Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı ve Şekil Örüntüleri

Bir sayı ve şekil örüntüsü aşağıdaki kurallara göre oluşturulmaktadır:
- 11. adımda: Merkezde bulunan tek bir kare hücreye 11 sayısı yazılır.
- Her bir sonraki adımda (n≥2n \geq 2):
- Mevcut şeklin dış sınırlarına komşu olacak şekilde yeni kare hücreler eklenerek şekil genişletilir (böylece her adımda merkezden dışarıya doğru bakışımlı bir baklava şekli oluşur).
- Yeni eklenen tüm hücrelerin her birine 11 sayısı yazılır.
- Önceki adımlardan kalan tüm hücrelerin içindeki sayılar 22 ile çarpılır.

Buna göre, bu örüntünün 77. adımında şekli oluşturan tüm hücrelerdeki sayıların toplamı kaç olur?

  1. A
    260
  2. B
    304
  3. 544Cevap
  4. D
    796
  5. E
    1024

Cevap

Yedinci adımdaki hücrelerde bulunan sayıların toplamı 544 olur.
Örüntünün her adımındaki hücre sayıları ve bunların değer değişimleri incelendiğinde, nn. adımdaki toplam değer olan SnS_n ifadesinin bir önceki adımın toplamının iki katı ile o adımda eklenen yeni hücre sayısının (4(n−1)4(n-1) adet 11 değerli hücre) toplamına eşit olduğu görülür. Bu bağıntı Sn=2Sn−1+4(n−1)S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1) şeklinde ifade edilir. S1=1S_1 = 1 başlangıç değeriyle başlayarak adım adım hesaplandığında yedinci adımda toplam 544 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İlk üç adımda hücrelerin sayısal değerlerini ve toplamlarını hesaplayarak örüntünün temel işleyişini incelemek.
Birinci adımda toplam S1=1S_1 = 1 olur. İkinci adımda merkezdeki hücre iki katına çıkar (1×2=21 \times 2 = 2) ve dışına 44 adet yeni hücre (11 değerli) eklenir; toplam S2=2+4=6S_2 = 2 + 4 = 6 olur. Üçüncü adımda mevcut hücreler iki katına çıkar (6×2=126 \times 2 = 12) ve dışa 88 adet yeni hücre (11 değerli) eklenir; toplam S3=12+8=20S_3 = 12 + 8 = 20 olur.
Adımlar arasındaki sayısal geçiş ilişkisini tespit etmek.
2
Örüntünün genel adımları arasındaki indirgeme bağıntısını (nn. adımdan (n+1)(n+1). adıma geçiş) formüle etmek.
Her adımda eski toplam iki katına çıkmakta ve dışarıya 4(n−1)4(n-1) tane yeni hücre eklenmektedir. Dolayısıyla bağıntı Sn=2Sn−1+4(n−1)S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1) şeklindedir.
Herhangi bir adım için toplamı veren rekürsif denklemi belirlemek.
3
Elde edilen bağıntıyı kullanarak ardışık adımların toplamını yedinci adıma kadar hesaplamak.
S4=2S3+4(3)=2(20)+12=52S_4 = 2 S_3 + 4(3) = 2(20) + 12 = 52
S5=2S4+4(4)=2(52)+16=120S_5 = 2 S_4 + 4(4) = 2(52) + 16 = 120
S6=2S5+4(5)=2(120)+20=260S_6 = 2 S_5 + 4(5) = 2(120) + 20 = 260
S7=2S6+4(6)=2(260)+24=544S_7 = 2 S_6 + 4(6) = 2(260) + 24 = 544 bulunur.
İstenen yedinci adımdaki hücrelerin toplam değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayısal ve şekilsel örüntülerde büyüme kurallarını belirleme ve matematiksel indirgeme bağıntısı kurma.

Alternatif Yöntem

Örüntünün nn. adımındaki toplamı veren kapalı formül türetilebilir. Sn=2Sn−1+4(n−1)S_n = 2 S_{n-1} + 4(n-1) indirgeme bağıntısının çözümü Sn=9⋅2n−1−4(n+1)S_n = 9 \cdot 2^{n-1} - 4(n+1) şeklindedir. Bu formülde n=7n = 7 yazıldığında; S7=9⋅26−4(8)=9⋅64−32=576−32=544S_7 = 9 \cdot 2^6 - 4(8) = 9 \cdot 64 - 32 = 576 - 32 = 544 sonucu doğrudan elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı ve Şekil Örüntüleri

Bu konudan daha fazla soru