = 15 eşitliğinde yerine yazılarak yeni denklem oluşturulur.
f(6 + a) = 15 denklemi elde edilir.
Bileşke fonksiyonun tanımı gereği içteki fonksiyonun çıktısı, dıştaki fonksiyonun girdisi olur.
3
Girdi olan 6 + a ifadesinin 2'den küçük olduğu durum (6 + a < 2 yani a < -4) incelenir.
Bu durumda birinci dal kullanılır: (6 + a)^2 - 1 = 15. Buradan (6 + a)^2 = 16 bulunur. Çözüm olarak 6 + a = 4 veya 6 + a = -4 elde edilir. Buradan a = -2 veya a = -10 bulunur. Başlangıçtaki a < -4 koşulunu yalnızca a = -10 sağlar.
Parçalı fonksiyonun birinci dalının kullanılabilmesi için girdinin 2'den küçük olması koşulunun sağlanması şarttır.
4
Girdi olan 6 + a ifadesinin 2'den büyük veya eşit olduğu durum (6 + a >= 2 yani a >= -4) incelenir.
Bu durumda ikinci dal kullanılır: 2(6 + a) + a = 15. Denklemi düzenlersek 12 + 3a = 15, buradan 3a = 3 ve a = 1 bulunur. Bulunan a = 1 değeri a >= -4 koşulunu sağladığı için geçerlidir.
Parçalı fonksiyonun ikinci dalının kullanılabilmesi için girdinin 2'den büyük veya eşit olması koşulunun sağlanması şarttır.
5
Bulunan geçerli a değerleri toplanır.
-10 + 1 = -9 elde edilir.
Soruda a gerçek sayılarının alabileceği değerlerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Parçalı fonksiyonlarda değer bulma işlemlerinde, girdinin ait olduğu aralığa göre uygun dalın seçilmesi ve bilinmeyen parametrelerin bu aralık koşullarına göre denetlenmesi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Değer Bulma

More questions from this topic