Sayı doğrusu üzerinde koordinatları sırasıyla -1, 2 ve 5 olan A, B ve C noktaları işaretle… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Sayı doğrusu üzerinde koordinatları sırasıyla $-1$ , $2$ ve $5$ olan $A$ , $B$ ve $C$ noktaları işaretleniyor. Bu sayı doğrusu üzerinde seçilen bir $P(x)$ gerçek sayı noktasının $A$ ve $C$ noktalarına olan uzaklıkları toplamı, $B$ noktasına olan uzaklığının $4$ katına eşittir.

Buna göre, $P$ noktasının koordinatı olan $x$ 'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

A
$2$
B
$3$
C
$6$
$4$ Answer
E
$0$

Answer

Denklemi sağlayan gerçek sayı değerlerinin toplamı 4'tür.

Denklemi sağlayan köklerin toplamı olan 4 değeri doğrudur.

[-1, 5]

aralığında yer alan ve denklemi sağlayan

x = 0,5

ile

x = 3,5

köklerinin toplamı

0,5 + 3,5 = 4

yapar.

Step-by-Step Solution

Uzaklık tanımını kullanarak matematiksel denklemi kuralım.

|x - (-1)| + |x - 5| = 4|x - 2| \implies |x + 1| + |x - 5| = 4|x - 2|

Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.

Kritik noktaları belirleyip öncelikle

x

'in

[-1, 5]

aralığında olduğu durumu inceleyelim.

x \in [-1, 5]

için

|x + 1| + |x - 5| = 6

olur. Denklem

6 = 4|x - 2|

haline gelir.

[-1, 5]

aralığındaki her

x

gerçek sayısı için

A(-1)

C(5)

noktalarına olan uzaklıklar toplamı sabit olup bu iki nokta arasındaki toplam mesafe olan 6 birime eşittir.

[-1, 5]

aralığındaki basitleştirilmiş denklemi çözelim ve bulduğumuz köklerin bu aralıkta olup olmadığını denetleyelim.

|x - 2| = 1,5 \implies x - 2 = 1,5

veya

x - 2 = -1,5

. Buradan

x = 3,5

x = 0,5

bulunur. Her iki değer de

[-1, 5]

aralığındadır.

Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıya eşitliği durumunda ifadenin kendisi bu sayının kendisine veya negatifine eşitlenir.

[-1, 5]

aralığının dışındaki bölgeleri inceleyelim.

x > 5

için:

(x + 1) + (x - 5) = 4(x - 2) \implies 2x - 4 = 4x - 8 \implies 2x = 4 \implies x = 2

(Geçersiz, çünkü

2 \not> 5

x < -1

için:

-(x + 1) - (x - 5) = 4(2 - x) \implies -2x + 4 = 8 - 4x \implies 2x = 4 \implies x = 2

(Geçersiz, çünkü

2 \not< -1

Mutlak değerlerin işaretleri aralıklara göre belirlendikten sonra çözülen denklemin köklerinin, başlangıçta kabul edilen aralık sınırlarına dahil olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Geçerli köklerin toplamını bulalım.

0,5 + 3,5 = 4

Sadece

[-1, 5]

aralığından gelen

0,5

3,5

değerleri denklemi sağladığı için bu iki değer toplanır.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusundaki uzaklık tanımı ve parçalı fonksiyon olarak çözümü

Alternative Method

Geometrik olarak,

x

noktası

[-1, 5]

aralığında olduğunda,

A(-1)

C(5)

noktalarına olan uzaklıkları toplamı her zaman bu iki nokta arasındaki sabit mesafeye, yani

6

birime eşittir. Dolayısıyla denklem doğrudan

6 = 4 \cdot |x - 2| \implies |x - 2| = 1,5

biçimine dönüşür. Buradan

x

2

noktasından

1,5

birim sağda veya

1,5

birim solda yer almalıdır. Bu noktalar sırasıyla

2 + 1,5 = 3,5

2 - 1,5 = 0,5

olur. İki değerin toplamı ise simetri merkezi olan

2

noktasının

2

katı olan

4

değerini verir.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic