Examkin

Question

Difficulty: MediumFonksiyonlarda Değer Bulma

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu,

f(x)={2x+a,x<2x2−3,x≥2f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 2 \\ x^2 - 3, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

f(f(1))=6f(f(1)) = 6

olduğuna göre, aa gerçel sayısı kaçtır?

  1. A
    -5
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. 1Answer
  4. D
    2
  5. E
    10

Answer

1
Verilen f(f(1))=6f(f(1)) = 6 eşitliğinde ilk olarak içteki f(1)f(1) hesaplanır. 1<21 < 2 olduğundan üstteki kural kullanılır ve f(1)=a+2f(1) = a + 2 bulunur. Daha sonra f(a+2)=6f(a+2) = 6 denklemi çözülür. Girdinin büyüklüğüne göre iki durum incelenir: a+2<2a+2 < 2 durumundan elde edilen a=2/3a = 2/3 değeri kabul edilen aralığa uymaz. a+2≥2a+2 \ge 2 durumundan elde edilen (a+2)2=9(a+2)^2 = 9 denkleminin köklerinden olan 11 değeri aralık koşulunu sağladığı için doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
f(1)f(1) değerini bulunuz.
f(1)=2(1)+a=a+2f(1) = 2(1) + a = a + 2
1<21 < 2 olduğu için fonksiyonun üstteki dalı olan 2x+a2x+a kuralı uygulanır.
2
f(f(1))=6f(f(1)) = 6 denklemini yazınız ve birinci dalı inceleyiniz.
a+2<2⇒a<0a+2 < 2 \Rightarrow a < 0 için f(a+2)=2(a+2)+a=3a+4=6⇒a=2/3f(a+2) = 2(a+2) + a = 3a+4 = 6 \Rightarrow a = 2/3
Eğer girdi a+2<2a+2 < 2 ise üstteki dal kullanıl��r. Ancak bulunan a=2/3a = 2/3 değeri a<0a < 0 koşulunu sağlamadığı için bu durumdan çözüm gelmez.
3
İkinci dalı inceleyiniz.
a+2≥2⇒a≥0a+2 \ge 2 \Rightarrow a \ge 0 için f(a+2)=(a+2)2−3=6⇒(a+2)2=9f(a+2) = (a+2)^2 - 3 = 6 \Rightarrow (a+2)^2 = 9
Eğer girdi a+2≥2a+2 \ge 2 ise alttaki dal kullanılır.
4
Elde edilen karesel denklemi çözüp koşulu kontrol ediniz.
a+2=3⇒a=1a+2 = 3 \Rightarrow a = 1 veya a+2=−3⇒a=−5a+2 = -3 \Rightarrow a = -5. a≥0a \ge 0 koşulunu sağlayan tek değer a=1a = 1'dir.
Karesi 9 olan sayılar 3 ve -3'tür. İkinci dalın geçerli olması için a≥0a \ge 0 olmalıdır, bu yüzden sadece 1 değeri kabul edilir.

Key Concept

Parçalı Fonksiyonlarda Değer Bulma ve Aralık Kontrolü
Rate this question

Topics

Fonksiyonlarda Değer Bulma

More questions from this topic